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高二年级圆锥曲线综合练习题(文科)


高二年级圆锥曲线综合练习题(文科)
一、选择题。 1.抛物线 y ? ? x 的焦点坐标为(
2

9.已知△ ABC 的顶点 B, C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 3
) C.4 3 D.12 B )

B

) C

. ( , 0) ) C. 41 D.2 41 )

一个焦点在 BC 边上,则△ ABC 的周长是( C A.2 3 B.6

A. (0, ) 2.双曲线 A.3

1 4

B. (0, ? )

1 4

1 4

D. ( ?

1 , 0) 4

10.过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的右焦点 F 且斜率是 1 的直线与双曲线的交点个数是 ( A.0 个 B.1 个
2

x2 y2 ? ? 1 的焦距是( D 16 25
B.6

C.2 个 D

D.3 个 )

11.与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x 的切线方程是( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

3. 双曲线的渐进线方程为 2 x ? 3 y ? 0 ,F (0, ?5) 为双曲线的一个焦点, 则双曲线的方程为 (

A. 姓名:____________________

y x ? ?1 4 9
13 y 13x ? ?1 100 225
2 2

2

2

B.

x y ? ?1 9 4
13 y 13x ? ?1 225 100
2 2

2

2

12. 双曲 4. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 F2, F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P, 、 过 若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( D )

C.

D.

A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1

4.双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2, ?F1 MF2 ? 120 ? ,则双曲线的离心率为 ( A. 3 ) B.

二、填空题。

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程为__________。 13.双曲线 4
6 2
C.

6 3

D.

3 3


14.直线 y ? x ? 1 被椭圆 x ? 2 y ? 4 所截得弦的中点坐标是
2 2

. (? 2 , 1 ) 3 3 . 4 3

5. 若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 A.(0, 5) 6. 过双曲线 A.28 7.已知方程 B.(0, 1)

x2 y2 ? ? 1 总有公共点, 那么 m 的取值范围 ( 5 m
C.[1, 5] D.[1, 5)

15.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,则双曲线的虚轴长为 4 m

x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6, ?A F 2(F2 为右焦点) 则 B 的周长是 ( 16 9
B.22 C.14 ) D. k ? ?3 D. (0, ? D.12

16 . 以 椭 圆 )

x2 y2 ? ?1 的 焦 点 为 顶 点 , 以 椭 圆 的 顶 点 为 焦 点 的 双 曲 线 方 程 为 8 5

y2 x2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围( C 3? k 2? k A. k ? ?3 B. ?3 ? k ? ?2 C. k ? ?2 2 2 8.椭圆 25 x ? 16 y ? 1 的焦点坐标是( D )
A. (?3,0) B. ( ? , 0)

x2 y 2 ? ? 1. 3 5

1 3

C. (?

3 , 0) 20

3 ) 20

三、解答题。 17. (1)求中心在原点,对称轴为坐标轴且过两点 (0, ?4) , (5,0)的椭圆的标准方程; (2)求中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率为

1 ,长轴为 8 的椭圆的标准方程. 2

解: (Ⅰ)由已知

x2 y 2 x2 y2 y2 x2 (1) ? ? 1 (2) ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 12 16 12
18.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线

?c 6 ; ? ? 3 ?a ? ?c ? 2; ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ? ?

……………2 分

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点,且抛物线与 2 a b

2

2

解得 ?

? a ? 3; ? ?b ? 1. ?

3 双曲线的一个交 P( , 6 )点,求抛物线和双曲线方程。 2
19.如图,已知直线 l 与抛物线 y2 = x 相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,与 x 轴相交于点 M, 若 y1y2 = -1, (1)求证:M 点的坐标为(1,0) ; (2)求证:OA⊥OB; (3)求△AOB 的面积的最小值. y A (1 ) 设 M 点的坐标为(x0, 0), 直线 l 方程为 x = my + x0 , 代入 y2 = x 得 y2-my-x0 = 0 ① y1、y2 是此方程的两根, ∴ x0 =-y1y2 =1,即 M 点的坐标为(1, 0). (2 ) ∵ y1y2 =-1 ∴ x1x2 + y1y2 = y12y22 +y1y2 =y1y2 (y1y2 +1) = 0 ∴ OA⊥OB. (3)由方程①,y1+y2 = m , y1y2 =-1 , 且 | OM | = x0 =1,

所以,所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 .…………………4 分 3

(Ⅱ) 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , 若 k 存在,则设直线 AB:y=kx+m. 由?

? y ? kx ? m
2 2 ?x ? 3y ? 3

,得

(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0

O B

M

x

6km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 3k 2 ? △ >0, ? ………………7 分 2 ? x x ? 3m ? 3 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
有 OA⊥OB 知 x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m) =(1+k2) x1x2+k m(x1+x2) =0 ………………………9 分 2 2 代入,得 4 m =3 k +3 原点到直线 AB 的距离 d=

1 1 1 于是 S△AOB = | OM | |y1-y2| = ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = m 2 ? 4 ≥1, 2 2 2
∴ 当 m = 0 时,△AOB 的面积取最小值 1.

x2 y2 6 20.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 ,0). 3 a b
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过原点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 交于 A,B 两点,求证:点 O 到直线 AB 的 距离为定值.

m k ?1
2

?

3 .………………………10 分 2

当 AB 的斜率不存在时, x1 ? y1 ,可得 x1 ?

3 ? d ,依然成立. 2

所以点 O 到直线 AB 的距离为定值

3 .………………12 分 2


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