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三角函数总复习

时间:2013-04-04


第六章
考纲导读

三角函数

1.了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算;理解任意角的正弦、余 弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、 余弦、正切. 2.掌握三角函数的公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及 运用. 3.能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明. 4.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质;会用单位圆中的三角函数线画出正 弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.会用“五点法” 画出正弦函数、余弦函数和 y ? A sin (? x ? ? ) 的简图,理解 A、?、 ? 的物理意义. 5.会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx,arccosx,arctanx 表示角. 6.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三角形 的计算问题. 知识网络 角的概念的推广、弧度制 任意角的三角函数的定义 任意角的三角函数 同角三角函数基本关系 诱导公式

三 角 函 数
y=sinx, 三角函数的图象和性质 y=cosx 的图象和性质 两角和与差的三角函数 二倍角的正弦、余弦、正切 两角和与差的正弦、余弦、正切

y=tanx 的图象和性质 y=Asin( ? x+ ? )的图象 已知三角函数值求角

高考导航 三角部分的知识是每年高考中必考的内容,近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点: 1.降低了对三角函数恒等变形的要求,加强了对三角函数图象和性质的考查.尤其是三角 函数的最大值与最小值、周期. 2.以小题为主.一般以选择题、填空题的形式出现,多数为基础题,难度属中档偏易.其 次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形, 如运用三角公式进行化简、 求值解决简单的综 合题等.

3.更加强调三角函数的工具性,加强了三角函数与其它知识的综合,如在解三角形、立体 几何、平面解析几何中考查三角函数的知识. 基础过关

任意角的三角函数
一、角的概念的推广 1.与角 ? 终边相同的角的集合为 . 2.与角 ? 终边互为反向延长线的角的集合为 . 3.轴线角(终边在坐标轴上的角) 终边在 x 轴上的角的集合为 , 终边在 y 轴上的角的集合为 , 终边在坐标轴上 的角的集合为 . 4.象限角是指: . 5.区间角是指: . 6.弧度制的意义:圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度的角,它将任 意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系. 7.弧度与角度互化:180? = 弧度,1? = 弧度,1 弧度= ? . ? 8.弧长公式:l = ; 扇形面积公式:S= . 二、任意角的三角函数 9. 定义: P(x, y)是角 ? 终边上任意一点, |PO| =r, sin ? = 设 且 则 ; cos ? = ; tan ? = ; 10.三角函数的符号与角所在象限的关系: y + - sinx, O + - x - - cosx, O y + + x - + tanx, y O + - x

12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域: 解析式 定义域 值 域 y=sinx y=cosx y=tanx

13.三角函数线:在图中作出角 ? 的正弦线、余弦线、正切线. y

?
O ? x

同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.同角公式: (1) 平方关系:sin2α+cos2α=1,1+tan2α= ,1+cot2α= (2) 商数关系:tanα= ,cotα= (3) 倒数关系:tanα =1,sinα =1,cotα =1 2.诱导公式: -α sin cos
?
2

π-α

π+α

2π-α

2kπ+α

??

?
2

??

3? ?? 2

3? ?? 2

sin cos 规律:奇变偶不变,符号看象限 3.同角三角函数的关系式的基本用途: 根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角三角函数式;证明 同角的三角恒等式. 4.诱导公式的作用: 诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为 0° ~90? 角的三角函数值.

两角和与差的三角函数
1.两角和的余弦公式的推导方法: 2.基本公式 sin(α±β)=sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)= ; tan(α±β)= . 3.公式的变式 tanα+tanβ=tan (α+β)(1-tanα tanβ) 1-tanα tanβ=
tan? ? tan ? tan(? ? ? )

4.常见的角的变换: 2 ? =(α+β)+(α-β);α= α=(α+β)-β =(α-β)+β
???
2 (

? ??
2



? ?? 2

=(α-
?
4

? ? )-( -β); 2 2

?
4

? x) ? (

? x) =

? 2

二倍角的正弦、余弦、正切
1.基本公式: sin2α= ;

cos2α= = tan2α= 2.公式的变用: 1+cos2α= 1-cos2α=

= . ; .



三角函数的化简和求值
1.三角函数式的化简的一般要求: ① 函数名称尽可能少; ② 项数尽可能少; ③ 尽可能不含根式; ④ 次数尽可能低、尽可能求出值. 2.常用的基本变换方法有:异角化同角、异名化同名、异次化同次. 3.求值问题的基本类型及方法 ① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角,解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的 关系,通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解. ② “给值求值”即给出某些角的三角函数(式)的值,求另外的一些角的三角函数值,解题 关键在于:变角,使其角相同; ③ “给值求角”关键也是:变角,把所求的角用含已知角的式子表示,由所求得的函数值结 合该函数的单调区间求得角. 4.反三角函数 arcsinα、arccosα、arctanα 分别表示[ ? ,
? ?
2 2

]、[0,π]、 ? , (

? ?
2 2

)的角.

三角函数的恒等变形
一、三角恒等式的证明 1.三角恒等式的证明实质是通过恒等变形,消除三角恒等式两端结构上的差异(如角的差 异、函数名称的差异等) . 2.证三角恒等式的基本思路是“消去差异,促成同一”,即通过观察、分析,找出等式两边 在角、名称、结构上的差异,再选用适当的公式,消去差异,促进同一. 3.证明三角恒等式的基本方法有:⑴ 化繁为简;⑵ 左右归一;⑶ 变更问题. 二、三角条件等式的证明 1.三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程,须注意转化过程确保 充分性成立. 2.三角条件等式的证明,关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在 联系,其常用的方法有: ⑴ 代入法:就是将结论变形后将条件代入,从而转化为恒等式的证明. ⑵ 综合法:从条件出发逐步变形推出结论的方法. ⑶ 消去法:当已知条件中含有某些参数,而结论中不含这些参数,通过消去条件中这些参 数达到证明等式的方法. ⑷分析法:从结论出发,逐步追溯到条件的证明方法,常在难于找到证题途径时用之.

三角函数的图象与性质
1.用“五点法”作正弦、余弦函数的图象. “五点法”作图实质上是选取函数的一个 ,将其四等分,分别找到图象的

点, 点及“平衡点”.由这五个点大致确定函数的位置与形状. 2.y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象. 函 数 y=sinx y=cosx y=tanx

图 象

注:⑴ 正弦函数的对称中心为 ,对称轴为 . ⑵ 余弦函数的对称中心为 ,对称轴为 . ⑶ 正切函数的对称中心为 . 3.“五点法”作 y=Asin(ωx+ ? )(ω>0)的图象. 令 x'=ωx+ ? 转化为 y=sinx',作图象用五点法,通过列表、描点后作图象. 4.函数 y=Asin(ωx+ ? )的图象与函数 y=sinx 的图象关系. 振幅变换:y=Asinx(A>0,A≠1)的图象,可以看做是 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标 都 ,(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍(横坐标不变)而得到的. 周期变换:y=sinωx(ω>0,ω≠1)的图象,可以看做是把 y=sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的.由于 y=sinx 周期 为 2π,故 y=sinωx(ω>0)的周期为 . 相位变换: y=sin(x+ ? )( ? ≠0)的图象, 可以看做是把 y=sinx 的图象上各点向 ( ? >0) 或向 ( ? <0)平移 个单位而得到的. 由 y=sinx 的图象得到 y=Asin(ωx+ ? )的图象主要有下列两种方法: y=sinx 或 y=sinx
周期 变换 相位 变换 振幅 变换 相位 变换 周期 变换 振幅 变换

说明:前一种方法第一步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 第二步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 个单位.

个单位.后一种方法

三角函数的性质
1.三角函数的性质 函 值 数 域 y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 奇偶性 有界性 周期性 单调性

最大(小)值 2.函数 y=sinx 的对称性与周期性的关系. ⑴ 若相邻两条对称轴为 x=a 和 x=b,则 T= . ⑵ 若相邻两对称点(a,0)和(b,0) ,则 T= . ⑶ 若有一个对称点(a,0)和它相邻的一条对称轴 x=b,则 T= 注:该结论可以推广到其它任一函数.



三角函数的最值
1.一元二次函数与一元二次方程 一元二次函数与一元二次方程 (以后还将学习一元二次不等式) 的关系一直是高中数学函数 这部分内容中的重点,也是高考必考的知识点.我们要弄清楚它们之间的对应关系:一元二 次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解; 反之, 一元二次方程的解也 x 轴的交点的横坐标. 是对应的一元二次函数的图象与 2.函数与方程 两个函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标就是方程 f ( x) ? g ( x) 的解;反之, 要求方程 f ( x) ? g ( x) 的解,也只要求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标. 3.二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解,首先要找到方程的根所在的区间 (m, n) ,则必有 f (m) ? f (n) ? 0 , 再取区间的中点 p ?

m?n ,再判断 f ( p) ? f (m) 的正负号,若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在区 2

间 (m, p) 中;若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在 ( p, n) 中;若 f ( p) ? 0 ,则 p 即为方程的根.按 照以上方法重复进行下去,直到区间的两个端点的近似值相同(且都符合精确度要求) ,即 可得一个近似值. 典型例题 例 1. 若 ? 是第二象限的角,试分别确定 2 ? ,
? 2

,

? 的终边所在位置. 3

例 2. 在单位圆中画出适合下列条件的角 ? 的终边的范围,并由此写出角 ? 的集合: (1) sin ? ≥
1 3 ;(2)cos ? ≤ ? . 2 2

变式训练:求下列函数的定义域: (1) y= 2 cos x ? 1 ; (2)y=lg(3-4sin2x).

例 3. 已知角 ? 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin ? ,cos ? ,tan ? 的值 变式训练: 已知角 ? 的终边经过点 P (? 3, m)(m ? 0), 且 sin ? ? 象限,并求 cos ? 和 tan ? 的值.

2 m ,试判断角 ? 所在的 4

例 4 已知 f( ? )=

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ; ? tan(?? ? ? ) sin( ?? ? ? )

(1) 化简 f( ? );(2)若 ? 是第三象限角,且 cos ?? ? ?
?

3? ? 1 ? ? ,求 f( ? )的值. 2 ? 5

变式训练:已知 A= A.{-1, 1, -2, 2} C.{2, -2}

sin( k? ? ? ) cos(k? ? ? ) ? (k ? Z ) 则 A 构成的集合是 sin ? cos?

( )

B.{1, -1} D.{-2, -1, 01, 2}
3 5

例 5.求值:(1) 已知 ? ? ? ? 2? , cos(? ? 7? ) ? ? ,求 cos( ? ? ) 的值.
2

?

2) 已知

tan ? sin ? ? 3 cos? ? ?1 ,求下列各式的值.① ;② sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 tan ? ? 1 sin ? ? cos?

例 6. 已知-

?
2

? x ? 0 ,sin x+cos x=

1 . 5

(1)求 sin x-cos x 的值. (2)求

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x

例 7.已知 tan ? =2,求下列各式的值: (1)
2 sin ? ? 3 cos? 2 sin 2 ? ? 3 cos2 ? ;(2) ;(3)4sin2 ? -3sin ? cos ? -5cos2 ? . 2 2 4 sin ? ? 9 cos? 4 sin ? ? 9 cos ?

例 8.求下列各式的值(1) [2sin50° +sin10° (1+ 3 tan10° )]· 2 sin2 80?

(2)

sin 40?(1 ? 2 cos 40?) 2 cos2 40? ? cos 40? ? 1

例 9. 已知 α ? (

? 3? ? 3 5 3? ? , ),β ? (0, ), cos (α- )= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β)的值. 4 4 4 5 13 4 4

例 10. (1)若 sinA= (2)已知 tan(α-β)=

5 10 ,sinB= ,且 A,B 均为钝角,求 A+B 的值. 5 10

1 1 , tan β=- ,且 α、β∈(0, ? ) ,求 2α-β 的值. 2 7

例 11. 已知 α 为锐角,且 tan? ?

1 sin 2? cos? ? sin ? ,求 的值. 2 sin 2? cos 2?

例 12.已知 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ; (1) 求 f (
25? ) 的值; 6

(2) 设 ? ? (0, ? ), f ( ) ? ?
2

?

1 4

3 ,求 sinα 的值. 2

例 13.已知 sin2 2α+ sin 2α cosα-cos2α=1,α ? (0,

? ),求 sinα、tanα 的值. 2

例 14. 化简: (1)

cos 40? ? sin 50? (1 ? 3 tan10? ) sin 70? 1 ? cos 40?

(2)

1 ? sin 6 x ? cos6 x 1 ? sin 4 x ? cos4 x

(3)sin2 ? · 2 ? +cos2 ? cos2 ? sin

1 cos2 ? · ? . cos2 2

例 15. 已知 6 sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos 2 ? ? 0 ,α∈[

? ? , ? ],求 sin (2α+ )的值. 2 3

例 16.已知

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot? ? ? . 4 3
5 sin 2

?
2

(1)求 tanα 的值; (2)求

? 8 sin

?
2

cos

?
2

? 11 cos 2

?
2

?8

2 sin( ? ?

?
2

的值.

)

例 17.求证:

1 ? cos? ? cos sin ? ? sin

?
2 =

?
2

sin ? ? ? ;tan(α+ )+tan(α- )=2tan2α 1 ? cos? 4 4

例 18.1:求证:

tan 5? ? tan 3? ? 4(tan 5? ? tan 3? ) cos 2? cos 4?
sin 2 B 5 ? cos 2 B

:2:已知 2tanA=3tanB,求证:tan(A-B)=

例 19.1:如图所示,D 是直线三角形△ABC 斜边上 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α, ∠ABC=β. (1)证明:sinα+cos2β=0; A (2)若 AC ? 3DC ,求 β 的值. B D C

: 20:.已知 ? , ? ? (0, ) 且 sinβ·cosα=cos(α+β).
2

?

(1)求证: tan ? ?

sin 2 cos? ; (2)用 tanβ 表示 tanα. 1 ? sin 2 ?

例 21.在△ABC 中,若 sinA· 2 2 +sinC· 2 2 = 2 sinB,求证:sinA+sinC=2 sinB. cos cos

C

A

3

例 22.已知函数 y=Asin(ωx+ ? )(A>0,ω>0) ⑴ 若 A=3,ω= , ? =-
1 2

? ,作出函数在一个周期内的简图. 3
2 ? ? ,当 x= 时,相位是 ,求 ω 和 ? . ? 24 3

⑵ 若 y 表示一个振动量,其振动频率是

例 23 已知函数 y=3sin ( x ? )
4

1 2

?

(1)说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (2)求此函数的振幅、周期和初相; (3)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

例 24.如图为 y=Asin( ? x+ ? )的图象的一段,求其解析式.

例 25.设关于 x 的方程 cos2x+ 3 sin2x=k+1 在[0, 及 k 的取值范围.

? ]内有两不同根 α,β,求 α+β 的值 2

例 26. 化简 f (x)=cos(

6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x )+cos( ? ? 2 x )+2 3 sin( +2x)(x∈R,k∈Z).并求 3 3 3

f (x)的值域和最小正周期.

例 27 已知函数 f (x)=

2 sin x 1 ? cos 2 x

⑴ 求 f (x)的定义域.⑵ 用定义判断 f (x)的奇偶性. ⑶ 在[-π,π]上作出函数 f (x)的图象. ⑷ 指出 f (x)的最小正周期及单调递增区间.

例 28 设函数 f ( x) ? sin ax ? 3 cos ax(0 ? a ? 1) , g ( x) ? tan(mx ? ) (0 ? m ? 1) ,已知 f(x)、g(x)的最
6

?

小正周期相同,且 2g(1)=f(1); (1)试确定 f(x)、g(x)的解的式; (2)求函数 f(x)的单调递增区间.

例 29 已知函数 y=acosx+b 的最大值为 1,最小值是-3,试确定 f (x) =b sin(ax+ 调区间.

? )的单 3

例 30. 求下列函数的最值. ⑴ y=
1 ? sin x sin 2 x ? sin x ? ;⑵ y=2 cos( +x)+2cosx;⑶ y ? . 1 ? cos x 3 3 ? cos x

例 31. 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值与最小值,又若 x ? [0, ] 呢?
2

?

例 32. 已知 sinx+siny= 3 ,求 siny-cos2x 的最大值.

1

变式训练:在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 b2=ac,求 y= 的取值范围.

1 ? sin 2 B sin B ? cos B

例 33.设 a≥0,若 y=cos2x-asinx+b 的最大值为 0,最小值为-4,试求 a 与 b 的值,并求 出使 y 取得最大、最小值时的 x 值.

变式训练:设函数 f ( x) ? 3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ? a (其中 ω>0,a∈R) ,且 f(x)的图象在 y 轴 右侧的第一个最高点的横坐标为 (1)求 ω 的值; (2)如果 f (x) 在区间 [? ,
3

? . 6

? 5x
6

] 的最小值为 3 ,求 a 的值.


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