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2013年北京市春季普通高中会考数学试卷及答案


2013 年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷 第一部分 选择题(每小题 3 分,共 60 分) 在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.如果集合 A ? { ? 1, 2} , B ? {x | x ? 0} ,那么集合 A ? B 等于( (A) ?
2

) (D) {?1, 2}

(B) {

?1} )

(C) {2}

2.不等式 x ? 2 x ? 0 的解集为( (A) {x | x ? 2}

(B) {x | x ? 0}

(C) {x | 0 ? x ? 2} )

(D) {x | x ? 0 或 x ? 2}

3.已知向量 a ? (?2, 3) , b ? (1, 5) ,那么 a ? b 等于( (A) ?13 (B) ?7 (C) 7

(D) 13 ) (D) 3

4.如果直线 y ? 3x 与直线 y ? ?mx ? 1 平行,那么 m 的值为( (A) ?3 (B) ?

1 3

(C)

1 3

1 ) ? 1的最小值是( a (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ? 6.要得到函数 y ? 2sin( x ? ) 的图象,只要将函数 y ? 2sin x 的图象( ) 6 ? ? (B)向右平移 个单位 (A)向左平移 个单位 6 6 ? ? (D)向右平移 个单位 (C)向左平移 个单位 3 3
5.如果 a ? 0 ,那么 a ? 7.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 1 , S5 ? 25 ,那么 a5 等于( (A) 9 (B) 8
3 x

) (D) 6 ) (D) y ? ln x

(C) 7

8.在函数 y ? cos x , y ? x , y ? e , y ? ln x 中,奇函数是( (A) y ? cos x 9. cos (B) y ? x
3

(C) y ? e

x

11? 的值为( ) 6 3 2 2 3 (A) ? (B) ? (C) (D) 2 2 2 2 10.函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x ( x ? R) 的最小正周期是( ) ? (A) (B) ? (C) ?? (D) ?? 2 x 11.已知函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 在区间 [0, 1] 上最大值是 2 ,那么 a 等于( 1 1 (A) (B) (C) 2 (D) 4 4 2
12.在 ?ABC 中, ?A ? 60? , AC ? 2 3 , BC ? 3 2 ,则角 B 等于( )



1

(A) 45?

(B) 30? 或 60?

(C) 135?

(D) 45? 或 135?

13.口袋中装有 4 个大小、 材质完全相同的小球,球的颜色分别是红色、 黄色、 蓝色和白色, 从口袋中随机摸出 2 个小球,摸到红色小球和白色小球的概率是( (A) )

1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

14.为了解决某学校门前公路的交通状况,从行驶过的 汽车中随机抽取 200 辆进行统计分析,绘制出关于 它们车速的频率分布直方图(如图所示) ,那么车速 在 [60, 70) 区间的汽车大约有( (A)20 辆 (B)40 辆 (C)60 辆 (D)80 辆 15.已知平面 ? 、 ? ,直线 a 、 b ,下面的四个命题 )

a∥b ? a ?? ① ② ? ?b ?? ; a ??? b ??
所有正确命题的序号是( (A)①②

a ??? a ?? ? ? ? b b ④ ③ ? ? a∥b ; b ? ? ? ?a ? ; b ? ? ? ?a ∥ 中, ? ? ? ∥? ? ? ? ??
(C)①④ (D)②④



(B)②③

? x ? y, ? 16.当 x, y 满足条件 ? y ? 0, 时,目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值是( ?2x ? y ? 3 ? 0 ?
(A) 1 (B) 1.5 (C) 4 (D) 9



17.针对 2020 年全面建成小康社会的宏伟目标,十八大报告中首次提出“实现国内生产总 值和城乡居民人均收入比 2010 年翻一番”的新指标.按照这一指标,城乡居民人均收入在 这十年间平均增长率 x 应满足的关系式是( (A) 1 ? 10 x ? 2 (B) 10(1 ? x) ? 2 ) (C) (1 ? x) ? 2
10

(D) 1 ? x ? 2
10

18.一个空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为( (A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 36


3

正(主)视图

3 侧(左)视图

3
2

4 俯视图

19.将长度为 1 米的绳任意剪成两段,其中一段的长度小于 0.4 米的概率是( (A) 1 (B) 0.8 (C) 0.6 (D) 0.5



20.记时钟的时针、分针分别为 OA 、 OB ( O 为两针的旋转中心) .从 12 点整开始计时, 经过 m 分钟, OA ? OB 的值第一次达到最小时,那么 m 的值是( (A) 30 (B)

??? ??? ? ?



360 11

(C) 31

(D)

2? 11

第二部分 非选择题(共 40 分) 一、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 21.计算 ( ) ?1 ? log3 1 的结果为
2 2

开始

1 2



S=1,i=1

22. 已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 , 那么圆心 C 到坐标原点 O 的距离是 .

i≤4 是 S=S+2i



23.某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 S 的值 为 .

i = i+1

输出S

24. 已知数列 {an } 是公差为 d 的等差数列, 且各项均为正整数, 如果 a1 ? 1 , an ? 16 ,那么 n ? d 的最小值为 二、解答题(共 4 个小题,共 28 分) 25. (本小题满分 7 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 CC1 的中点. (Ⅰ)证明: AC1 ∥平面 BDE ; (Ⅱ)证明: AC1 ? BD .
D A B A1 D1 B1

结束



C1

E

C

26. (本小题满分 7 分)

? ? 始边与 x , ? ? ? ?) 的顶点与原点 O 重合, 2 2 5 3 轴的正半轴重合,终边分别与单位圆交于 A, B 两点, A, B 两点的纵坐标分别为 , . 13 5
在平面直角坐标系 xOy 中, ? , ? (0 ? ? ? 角 (Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求 ?AOB 的面积.

3

27. (本小题满分 7 分) 已知圆 C : x ? y ? 5m (m ? 0) ,直线 l 过点 M(-m,0)且与圆 C 相交于 A, B 两点.
2 2 2

(Ⅰ)如果直线 l 的斜率为 1 ,且 | AB |? 6 ,求 m 的值; (Ⅱ)设直线 l 与 y 轴交于点 P ,如果 | PA |? 2 | PM | ,求直线 l 的斜率.

??? ?

???? ?

28. (本小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足:
2

① f ( x) 的一个零点为 2 ;② f ( x) 的最大值为 1 ;③ 对任意实数 x 都有

f ( x ? 1) ? f (1 ? x) .
(Ⅰ)求 a, b, c 的值; (Ⅱ)设函数 g ( x ) ? ?

x? A ? x, 是定义域为 (0, 1) 的单调增函数,且 0 ? x0 ? x? ? 1 . ? f ( x), x ? B

当 x0 ? B 时,证明: x? ? B .

4

2013 年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷 参考答案 一、选择题: 1.C2.C3.D4.C5.B6.A7.A8.B9.D10.B11.C12.A13.A14.D15.A16.C17.C18.B19.B20.B 二、填空题: 21.2 ;22.

2 ;23.31;24.9;

三、解答题: 25.(I)证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,因为 ABCD 是正方形,所以 O 为 AC 的中点, 因为 E 是棱 CC1 的中点,所以 AC1∥OE.又因为 AC1 ? 平面 BDE,OE ? 平面 BDE,所以 AC1∥平面 BDE.

(II)证明因为 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 因为 CC1⊥平面 ABCD,且 BD ? 平面 ABCD,所以 CC1⊥BD. 又因为 CC1∩AC=C,所以 BD⊥平面 ACC1.又因为 AC1 ? 平面 ACC1,所以 AC1⊥BD. 26. (I)解:因为在单位圆中,B 点的纵坐标为

3 3 ? ,所以 sin ? ? ,因为 ? ? ? ? ,所以 5 5 2

sin ? 3 4 ?? . cos ? ? ? ,所以 tan ? ? cos ? 4 5
(II)解:因为在单位圆中,A 点的纵坐标为

12 . 2 13 3 4 由(I)得 sin ? ? , cos ? ? ? , 5 5
因为 0 ? ? ? ,所以 cos ? ? 所以 sin ? AOB ? sin( ? ? ? ) = sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 又因为|OA|=1,|OB|=1,所以△AOB 的面积 S ?

?

5 5 ,所以 sin ? ? . 13 13

56 . 65

1 28 . | OA | ? | OB | sin ? AOB ? 2 65
|m| . 2

27. (I)解:由已知,直线 l 的方程为 y ? x ? m ,圆心(0,0)到 l 直线的为

因为|AB|=6,所以 5m ? (
2

|m| 2 ) ? 9 ,解得 m2 ? 2 .由 m ? 0 ,得 m ? 2 . 2

5

(II)解:设 A( x1 , y1 ),直线 l : y ? k ( x ? m) ,则点 P(0, km ).因为 | PA |? 2 | PM | ,所以

??? ?

???? ?

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 时 PA ? 2PM 或 PA ? ?2PM , 当 P A? 2 P M , ( x1 , y1 ? km) ? 2(?m, ?km) , 所 以
x1 ? ?2m , y1 ? ?km .

? x12 ? y12 ? 5m2 ? 由方程组 ? x1 ? ?2m 得 k ? ?1 . ? y ? ?km ? 1 ??? ? ???? ? 当 PA ? ?2PM 时, ( x1 , y1 ? km) ? ?2(?m, ?km) ,所以 x1 ? 2m , y1 ? 3km . ? x12 ? y12 ? 5m2 1 ? 由方程组 ? x1 ? 2m 得k ? ? . 3 ? y ? 3km 1 ? 1 综上,直线 l 的斜率为±1, ? . 3
28. (I)解:因为 f ( x) 的一个零点为 2,所以 f (2) ? 0 ,即 4a ? 2b ? c ? 0 . 又因为对任意 x 都有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,所以 f (0) ? f (2) ? 0 ,即 c ? 0 .

因为 f ( x) 的最大值为 1,所以

4ac ? b 2 ? 1 ,所以 a ? ?1, b ? 2 . 4a
2
2

(II)证明:由(I)可知, f ( x) ? ? x ? 2 x .因为 x0 ? B ,所以 g ( x0 ) ? ? x0 ? 2 x0 . 因为 0 ? x0 ? 1 ,所以 x0 ? g ( x0 ) ? 1 . 因为 g ( x) 是单调递增函数,所以 [ x0 , ? x0 ? 2 x0 ] ? B .
2

记 x1 ? ? x0 ? 2 x0 ? (0,1) , x2 ? ? x1 ? 2 x1 ,?, xn ? ? xn ?1 ? 2 xn ?1 ,?
2 2
2

所以 [ x0 , x1 ] ? B .
2

同理 [ x1 , x2 ] ? B ,?, [ xn ?1 , xn ] ? B ,?
2 2

由 xn ? ? xn ?1 ? 2 xn ?1 ,得 1 ? xn ? 1 ? xn ?1 ? 2 xn ?1 ? (1 ? xn ?1 ) . 所以 1 ? xn ? (1 ? xn ?1 ) ? (1 ? xn ? 2 )
2 22

? ? ? (1 ? x0 ) 2

n

由于 x0 ? x? ? 1 ,可取自然数 nx? ? log 2 log (1? x0( ? x?) , ) 1 于是 x? ? xnx? ,即 x ? [ x0 , xnx? ] . 而且 x ? [ x0 , xnx? ] ? B ,所以 x? ? B .
6


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