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2014-2015学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学(3)(函数2)


2014-2015 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(三) (函数(2) )
命题人:黄润华 学校:江西师大附中 审题人:朱涤非 学校:江西师大附中 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.函数 f ( x) ? ln A. (0,??)
1

x ? x 2 的定义域为 x ?1 B. (1,??)

C. (0,1)

D. (0,1) ? (1,??)

2.函数 f ( x) ? (m ? m ?1) x 是幂函数,且在 x ? (0,??) 上为增函数,则实数 m 的值是 A. ? 1 B. 2 C. 3 D. ? 1 或 2 3.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,下列四组函数中表示相同函数的是
2 m

A. y ? log a x 与 y ? (log x a)?1 C. y ? 2 x 与 y ? loga a2 x
x

B. y ? a

log a x

与y? x

D. y ? log a x 2 与 y ? 2loga x

4.函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点所在的区间是

1 1 B. ( ,1) 2 2 5.若 x ? (0,1) ,则下列结论正确的是
A. (0, )
1 1

C. (1, 2)

D. (2,3)

1

1

A. lg x ? x 2 ? 2 x B. 2 x ? lg x ? x 2

C. x 2 ? 2 x ? lg x D. 2 x ? x 2 ? lg x

6.若函数 f ( x) ? (k ?1)a x ? a x (a ? 0 且 a ? 1 )在 R 上既是奇函数,又是减函数,则

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是
y

y

y

y

–2

–1

O

x

–2

–1

O

x

O

1

2

3

4

x

O

1

2

3

4

x

A

B

C

D

?(a ? 2) x, x ? 2, ? 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围是 x ( ) ? 1, x ? 2. ? ? 2 13 13 A. ( ??, 2) B. ( ??, ] C. (0, 2) D. [ , 2) 8 8 ?lg x ? 2 , x ? 2, 2 8.定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? 若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰好 x ? 2. ?1, 有 5 个不同的实数解 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ,则 f ( x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? x5 ) ?
7.若函数 f ( x) ? ? 1
高三数学(三)第 1 页 共 6 页

A. lg 2 9.函数 y ?

B. lg 4

C. lg 8

D.1

1 ? x2 是 | x ? 4| ? | x ?3|
B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数

A. 奇函数

10.方程 1? | x | ? 1 ? y 表示 A.两条直线 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上. 11.函数 y ? 1 B.两条射线 2 3 C.两条线段 4 5 6 D.一条射线和一条线段 7 8 9 10

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

. .

12.若函数 f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) ? 1 ? x 2 ( x ? 0) ,则 f (2) ? 13.设函数 f ( x) ?

x | x | ?a | x | ? x ? a 是奇函数,则 a = . cos x 1 ? nx m 14 . 设 定 义 在 区 间 [?m, m] 上 的 函 数 f ( x) ? log 2 是奇函数,则 n 的取值范围 1? 2x
为 . 15.设函数 y ? x3 与 y ? ( )

1 2

x?2

的图象的交点为 ( x0 , y0 ) ,且 x0 ? (m, m ? 1), m ? Z ,则

m=

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤. 16.二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)解不等式 f ( x) ? 2 x ? 5 .

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m ? 2x 17.已知 m 为常数,函数 f ( x) ? 为奇函数. 1? m ? 2x
(1)求 m 的值; (2)若 m ? 0 ,存在 x ? [?2,2] ,使 f (e x ? xex ? k ) ? f (2) ? 0 ,求实数 k 的最大值.

18.已知函数 f ( x) ? log4 (4 ? 1) ? kx(k ? R) 为偶函数.
x

(1)求 k 的值; (2)若方程 f ( x) ? log4 (a ? 2 ? a) 有且只有一个根,求实数 a 的取值范围.
x

高三数学(三)第 3 页 共 6 页

19.已知函数 f ( x) ? log a (3 ? ax) . (1)当 x ? [0, ] 时,函数 f ( x) 恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a ,使得函数 f ( x) 在区间 [2,3] 上为增函数,且 f ( x) 的最大值 为 1 .如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由.

3 2

高三数学(三)第 4 页 共 6 页

20.已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于 y 轴对称,且 f ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 2 . (1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)解不等式

f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? 1. 2

高三数学(三)第 5 页 共 6 页

21.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2x , (1)若 x ? [?2, a], 求 f ( x ) 的值域; (2)若存在实数 t ,当 x ?[1, m], f ( x ? t ) ? 3x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

高三数学(三)第 6 页 共 6 页

2014-2015 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(三)参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 A 5 D 6 A 7 B 8 C 15. 1 9 B 10 C

二.填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分 11. (?1,1) 12. ?1 13. 0 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 14. (1 , 2)

16.解: (1)设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .? f (0) ? 1,? c ? 1. 把 f ( x) 的表达式代入 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x , 有 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.

? f ( x) ? x 2 ? x ? 1. 2 2 (2)由 x ? x ? 1 ? 2 x ? 5 ,即 x ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? ?1 . ? 原不等式解集为 x x ? 4或x ? ?1 .

∴2ax+a+b=2x. ? a ? 1, b ? ?1.

?

?

m ? 2? x m ? 2x ? ? 0, 1 ? m ? 2? x 1 ? m ? 2 x ?(m2 ?1)(2 x ? 2? x ) ? 0 即 m 2 ? 1 , ? m ? ?1. x x x x x x (2)由 f (e ? xe ? k ) ? ? f (2) ? f (?2) 得 e ? xe ? k ? ?2 ,即 k ? e ? xe ? 2. x x 又 g ( x) ? e ? xe ? 2 在 [?2,2] 上单调递增, ? 当 x ? 2 时, g ( x) 取得最大值 3e2 ? 2.
17.解: (1)由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,得

? k ? 3e2 ? 2 , ? kmax ? 3e2 ? 2. ? f (? x) ? f ( x) ,即 log4 (4? x ? 1) ? kx ? log4 (4 x ? 1) ? kx , 18. 解: (1) ∵ f ( x) 为偶函数,
即 (2k ? 1) x ? 0 ,? k ? ? . (2)依题意, log 4 (4 ? 1) ?
x

1 2

?4 x ? 1 ? (a ? 2 x ? a)2 x , 1 x ? log 4 (a ? 2 x ? a) ,即 ? 2 a ? 2 x ? a ? 0. ?

2 令 t ? 2 ,则 (1 ? a)t ? at ? 1 ? 0 ,只需其有一正根即可满足题意.
x

①当 a=1 时, t ? ?1 ,不合题意,舍去.

?? ? a 2 ? 4(1 ? a) ? 0, ? ②上式有一正一负根 t1 , t2 ,即 ? 1 t1t 2 ? ? 0. ? 1? a ? 经验证满足 a· 2x-a>0,? a ? 1.
③上式有两根相等,即 ? ? 0 ? a ? ?2 2 ? 2 ,此时 t ?

a , 2(a ? 1)

高三数学(三)第 7 页 共 6 页

若 a ? 2( 2 ?1) , 则 有 t ?

a ? 0 , 此 时 方 程 (1 ? a)t 2 ? at ? 1 ? 0 无 正 根 , 故 2(a ? 1)

a ? 2( 2 ?1) 舍去;
a ? 0, 2(a ? 1) a a(2 ? a) x 且 a ? 2 ? a ? a(t ? 1) ? a[ ? 1] ? ? 0 ,?a ? ?2( 2 ?1) . 2(a ? 1) 2(a ? 1)
若 a ? ?2( 2 ? 1) ,则有 t ? 综上所述,a 的取值范围为 a a ? 1或a ? ?2 ? 2 2 。 19.解: (1)∵ a ? 0, 且a ? 1 ,设 t ? 3 ? ax ,则 t ? 3 ? ax 为减函数,

?

?

3 3 a, 2 2 3 3 当 x ? [0, ] 时, f ( x) 恒有意义,即 3 ? a ? 0 恒成立,即 a ? 2 ; 2 2 又 a ? 0, 且a ? 1 ,∴ a ? (0,1) ? (1,2). (2)令 t ? 3 ? ax ,则 y ? loga t ; ∵ a ? 0 ,∴ 函数 t ( x) 为减函数,
当 x ? [0, ] 时, t 的最小值为 3 ?

? x ?? 2,3? 时, t ( x) 最小值为 3 ? 3a ,此时 f ( x) 最大值为 loga (3 ? 3a) ;
又 f ( x) 的最大值为 1,所以 loga (3 ? 3a) ? 1 ,

又∵ f ( x) 在区间 ? 2,3? 上为增函数,∴ y ? loga t 为减函数,∴ 0 ? a ? 1 ,

?a ? 1 ?3 ? 3a ? 0 3 ? ∴? ,即 ? 3 , 所以 a ? ,? 这样的实数 a 存在. 4 a? ?loga (3 ? 3a) ? 1 ? ? 4 20. 解: (1)设函数 y ? g ( x) 图象上任意一点 P ( x, y ) , 由已知点 p 关于 y 轴对称点 P '(? x, y) 2 2 一定在函数 y ? f ( x) 图象上,代入 y ? 2 x ? 4 x ? 2 ,得 g ( x) ? 2 x ? 4 x ? 2
( 2)

?2 x2 ? 2 ? 2 x ?1 ?2 x2 ? 2 ? 1 ? 2 x f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? 1| ? 2 x2 ? 2 ?| 2 x ?1| ? ? 或? 2 ? 2x ?1 ? 0 ? 2x ?1 ? 0

?1 ? 3 1 ? 3 ? ?1 ? 7 ?1 ? 7 ?x? ? ?x? ? ? 2 ? 2 或 , 2 2 ?? ? 1 1 ? ? x? x? ? ? ? 2 ? 2

?

? 1? 3 ? 1 1? 3 ?1 ? 7 1 ? ?1 ? 7 ? ?x? ?x? ? x ? ,? 不等式的解集是 ? x 或 ?. 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 2 21. 解: (1) 由题意得: 当 ? 2 ? a ? ?1 时, f ( x) max ? f (?2) ? 0, f ( x) min ? f (a) ? a ? 2a ,
∴此时 f ( x) 的值域为 [a ? 2a,0]
2

当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) max ? f (?2) ? 0, f ( x) min ? f (?1) ? ?1 , ∴此时 f ( x) 的值域为 [?1,0]
高三数学(三)第 8 页 共 6 页

当 a ? 0 时, f ( x) max ? f (a) ? a 2 ? 2a, f ( x) min ? f (?1) ? ?1 , ∴此时 f ( x) 的值域为 [?1, a 2 ? 2a] (2)由 f ( x ? t ) ? 3x 恒成立得: x 2 ? (2t ? 1) x ? t 2 ? 2t ? 0 恒成立, 令 u( x) ? x 2 ? (2t ? 1) x ? t 2 ? 2t , x ?[1, m], 因为抛物线的开口向上,

?u (1) ? 0 u(1),u(m)} ,由 u ( x) ? 0 恒成立知: ? ? u( x) max ? max{ ?u (m) ? 0
化简得: ?

?? 4 ? t ? 0 ?t ? 2(1 ? m)t ? m ? m ? 0
2 2

令 g (t ) ? t 2 ? 2(1 ? m)t ? m2 ? m

则原题可转化为:存在 t ? [?4,0] ,使得 g (t ) ? 0 ,即:当 t ? [?4,0] , g (t ) min ? 0 ∵ m ? 1 , g (t ) 的对称轴: t对 ? ?1 ? m ? ?2 ① ?1 ? m ? ?4 ,即: m ? 3 时, g (t ) min ? g (?4)

?m ? 3 解得: 3 ? m ? 8 ? 2 16 ? 8 ( m ? 1 ) ? m ? m ? 0 ? ②当 ? 4 ? ?1 ? m ? ?2 即: 1 ? m ? 3 时, g (t ) min ? g (?1 ? m) ? ?1 ? 3m ?1 ? m ? 3 ∴ ? 解得: 1 ? m ? 3 ?? 1 ? 3m ? 0 综上, m 的取值范围为 (1,8].


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