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1.2排列与组合 1.2.1排列第二课时


第二课时 教学目标 知识与技能 利用排列和排列数公式解决简单的计数问题. 过程与方法 经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程,从中体会“化归”的数学思想. 情感、态度与价值观 能运用所学的排列知识,正确地解决实际问题,体会“化归”思想的魅力. 重点难点 教学重点:利用排列和排列数公式解决简单的计数问题. 教学难点:利用排列和排列数公式解决简单的计数问题. 教学过程 复习回顾

提出问题 1:判断下列两个问题是不是排列问题,若是求出排列数,若不是,说明理由. (1)有 5 本不同的书, 从中选 3 本送给 3 名同学, 每人各 1 本, 共有多少种不同的送法? (2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? 活动设计:学生自己独立思考,教师提问. 活动成果: 解:(1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学,对应于从 5 个元素中任取 3 个 元素的一个排列,因此不同送法的种数是:A3 4× 3=60,所以,共有 60 种不同的送法. 5=5× (2)由于有 5 种不同的书,送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法,因此送给 3 名同学,每人各 1 本书的不同方法种数是:5× 5× 5=125,所以,共有 125 种不同的送法. 本题中两个小题的区别在于:第(1)小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 名同学, 各人得到的书不同,属于求排列数问题;而第(2)小题中,给每人的书均可以从 5 种不同的 书中任选 1 种,各人得到哪种书相互之间没有联系,要用分步计数原理进行计算. 设计意图:引导学生通过具体实例回顾排列的概念和排列数公式. 提出问题 2:请同学们再回顾一下排列的概念和排列数公式. 活动设计:学生一起回答,教师板书. 活动成果: 从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排 成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 说明:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同. 从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中 m 取出 m 个元素的排列数,用符号 An 表示. 注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取 m 个元素 按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素 的所有排列的个数,是一个数.所以符号 Am n 只表示排列数,而不表示具体的排列. 设计意图:复习排列概念和排列数公式,为本节课的学习奠定基础. 典型例题 类型一:直接抽象为排列问题的计数问题 例 1 某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 个队参加,每队要与其余各队在主、客场分 别比赛一次,共进行多少场比赛? 解:任意两队间进行 1 次主场比赛与 1 次客场比赛,对应于从 14 个元素中任取 2 个元
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素的一个排列.因此,比赛的总场次是 A2 13=182. 14=14× 点评:要学会把具体问题抽象为从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个不同元素,按一定 顺序排成一列的问题. 【巩固练习】 某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号? 解:分 3 类:第一类用 1 面旗表示的信号有 A1 3种; 2 第二类用 2 面旗表示的信号有 A3种; 第三类用 3 面旗表示的信号有 A3 3种, 2 3 由分类加法计数原理,所求的信号种数是:A1 2+3× 2× 1=15, 3+A3+A3=3+3× 即一共可以表示 15 种不同的信号. 【变练演编】 将 4 位司机、4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司 机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案? 分析:解决这个问题可以分为两步,第一步:把 4 位司机分配到四辆不同班次的公共汽 车上,即从 4 个不同元素中取出 4 个元素排成一列,有 A4 4种方法; 第二步:把 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,也有 A4 4种方法. 利用分步乘法计数原理即得分配方案的种数. 解:由分步乘法计数原理,分配方案种数共有 N=A4 A4 4· 4=576. 即共有 576 种不同的分配方案. 类型二:有约束条件的排列问题(特殊位置分析法、特殊元素分析法) 例 2 用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 思路分析:在本问题的 0 到 9 这 10 个数字中,因为 0 不能排在百位上,而其他数可以 排在任意位置上,因此 0 是一个特殊的元素.一般的,我们可以从特殊元素的排列位置入手 来考虑问题.

解法一:由于在没有重复数字的三位数中,百位上的数字不能是 0,因此可以分两步完 成排列.第 1 步,排百位上的数字,可以从 1 到 9 这九个数字中任选 1 个,有 A1 9种选法; 2 第 2 步, 排十位和个位上的数字, 可以从余下的 9 个数字中任选 2 个, 有 A9种选法(如图). 根 1 2 据分步乘法计数原理,所求的三位数的个数为 A9× A9=9× 9× 8=648. 解法二:如图所示,符合条件的三位数可分成 3 类.每一位数字都不是 0 的三位数有 3 2 A9个,个位数字是 0 的三位数有 A2 9个,十位数字是 0 的三位数有 A9个.根据分类加法计数 2 2 原理,符合条件的三位数的个数为 A3 9+A9+A9=648.

解法三:从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A3 10,其中 0 在百位上的排 2 列数是 A9,它们的差就是用这 10 个数字组成的没有重复数字的三位数的个数,即所求的三 2 位数的个数是 A3 9× 8-9× 8=648. 10-A9=10×
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点评:对于例 2 这类计数问题,可用适当的方法将问题分解,而且思考的角度不同,就 可以有不同的解题方法. 解法一根据百位数字不能是 0 的要求, 分步完成选 3 个数组成没有 重复数字的三位数这件事, 依据的是分步乘法计数原理; 解法二以 0 是否出现以及出现的位 置为标准,分类完成这件事情,依据的是分类加法计数原理;解法三是一种逆向思考方法: 先求出从 10 个不同数字中选 3 个不重复数字的排列数, 然后从中减去百位是 0 的排列数(即 不是三位数的个数),就得到没有重复数字的三位数的个数.从上述问题的解答过程可以看 到,引进排列的概念,以及推导求排列数的公式,可以更加简便、快捷地求解“从 n 个不同 元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题. 【巩固练习】 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能 排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法? 5 解法一:(从特殊位置考虑)A1 9A9=136 080; 6 6 解法二:(从特殊元素考虑)若选:5· A5 A5 9;若不选:A9,则共有 5· 9+A9=136 080 种; 5 解法三:(间接法)A6 10-A9=136 080. 【变练演编】 A、B、C、D、E 五个人排成一排照相,其中 A、B 不能排在两端,C 不能排在中间, 共有多少种不同的排法? 解法一:若 A、B 排在中间,则从 A、B 中选一个排在中间有 A1 2种排法,另一个不在 1 3 两端的位置上有 A2种排法,其余三个人排在剩下的三个位置上有 A3种排法,根据分步乘法 1 3 计数原理,共有 A1 2A2A3=24 种不同的排法. 2 若 A、B 不排在中间,则有 A2 种排法,C 不排在中间有 A1 2种排法,其余两个人排在剩 2 1 2 下的两个位置上有 A2种排法,根据分步乘法计数原理,共有 A2 2A2A2=8 种不同的排法. 根据分类加法计数原理,共有 24+8=32 种不同的排法. 1 解法二:若 C 排在两端,有 A1 2种排法,另一端从 D、E 中选一个人,有 A2种排法,剩 1 1 3 下三个人排在剩下的三个位置上有 A3 3种排法,根据分步乘法计数原理,共有 A2A2A3=24 种不同的排法. 1 若 C 不排在两端,有 A1 2种排法,两端排列 D、E,有 A2种排法,剩下两个人排在剩下 2 1 2 的两个位置上有 A2种排法,根据分步乘法计数原理,共有 A2 2A2A2=8 种不同的排法. 根据分类加法计数原理,共有 24+8=32 种不同的排法. 【达标检测】 1.一个火车站有 8 股岔道,停放 4 列不同的火车,有多少种不同的停放方法(假定每股 岔道只能停放 1 列火车)? 2.一部纪录影片在 4 个单位轮映,每一单位放映 1 场,有多少种轮映次序? 3. 6 个人站成前后两排照相, 要求前排 2 人, 后排 4 人, 那么不同的排法共有 …( ) A.30 种 B.360 种 C.720 种 D.1 440 种 4 4 答案:1.A8=8× 7× 6× 5=1 680 2.A4=4× 3× 2× 1=24 3.C 课堂小结 1.知识收获:对于较复杂的问题,一般都有两个方向的列式途径,一个是“正面凑”, 一个是“反过来剔”.前者指,按照要求,一点点选出符合要求的方案;后者指,先按全局性 的要求,选出方案,再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列数的意义,掌握排列数公 式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想,并能运用排列数公式进行计算. 2.方法收获:“化归”的数学思想方法. 3.思维收获:“化归”的数学思想方法. 补充练习
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【基础练习】 1.从 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种植在不同土质的 3 块土地上进行试验,有 __________种不同的种植方法. 2.从参加乒乓球团体比赛的 5 名运动员中选出 3 名进行某场比赛,并排定他们的出场 顺序,有__________种不同的方法. 3.信号兵用 3 种不同颜色的旗子各一面,每次打出 3 面,最多能打出不同的信号有 __________种. 4.由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 50 000 的偶数共有多 少个? 答案:1.24 2.60 3.6 1 解答:4.解法一:(正向思维法)个位数上的数字排列数有 A2 种(从 2、4 中选);万位上的 1 数字排列数有 A3种(5 不能选),十位、百位、千位上的排列数有 A3 3种,故符合题意的偶数有 1 1 3 A2A3A3=36 个. 解法二:(逆向思维法)由 1、2、3、4、5 组成无重复数字的 5 位数有 A5 5个,减去其中奇 1 4 1 3 1 4 数的个数 A3A4个,再减去偶数中大于 50 000 的数 A2A3个, 符合题意的偶数共有: A5 5-A3A4 3 -A1 2A3=36 个. 【拓展练习】 5.一天要排语、数、英、化、体、班会六节课,要求上午的四节课中,第一节不排体 育课,数学排在上午;下午两节中有一节排班会课,问共有多少种不同的排法? 4 解答:若数学排在第一节,班会课的排法为 A1 2种,其余 4 节课的排法有 A4种,根据分 4 1 步乘法计数原理,共有 A1 2A4=48 种;若第一节课不排数学,第一节课的排法有 A3种,数学 1 3 课的排法有 A1 3种,班会课的排法为 A2种,其余 3 节课的排法有 A3种,根据分步乘法计数原 1 1 3 理,共有 A1 3A3A2A3=108 种. 根据分类加法计数原理得,共有 48+108=156 种. 设计说明 本节课是排列的第二课时, 本节课的主要目标是在老师的带领下, 体会排列数公式的应 用, 体会把具体计数问题划归为排列问题的过程. 本节课的设计特点是: 教师的问题是主线, 学生的探究活动是主体,师生合作,共同完成知识和方法的总结. 备课资料 多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理. 例 1(1)6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是( ) A.36 种 B.120 种 C.720 种 D.1 440 种 (2)把 15 人分成前后三排,每排 5 人,不同的排法种数为( ) 5 5 5 5 5 3 A.A15A10 B.A15A10A5A3 15 5 5 C.A15 D.A5 A3 15A10A5÷ 3 (3)8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排,某 1 个 元素排在后排,有多少种不同排法? 解析:(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排,共 6 A6=720 种排法,选 C. (2)答案:C (3)看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A2 4种,某 1 个元素排在后 1 2 5 半段的四个位置中选一个有 A4种, 其余 5 个元素任排在 5 个位置上有 A5 故共有 A1 5种, 4A4A5 =5 760 种排法. (设计者:殷贺)
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