nbhkdz.com冰点文库

由一道高考题说一次分式递推数列


(a + b + c)(b + c ? a ) , 2bc (a + b + c)(a + c ? b) 0 <1+ y = , 2ac (a + b + c)(a + b ? c) 0 <1+ z = , 2ab 故 a, b, c 是锐角△ ABC 三边 , A, B, C 是 其对角且 x = cos A, y = cos B, z = cos C . 0 &l

t;1+ x =
f ( x, y , z ) =

由一道高考题说一次 分式递推数列
福建福清第三中学 福建师范大学数计学院 李云杰 陈清华

1 (b 2 + c 2 ? a 2 )2 ( + 2(a + b + c) (b + c ? a)bc

(a 2 + c 2 ? b 2 ) 2 (a 2 + b 2 ? c 2 ) 2 ) + (a + c ? b)ac (a + b ? c)ab
≥ [b 2 + c 2 ? a 2 + a 2 + c 2 ? b 2 + a 2 +
b 2 ? c 2 ]2 /(2(a + b + c)[bc(b + c ? a ) +(a + c ? b)ac + (a + b ? c)ab])
= (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 [(4(bc) 2 (a + b + c )(b + c ? a ) 2bc

(a + b + c)(a + b ? c) + 2ab (a + b + c)(a + c ? b) 4(ac) 2 ] 2ac = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 /[(4(bc) 2 (1 + cos A)
+ 4(ab) 2 +4(ac) 2 (1 + cos B) + 4(ab)2 (1 + cos C ))]

注意到:
g (a 2 ) = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 ? [2(bc) 2 (1 + cos A)

+2(ac) 2 (1 + cos B) + 2(ab)2 (1 + cos C )] = (a 2 )2 ? 2(c 2 cos B + b 2 cos C )a 2 + (b 4 + c 4 ? 2(bc)2 cos A) Δ = 4[(c 2 cos B + b 2 cos C )2 ? (b 4 + c 4 ? 2(bc)2 cos A)] = ?4(b 2 sin C ? c 2 sin B) ≤ 0 ,

∴ g ( a 2 ) ≥ 0 ,即
(a 2 + b 2 + c 2 )2 /(2(bc) 2 (1 + cos A) + 2(ac) 2 (1 + cos B) + 2(ab)2 (1 + cos C )) ≥ 1 ,

∴ f ( x, y, z ) ≥ 1/ 2 ,取等号条件是 A = B =

C = π / 3 ,此时 x = y = z = 1/ 2 .
∴当 x = y = z = 1/ 2 时 , f ( x, y, z ) 的最小 值为 1/ 2 .

函数与数列均为高中数学的重点内容 , 两者交融的试题常作为各类考试能力考查的 把关题.我们以 2004 年湖北高考理科压轴题 和近几年高考的数学试题 , 说明由一次分式 函数解析式构造出的递推数列问题. 已知 a > 0, 数列 {an } 满足 a1 = a, an +1 = a + 1/ an , n = 1, 2, . (I) 已知数列 {an } 极限存在且大于零,求 A = lim an (将 A 用 a 表示); n →∞ (II)设 bn = an ? A, n = 1, 2, , 证明: bn +1 = ?bn /( A(bn + A)); (III)若 | bn |≤ 1/ 2n 对n = 1, 2, 都成立,求 a 的取值范围. (2004 年湖北高考理科试题第 22 题) 点评 这道压轴题其实质是一次分式函 数 f ( x) = (ax + 1) / x 构造的递推数列问题 . 内 容涉及数列极限、数列恒等式、递推数列的 证明、不等式的证明(归纳法、放缩法).题中 体现了极限的思想、方程的思想、构造的思 想以及归纳的思想.主要考查数列、数列极限 的概念和数学归纳法 , 考查考生灵活运用数 学知识分析问题和解决问题的能力 .( 解答过 程略) 下面来看近几年部分省市高考的一次分 式递推数列问题 , 以便进一步说明一次分式 函数 f ( x) = (ax + b) /(cx + d ) (ad ≠ bc), 构造出 的递推数列问题有丰富的内涵. 1 一次分式递推数列的迭代周期 ax + b (ad ≠ bc), 其 一次分式函数 f ( x) = cx + d ?a b ? 系数对应着一个二阶矩阵 A = ? ? ,而迭代 ?c d ? ?25?

(a 2 + bc) x + (ab + bd ) (ac + cd ) x + (bc + d 2 ) 的系数对应着 A 的平方
式 f 2 ( x) = f ( f ( x)) =

(1)求当 a 取何值时, a4 = 0; (2)设数列 {bn } 满足 b1 = ?1, bn+1 = 1/(bn ? 1) (n ∈ N * ) , 求证 a 取数列 {bn } 中的任一个数 ,

? a 2 + bc ab + bd ? A2 = ? . 2 ? ? ac + cd bc + d ? 一般地,我们有迭代式 f n ( x) 的系数与 An
对应 . 于是 , 一次分式函数的 n 次迭代就转化
?t 0? 为 求 矩 阵 A 的 n 次 方 . 特 别 地 , An = ? ? ?0 t ? (t ≠ 0), 便有 f ( f ( f ( x) )) = x , 就是所 谓

都可以得到一个有穷数列 {an } ;
(3)若 2 / 3 < an < 2(n ≥ 4), 求 a 的取值范围.

解(1) ∵ a1 = a, an +1 = 1 + 1/ an , 1 1 a +1 ∴ a2 = 1 + = 1 + = , a1 a a 1 2a + 1 1 3a + 2 a3 = 1 + . = , a4 = 1 + = a3 2a + 1 a2 a +1
故当a = ?2 / 3 时,a4 = 0 .

的不动点函数. 例 1(2005 年高考? 湖南卷? 文科第 5 题) 已知数列 {an } 满足 a1 = 0, an +1 =
N * ) ,则 a20 = (

(2)∵ b1 = ?1, bn +1 = 1/(bn ? 1),

an ? 3 3an + 1

(n ∈

∴ bn = 1/ bn +1 + 1.

a 取 数 列 {bn } 中 的 任 一 个 数 , 不 妨 设 a = bn .
∵ a = bn , ∴ a2 = 1 + 1/ a1 = 1 + 1/ bn = bn ?1. ∴ a3 = 1 + 1/ a2 = 1 + 1/ bn ?1 = bn ? 2 . … ∴ an = 1 + 1/ an ?1 = 1 + 1/ b2 = b1 = ?1. ∴ an +1 = 0. 故 a 取数列 {bn } 中的任一个数,都可以得 到一个有穷数列 {bn } . (3)略. 点评 本题有两个特殊的地方,第一,递推 关 系 式 an +1 = 1 + 1/ an 对 应 于 一 次 分 式 函 数 f ( x) = ( x + 1) / x, 递推关系式 bn+1 = 1/(bn ? 1) 对 应于一次分式函数 f ( x) = 1/( x ? 1), 这两个分 式 函 数 又 恰 互 为 反 函 数 ; 第 二 , 函 数 f ( x) = ( x + 1) / x 与函数 f ( x) = 1/( x ? 1), 的特征根均 为 x = (?1 ± 5) / 2 ,又蕴涵着斐波那契数列的 性质, 这两点都充满了数学的内在美和形式 和谐美的特点.对于递推关系式 an +1 = 1 + 1/ an 的其它相关性质读者还可参阅文[2]. 3 一次分式递推数列的通项公式 数列是特殊的函数,由函数的解析式
f ( x) 构造出的 an +1 = f (an ) 的递推关系 , 是函

) (C) 3 , (D) 3 / 2 .

(A)0,

(B) ? 3 ,

解 由 a1 = 0, an +1 = 得 a2 =

an ? 3 3an + 1

(n ∈ N * ) ,

a1 ? 3 3a1 + 1 = =

=

? 3 = ? 3, 1 ? 3? 3 3 × (? 3) + 1 3? 3 3 × ( 3) + 1 = 3,

a3 = a4 =

a2 ? 3 3a2 + 1 a3 ? 3 3a3 + 1

= 0, …

可以归纳出数列 {an } 是以 T = 3 的周期 数列.从而, a20 = a6×3+ 2 = a2 = ? 3. 故选 B. 2 一次分式递推数列的无穷数列与有穷数列 我们知道对于一次分式函数 f ( x) = (ax +
b) /(cx + d ) (ad ≠ bc), 构造出的数列 {an } 是否

为无穷数列,以及当它为有穷数列时,共有多少项, 不仅与 a, b, c, d 有关,而且与初始值 a1 有关[1]. 例 2 (2005 年高考? 福建卷? 理科第 22 题) 已知数列 {an } 满足 a1 = a, an +1 = 1 + 1/ an . 我们知道当 a 取不同的值时,得到不同的数列. 如当 a = 1 时 , 得到无穷数列 : 1, 2,3/ 2,5 / 3, ; 当 a = ?1/ 2 时,得到有穷数列: ?1/ 2, ?1, 0 .
?26?

数与数列相交融的最基本的形式 , 在中学解 决这类问题最常用的方法是对递推关系作改

造 , 从而把问题转化为等差数列或等比数列 来解 . 如采用不动点法 , 把方程 f ( x) = x 的根 叫做函数 f ( x) 的不动点 , 方程 f ( x) = x 叫特 ax + b 征方程.一般对递推数列 {an } ,若 f ( x) = , cx + d an +1 = f (an ) . ①当函数 f ( x) 有两个不同的不 a ?α a ? cα 动点 α , β ,令 bn = n bn .问 ,则 bn +1 = an ? β a ? cβ 题转化为等比数列 ; ②当函数 f ( x) 有一个不 1 c , 则bn +1 ? bn = . 动点 α , 可令 bn = an ? α a ? cα 问题转化为等差数列 . 当然我们也可以用矩 阵方法求一次分式递归数列的通项公式[3]. 例 3 (2005 年高考?重庆卷?文 22)数列

点评 本题的条件等式 8an +1an ? 16an +1 +

2an + 5 = 0(n ≥ 1), 实质是一次分式函数 f ( x) 2x + 5 , 构造数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = = ?8 x + 16 f (an ) 的递推关系式,
即 a1 = 1, an+1 = (5 + 2an ) /(16 ? 8an )(n ≥ 1) . 由 bn = 1/(an ? 1/ 2)(n ≥ 1). 导 出 数 列 {bn }
? 4/3 是首项为2 / 3, 公比q = 2的等比数列.

{an }满足a1 = 1且8an +1an ? 16an +1 + 2an + 5 = 0
(n ≥ 1). 记 bn = 1/(an ? 1/ 2)(n ≥ 1). (Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {an bn }

的前 n 项和 S n . 解 (I)由 bn =

4 一次分式递推数列的极限 极限富有哲理 , 数列极限是培养高中理 科学生理性思维的重要知识点 . 其中数列极 限的定义,收敛数列——唯一性、有界性、保 号性、不等式性、迫敛性、四则运算,单调有 界数列 , 极限存在定理等都是学生形成良好 数学素养的必要知识. 例 4(2005 年高考?辽宁卷?理科第 19 题) x+3 ( x ≠ ?1), 设数列 {an } 满 已知函数 f ( x) = x +1 足 a1 = 0, an +1 = f (an ) ,数列 {bn } 满足 bn = | an
? 3 |, S n = b1 + b2 + + bn (n ∈ N * ). ( 3 ? 1) n , 2n ?1

1 1 1 得an = + , 代入 an ? 1/ 2 bn 2

递推关系 8an +1an ? 16an +1 + 2an + 5 = 0, 4 6 3 整理得 ? + = 0, bn +1bn bn +1 bn 即 bn+1 = 2bn ? 4 / 3 .由a1 = 1, 有b1 = 2, 所以 b2 = 8 / 3, b3 = 4, b4 = 20 / 3. 4 4 4 (Ⅱ)由 bn +1 = 2bn ? , bn +1 ? = 2(bn ? ), 3 3 3 4 2 b1 ? = ≠ 0, 所以 {bn ? 4 / 3} 是首项为 2 / 3, 3 3 4 1 公比 q = 2 的等比数列,故 bn ? = ? 2n , 3 3 1 n 4 即bn = ? 2 + (n ≥ 1) . 3 3 由bn = 1/(an ? 1/ 2)得an bn = bn / 2 + 1,

(1)用数学归纳法证明 bn ≤ (2)证明 S n < 2 3 / 3.

2 ≥ 1. x +1 因为 a1 = 1 ,所以 a n ≥ 1(n ∈ N *).

证明 (1)当 x ≥ 0时, f ( x) = 1 +

下面用数学归纳法证明不等式
bn ≤ ( 3 ? 1)n / 2n?1.

①当 n=1 时,b1= 3 ? 1 ,不等式成立, ②假设当 n = k 时,不等式成立,即
bk ≤ ( 3 ? 1) k / 2k ?1.

bk +1 =| ak +1 ? 3 |=

( 3 ? 1) | ak ? 3 | 1 + ak

故S n = a1b1 + a2 b2 +
= (b1 + b2 +
=
n

+ an bn

+ bn ) / 2 + n

(1 ? 2 ) / 3 5 1 + n = (2n + 5n ? 1). 1? 2 3 3

3 ?1 ( 3 ? 1)k +1 bk ≤ . 2 2k 所以,当 n = k + 1 时,不等式也成立. 根据①和② , 可知不等式对任意 n ∈ N * 都成立. ≤

?27?

(2)由(1)知, bn ≤

( 3 ? 1)n . 2n ?1 所以 S n = b1 + b2 + + bn

≤ ( 3 ? 1) + = ( 3 ? 1) ?

( 3 ? 1)2 ( 3 ? 1) n + + 2 2n?1 1 ? (( 3 ? 1) / 2) n

1 ? ( 3 ? 1) / 2 1 2 < ( 3 ? 1) ? = 3. 1 ? ( 3 ? 1) / 2 3

学与初等数学之间的内在联系 , 多运用高等 数学的方法 , 居高临下地解释一些初等数学 问题, 多探讨高等数学对初等数学教学的指 导意义 . 这样做既有利于提升教师的业务能 力,促进教师的专业成长,为成为科研型、 发展 型、专家型的教师打下坚实的基础;又有助于 学生后续学习. 参考文献
[1] 杨之.初等数学研究的问题与课题.湖南教育出版 社.1993 [2] 龚辉斌.递推数列 an +1 = p + q / an 的通项公式及 其应用.数学通讯,2001.13. [3] 袁秀萍. 用矩阵方法求分式递归数列 xn
= (axn ?1 + b) /(cxn ?1 + d ) 的通项公式 . 西华师范大学学

故对任意 n ∈ N ? , Sn < 2 3 / 3. 点评 本题数列 {bn } , bn = an ? 3 . 这里 的 3 其实就是数列 {an } 的极限 A = lim an =
n →∞

3 (不妨设 lim an 存在, 且A = lim an , 对an +1 = 1
n →∞ n →∞

+

2 2 , 解得A2 = 两边取极限得 , A = 1 + an + 1 A +1

报(自然科学版).2005.3.

3. 若取A > 0, 则A = 3 )体现命题者的独具匠 心.进而考查数列、等比数列、不等式等基本知 识,考查考生运用数学归纳法解决有关问题的 能力. 细心读者可以发现本题与前面的 2004 年 湖北高考理科试题第 22 题如同出一辙. 5 利用一次分式函数构造递推数列问题 历年高考题中 , 有一定数量的以高等数 学为背景的试题.我们说利用高等数学、初等 数学研究的一些知识和方法 , 学会编造中学 数学试题 , 对高三复习以至中学数学教学工 作是大有裨益的. 下面我们用一次分式递推 数列构造一道高一学生就能处理的问题. x 例 6 已知函数 f ( x) = , 若数列 {an } 2x + 1 1 , an = f (an ?1 ) n ∈ N * , n ≥ 2) . 满足 a1 = ? ( 2006 (1)求数列 {an } 的通项公式;
(2) 令 bn = an / an?1 , 求数列 {bn } 中的项最

例谈函数值域的求法
福建泉州泉港区美发中学 庄绍红

大值、最小值及相应的 n 值. 新课程的实施和高考命题工作的改革 , 都要求我们作为一名高中教师 , 不仅要研究 教材、了解数学的来龙去脉,还应掌握高等数
?28?

求函数的值域是中学数学的一个重要内 容 , 也是函数教学中的一个难点 . 一旦函数的 定义域和对应法则确定了 , 函数的值域也就 随之确定 . 函数值域求法灵活多样 , 它所涉及 的知识面宽 , 用到的数学思想方法多 , 在求解 中必须仔细观察函数表达式的结构特征 , 采 取相应的解法,灵活机动地“变通”.下面介绍 几种常用的求函数值域的初等方法. 1 观察法 根据完全平方数、算术根、绝对值都是非负 数的特点,及函数的图像、 性质、 简单的计算、 推理 , 凭观察能直接得到一些简单的复合函 数的值域 . 或通过对函数定义域及其解析式 的分析 , 利用熟知的基本函数的值域 , 观察求 得函数的值域.


由一道高考题,辨析解离液

由一道高考题,辨析解离液唐河友兰实验高中 侯建林 2014 新课标理综 29.(9 分)回答下列问题: (1)在观察大蒜根尖细胞有丝分裂的实验中,常用盐酸酒精混合 液处理...

由一道高考题引发的思考

由一道高考题引发的思考_数学_高中教育_教育专区。由一道高考题引发的思考 福建省数学高考试题: 已知 f(x)=■在区间[-1,1]上是增函数。 (1)求实数 a 的...

由一道高考题引发的教学思考

由一道高考题引发的教学思考_数学_高中教育_教育专区。高中课改网络征文 立足...没有接触过旧教材的年轻教师,因新教材中 没有直接说纸币是否能代替货币执行这...

由一道高考题看give out和run out的区别

由一道高考题看give out和run out的区别_高二英语_英语_高中教育_教育专区。give out run out区别从一道高考题,看 run out 和 give out 的区别现有两正确的...

分式型递推数列通项公式的求法

一类分式递推数列通项公式的求法 2012 年高考...cn?1 .也就是说通过两次变换可转化为类型 C C2 ...2cn ? cn?1 ,由结论 1 求得 cn cn c n ?...

盐城市20092010学年度高三第三次调研考试

中档题.此题由一道高考题改编而来,考查不等式的...从其它省和一些地 区的试卷看,对递推关系的考查...但总的来说,对学生的 数学建模的要求不可能太高,...

盐城市20092010学年度高三第三次调研考试

中档题.此题由一道高考题改编而来,考查不等式的...从其它省和一些地区的试卷看,对 递推关系的考查...但总的来说, 对学生的 O 数学建模的要求不可能太...

盐城市20092010学年度高三第三次调研考试

中档题.此题由一道高考题改编而来,考查不等式的...从其它省和一 些地区的试卷看,对递推关系的考查...但总的来说,对学生的数学建模的要求不可能太高,...

盐城市20092010学年度高三第三次调研考试

中档题.此题由一道高考题改编而来,考查不等式的...对递推关系的考查突破了以往的仅写前几项的要求,...但总 O 的来说,对学生的数学建模的要求不可能太高...