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江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三三校联考数学试


江苏省天一中学 淮阴中学 海门中学 2012 届高三联合调研考试

数学 I
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.若复数 z 满足 z ? (2 ? z )i ( i 是虚数单位) ,则 z ? ▲ .

2.已知全集 U ? {1 , 2, 3

, 4, 5},集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? 2a,a ? A} ,则 集合 ?U ( A B) = ▲ . 3.在圆 x2+y2=4 所围成的区域内随机取一个点 P(x,y),则| x |+| y | ≤ 2 的概率为 ▲ .

? 4 ? 4.已知 cos ? ? ? 且 ? ? ( , ? ) ,则 tan(? ? ) ? 2 5 4
5.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?
2 2

▲ .

?2x ? 1 是奇函数,则 a ? 2x ?1 ? a

▲ .
开始

6.已知 B 为双曲线

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左准线与 x 轴的交点, a 2 b2 点 A(0, b) ,若满足 AP ? 2 AB 的点 P 在双曲线上,则该双曲线 的离心率为 ▲ .

k ? 1, s ? 0
s ? s ? 3k
k ?k?2

7.右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 ▲ . 8.若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 ▲ . 9.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = ▲ . 10.在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第 一个长方形的面积为 0.02, 前五个与后五个长方形的 面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量 为 1600, 则中间一组(即第五组)的频数为 ▲ .
2 2

k ? 100




输出S

结束
第7 题图

频率 组距

第10题图

样本数据

11.已知变量 a,? ? R ,则 (a ? 2cos? ) ? (a ? 5 2 ? 2sin ? ) 的最小值为 12.等比数列 {an } 中, a1 ? 1, a2012 ? 9 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )
y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为

▲ .

( x ? a2012 ) ? 2 ,则曲线

▲ .

13.将一个长宽分别是 a, b(0 ? b ? a) 的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的 a 长方体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则 的取值范围是 ▲ . b 14.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2x 的焦点为 F. 设 M 是抛物线上的动点,则 的最大值为 ▲ .

MO MF

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 , x ? R . 2 2 (1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期;

]

(2)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin B ? 2 sin A ,求 a , b 的值.

16. (本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC=4,CB=2,AA1 =2,?ACB ? 60 , E、 F 分别是 A1C1 , BC 的中点. (1)证明:平面 AEB ? 平面 BB1C1C ;
?

(2)证明: C1 F // 平面 ABE; (3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积.
A1

E

C1 B1

P A F B C

17. (本小题满分 14 分) 省环保研究所对市中心每天环境放 射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合 x 2 ? a ? 2a ? , x ? ? 0, 24? ,其 放射性污染指数 f ? x ? 与时刻 x (时)的关系为 f ? x ? ? 2 x ?1 3 1 中 a 是与气象有关的参数, 且 a ?[0, ] , 若用每天 f ? x ? 的最大值为当天的综合放射性污 2

染指数,并记作 M ? a ? .

x , x ? ? 0, 24? ,求 t 的取值 范围; x ?1 (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射 性 污染指数是否超标?
(1)令 t ?
2

18. (本小题满分 16 分) 2 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,一条准线 l : x ? 2 . 2 a b (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点, M 是 l 上的点, F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与 以 OM 为直径的圆 D 交于 P, Q 两点. ①若 PQ ? 6 ,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证点 P 在定圆上,并求该定圆的方程.

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满足
2 an ? S2 n ?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 和数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ;

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有

m, n 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x (其中 e 为自然对数的底数) , g ( x) ?
n 2

n x ? m(m, n ? R) . 2

(1)若 T ( x) ? f ( x) g ( x) , m ? 1 ? ,求 T ( x) 在 [0,1] 上的最大值; (2)若 n ? 4 时方程 f ( x) ? g ( x) 在 [0, 2] 上恰有两个相异实根,求 m 的取值范围; 15 ? (3)若 m ? ? , n ? N ,求使 f ( x ) 的图象恒在 g ( x) 图象上方的最大正整数 n . 2 15 [注意: 7 ? e2 ? ] 2

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数学 II(附加题)
请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........ 21.本题包括 A、B 两小题,考生都做 . ..

A 选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)

?1 ? ?1 1? 已知矩阵 A ? ? ,向量 ? ? ? ? .求向量 ? ,使得 A2 ? ? ? . ? ?2? ? 2 1?

B 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)
1 ? x? t ? 2 ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以直角坐标 ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 2 系 xoy 的 O 点为极点, ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线 C 的极坐

标方程为 ? ? 2cos(? ? ) . 4 (1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB .

?

22. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?1,1) ,P 是动点,且三角形 POA 的三边所在直线的 斜 率满足 kOP+kOA=kPA. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若 Q 是轨迹 C 上异于点 P 的一个点,且 PQ ? ?OA ,直线 OP 与 QA 交于点 M, 问: 是否存在点 P 使得△PQA 和△PAM 的面积满足 S?PQA ? 2S?PSM ?若存在, 求出点 P 的坐标; 若不 存在,说明理由.

23. (本小题满分 10 分) 把所有正整数按上小下大, 左小右大的原则排成如图所示的数表, 其中第 i 行共有 2 个 正整数,设 aij ? i, j ? N *? 表示位于这个数表中从上往下数第 i 行,从左往右第 j 个数. (1)求 a69 的值; (2)用 i, j 表示 aij ; (3)记 An ? a11 ? a22 ? a33 ?
3 ? ann ? n ? N *? ,求证:当 n ? 4 时, An ? n ? Cn .

i ?1

2012 届高三三校联合调研考试

参考答案及评分标准
1 ;5. 2;6. 2 ;7. 7500;8. k ? 0 或 k ? 4 ;9. 4; 7 ? 5 2 3 10. 360;11. 9;12. y ? 32012 x ? 2 ;13. (1, ) ;14. . 3 4
1. 1 ? i ;2. {3,5} ;3. ;4. 15. 解: (1) f ( x ) ?

2

3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 ,…………3 分 2 2 2 6
…………5 分

则 f ( x ) 的最小值是-2,

最小正周期是 T ? 2? ? ? ; (2) f (C ) ? sin(2C ? ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ? ) ? 1 ,

2

…………7 分

6

Q0? C ??

?0 ? 2 C ?? 2

? 2C ? ? ? ? ,? C ? ? , 3 6 2

?? ? ? 2C ? ? ? 11? , 6 6 6
…………10 分 …………11 分
2 2

6

2 2 2 由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos ? ,即 a ? b ? ab ? 3 , ②

Q sin B ? 2sin A ,由正弦定理,得 a ? 1 ,① b 2

由①②解得 a ? 1, b ? 2 .

3

…………14 分
0

16.(1)证明:在 ?ABC 中,∵AC=2BC=4, ?ACB ? 60 由已知 AB ? BB1 , ∴ AB ? 面BB1C1C 又∵ AB ? 面ABE, 故 ABE ? 面BB1C1C (2)证明:取 AC 的中点 M,连结 C1M , FM

2 2 2 ∴ AB ? 2 3 ,∴ AB ? BC ? AC ,∴ AB ? BC

H

…………5 分

, FM // AB , 在 ?ABC 中 而 FM ? 平面ABE ,∴直线 FM//平面 ABE 在矩形 ACC1 A1 中,E、M 都是中点,∴ C1 M // AE
而 C1M ? 平面ABE ,∴直线 C1 M // 面ABE 又∵ C1 M ? FM ? M 故 C1F // 面AEB ∴ 面ABE // 面FMC1 …………………………10 分

G

B

(或解:取 AB 的中点 G,连结 FG,EG,证明 C1 F / / EG,从而得证) 1 (3)取 B1C1 的中点 H ,连结 EH ,则 EH / / AB 且 EH ? AB ? 3 , 2 由(1) AB ? 面BB1C1C ,∴ EH ? 面BB1C1C , ∵P 是 BE 的中点, 1 1 1 ∴ VP ? B1C1F ? VE ? B1C1F ? ? S?B1C1F ? EH ? 3 …………………………………14 分 2 2 3

17. 解: (1)当 x ? 0 时,t=0;

1 ? 2 (当 x ? 1 时取等号) , x x 1 ? 1? t? 2 ? ? ? 0, ? , ∴ x ?1 x ? 1 ? 2 ? x ? 1? 即 t 的取值范围是 ?0, ? . ? 2? 2 ? 1? (2)当 a ? ?0, ? 时,记 g ? t ? ? t ? a ? 2a ? 3 ? 2?
当 0 ? x ? 24 时, x ?

……………………4 分

2 ? ?t ? 3a ? , 0 ? t ? a ? ? 3 则 g ?t ? ? ? ……………………6 分 ? t ? a ? 2 ,a ? t ? 1 ? 3 2 ? ? 1? ∵ g ? t ? 在 ?0, a ? 上单调递减,在 ? a, ? 上单调递增, ? 2? 2 ?1? 7 1? ?1? ? 且 g ? 0 ? ? 3a ? , g ? ? ? a ? , g ? 0 ? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? . 3 ?2? 6 4? ?2? ?

? ?1? 1 ? 7 1 g ? ?,0 ? a ? a ? , 0 ? a ? ? ? ? 2 4 ? 6 4 故 M ?a? ? ? ? ? . ……………………12 分 ?? 2 1 1 1 1 ? g ? 0? , ? a ? ?3a ? , ? a ? ? 3 4 2 ? ? 4 2 ? 4 ∴当且仅当 a ? 时, M ? a ? ? 2 . 9 4 4 1 故当 0 ? a ? 时不超标,当 ? a ? 时超标. ……………………14 分 9 9 2
?c 2 ? ? ?a ? 2 ?a 2 ,? ? 18. 解: (1)由题设: ? ,? b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , ? 2 ? ? c ?1 ? a ?2 ? ? c x2 ………………………… 4 分 ? 椭圆 C 的方程为: ? y 2 ? 1 2 (2)①由(1)知: F (1,0) ,设 M (2, t ) ,

t t2 则圆 D 的方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? )2 ? 1 ? , 2 4 直线 PQ 的方程: 2 x ? ty ? 2 ? 0 ,
t )?( 4
2

………………………… 6 分 ………………………… 8 分

2?

? PQ ? 6 ,? 2 (1 ?
2

t2 ?2 2
2

4?t

)2 ? 6 , ………………………… 10 分

? t ? 4 ,? t ? ?2 ? 圆 D 的方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 …………… 12 分

②解法(一) :设 P( x0 , y0 ) ,
? t 2 t2 2 ? ( x0 ? 1) ? ( y0 ? ) ? 1 ? 由①知: ? 2 4 , ? 2 x ? ty ? 2 ? 0 0 ? 0

? x 2 ? y02 ? 2 x0 ? ty0 ? 0 ? 即: ? 0 , ? ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ? 0 消去 t 得: x02 ? y02 =2
? 点 P 在定圆 x2 ? y 2 =2 上. 解法(二) :设 P( x0 , y0 ) , y 则直线 FP 的斜率为 k FP ? 0 , x0 ? 1

………………………… 14 分

………………………… 16 分

∵FP⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ? ∴直线 OM 的方程为: y ? ?

x0 ? 1 , y0

x0 ? 1 x, y0 2( x0 ?1) ) . 点 M 的坐标为 M (2, ? y0

…………………………14 分

∵MP⊥OP,∴ OP ? MP ? 0 , 2( x0 ? 1) ∴ x0 ( x0 ? 2) ? y0 [ y0 ? ]?0 y? ∴ x02 ? y02 =2,? 点 P 在定圆 x2 ? y 2 =2 上.
2 n

…………………………16 分

19.解: (1) (法一)在 a ? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,
2 ? ?a1 ? S1 , 得? 2 ? ?a 2 ? S 3 , 2 ? ?a1 ? a1 , 即? 2 ? ?(a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d , 解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1

………………………2 分

2 an ? 2n ? 1 时, Sn ? n2 满足 an ? S2 n ?1 ,? an ? 2n ? 1 ………………3 分 1 1 1 1 1 bn ? ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? )? . ………………5 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 a ? a 2 n ?1 ? an (法二)? ?an ? 是等差数列, ? 1 2 a ? a 2 n ?1 ? S 2 n ?1 ? 1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)an . …………………………2 分 2 2 2 由 an ? S2n?1 ,得 an ? (2n ? 1)an , 又 an ? 0 ,? an ? 2n ? 1 ,则 a1 ? 1, d ? 2 . ………………………3 分 ( Tn 求法同法一)



(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. …………………………………6 分 n n 8 2n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n …………………………………………7 分 ? 此时 ? 需满足 ? ? 25 . ②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式 (n ? 8)(2n ? 1) 8 ?? ? 2n ? ? 15 恒成立. …………………………………8 分 n n 8 8 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2 n ? 取得最小值 ?6 . n n …………………………………………9 分 ? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 . 综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 . ………………………………………10 分 1 m n , Tn ? (3) T1 ? , Tm ? , 3 2m ? 1 2n ? 1

??

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 即

m 2 1 n ) ? ( ), 2m ? 1 3 2n ? 1

m2 n . ………………………12 分 ? 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ? 由 ,可得 ? ? 0 ,即 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 , 2 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 n m

?1?

6 6 . ……………………………………14 分 ? m ? 1? 2 2 又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时, 数列 ?Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列.…16 分

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , ? ? ,故 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n 6 6 , (以下同上) . ……………………………………14 分] ? m ? 1? ?1? 2 2
[另解:因为 20. 解: (1) m ? 1 ?

n n n n 时, T ( x) ? e x ( x ? 1 ? )(n ? R) ,? T ?( x) ? e x ( x ? 1) ………1 分 2 2 2 2 ① 当 n ? 0 时, T ?( x) ? e x ? 0 , T ( x ) 在 [0,1] 上为增函数,则此时 T ( x)max ? T (1) ? e ;………2 分
② 当 n ? 0 时, T ?( x) ? e x ? ( x ? ) , T ( x ) 在 ( ? , ??) 上为增函数, 故 T ( x ) 在 [0,1] 上为增函数,此时 T ( x)max ………3 分
n 2 2 2 ③ 当 n ? 0 时, T ?( x) ? e x ? ( x ? ) , T ( x ) 在 (??, ? ) 上为增函数,在 ( ? , ??) 上为减函数, n n 2 n 2 2 2 若 0 ? ? ? 1 ,即 n ? ?2 时,故 T ( x ) 在 [0, ? ] 上为增函数,在 [? ,1] 上为减函数, n n n
n 2 2 n 2 n ? T (1) ? e ;

此时 T ( x)max ? T (? ) ? e n (?1 ? m) ? ? ? e n , 若 ? ? 1 ,即 ?2 ? n ? 0 时, T ( x ) 在 [0,1] 上为增函数,则此时 T ( x)max ? T (1) ? e ; 综上所述: [T ( x)]max
2 ? 2 ?n ? ? e , n ? ?2 ?? n ?e , n ? ?2 ?

2 n

?

2

2 n

?

2

2 n

………………6 分

(2) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? 2 x ? m , F ?( x) ? e x ? 2 , 故 F ( x) 在 (0,ln 2) 上单调递减;在 (ln 2, ?? ) 上单调递增; 故 F ( x) ? e x ? 2 x ? m 在 [0, 2] 上恰有两个相异实根
? F (0) ? 1 ? m ? 0 ? ? ? F (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? m ? 0 ? 2 ? 2ln2 ? m ? 1 ? 2 ? F (2) ? e ? 4 ? m ? 0

………………8 分

………………11 分 ………………12 分

n 15 (3)由题设: ?x ? R, p( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? x ? ? 0 ( ? ) , 2 2
n 2

n n 2 2 n n n n 15 1 n 故( ? ) ? p( x)min ? p(ln ) ? ? ln ? ? (n ? n ln ? 15) ? 0 , ………………13 分 2 2 2 2 2 2 2 x x x 设 h( x) ? x ? x ln ? 15 ? x ? x(ln x ? ln 2) ? 15 ,则 h?( x) ? 1 ? ln ? 1 ? ? ln , 2 2 2 故 h ( x ) 在 (0, 2) 上单调递增;在 (2, ?? ) 上单调递减;

因为 p?( x) ? e x ? 故 p ( x ) 在 (0,ln ) 上单调递减;在 (ln , ??) 上单调递增;

而 h(2e2 ) ? 2e2 ? 2e2 ln e2 ? 15 ? 15 ? 2e2 ? 0 ,且

15 15 15 ? 15 ? 15(2 ? ln ) ? 15(ln e2 ? ln ) ? 0 , 2 2 2 故存在 x0 ? (2e2 ,15) 使 h( x0 ) ? 0 ,且 x ? [2, x0 ) 时 h( x) ? 0 , x ? ( x0 , ?? ) 时 h( x) ? 0 , h(15) ? 15 ? 15ln

15 , 2 ? 故 n ? N 时使 f ( x ) 的图象恒在 g ( x ) 图象的上方的最大正整数 n ? 14 ; ………16 分 ?1 1? ?1 1? ?1 1? ? 3 2? 21.A.解: A ? ? ,? A2 ? ? ………………4 分 ? ?? ??? ? ? 2 1? ?2 1? ?2 1? ?4 3? ?x? ? 3 2 ? ? x ? ?1 ? ?3x ? 2 y ? ?1 ? 设 ? ? ? ? ,则 A2 ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …………8 分 ? y? ?4 3? ? y ? ? 2 ? ?4 x ? 3 y ? ?2?
又 h(1) ? 16 ? ln ? 0 , 7 ? e2 ?
1 2

? 3x ? 2 y ? 1 ? x ? ?1 ? ?1? ?? ,? ? ,?? ? ? ? . ?4 x ? 3 y ? 2 ? y ? 2 ?2?

………………10 分

1 ? cos ? ? ? 2 ? B.解: (1)设直线 l 的倾斜角为 ? ,则 ? 且 ? ? [0, ? ) , ?sin ? ? 3 ? ? 2

?? ?

?

3

,即直线 l 的倾斜角为

? 3

………………5 分

(2) l 的直角坐标方程为 y ? 3 x ? 2 , 2 ? 2 2 2 2 ? ? 2 cos( ? ? ) 的直角坐标方程为 ( x ? ) ?(y ? ) ?1, 4 2 2 所以圆心 ( 2 , 2 ) 到直线 l 的距离 d ? 6 ,?| AB |? 10
2 2

4

2

……………10 分

22. 解: (1)设点 P ( x, y ) 为所求 轨迹上的任意一点,则由 kOP ? kOA ? kPA 得,

y 1 y ?1 ,整理得轨迹 C 的方程为 y ? x2 ( x ? 0 且 x ? ?1 ). · · · · · · · · · · 3分 ? ? x ?1 x ? 1 2 (2) 设 P( x1 , x12 ) , Q( x2 , x2 ),
:学

由 PQ ? ? OA 可知直线 PQ //OA ,则 kPQ ? kOA ,
2 x2 ? x12 1 ? 0 ? ,即 x2 ? ? x1 ? 1 , x2 ? x1 ?1 ? 0 直线 OP 方程为: y ? x1 x ①;



…………5 分

(? x1 ? 1)2 ? 1 ? ? x1 ? 2 , ? x1 ? 1 ? 1 ∴直线 QA 方程为: y ? 1 ? (? x1 ? 2)( x ? 1) , 即 y ? ?( x1 ? 2) x ? x1 ? 1 ② 1 1 联立①②,得 x ? ? ,∴点 M 的横坐标为定值 ? . …………8 分 2 2 由 S?PQA ? 2S?PAM ,得到 QA ? 2 AM ,因为 PQ //OA ,所以 OP ? 2OM ,
直线 QA 的斜率为:

P 的坐标为 (1,1) . 由 PO ? 2OM ,得 x1 ? 1 ,∴
∴ 存在点 P 满足 S?PQA ? 2S?PSM , P 的坐标为 (1,1) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 23.解: (1) a69 ? 25 ? (9 ? 1) ? 40 (2)因为数表中前 i ? 1 行共有 1 ? 2 ? 2 ?
2

…………2 分

?2

i ?2

?2

i ?1

? 1 个数,则第 i 行的第一
…………5 分

个数是 2

i ?1

,所以 aij ? 2

i ?1

? j ?1

(3)因为 aij ? 2i ?1 ? j ? 1 ,则 ann ? 2n?1 ? n ? 1? n ? N *? , 所以 An ? 1 ? 2 ? 22 ?
n

…………6 分
n ? n ? 1? 2 n ? n ? 1? 2

?

? 2n?1 ? ? ? ?0 ? 1 ? 2 ?
n ? n ? 1? 2

n ? ? n ? 1?? ? ? 2 ?1?

……8 分

当 n ? 4 时, An ? ?1 ? 1? ? 1 ?

0 1 2 3 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1?

3 . ? n2 ? Cn

…………10 分


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