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2.1.2 椭圆的简单几何性质(2) 教案(人教A版选修1-1)

时间:2017-09-30


第 2 课时 椭圆方程及性质的应用

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,初步探寻弦长公式有关知识. 2.过程与方法 通过问题的提出与解决,培养学生探索问题、解决问题的能力.领悟数形结合和化归等 思想. 3.情感、态度与价值观 培养学生自主参与意识,激发学生探索数学的兴趣. ●重点

、难点 重点:掌握直线与椭圆位置关系的判断方法,注意数形结合思想的渗透. 难点:应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题. 教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课, 涉及直线与椭圆的位置关系、 椭 圆的实际应用问题, 掌握好椭圆方程与性质, 类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重 点与难点的关键.

(教师用书独具)

●教学建议 由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程, 但大部分还停留 在经验基础上,主动迁移能力、整合能力较弱,所以本节课宜采用启发引导式教学;同时借 助多媒体,充分发挥其形象、生动的作用. ●教学流程

创设问题情境,引出命题:能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系?

?

引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系,通过比较、分析,得出判断方法——代数法. ? 引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤,引出解题关键与注意事项. ? ?

通过例1及其变式训练,使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.

通过例2及其变式训练,使学生掌握直线与椭圆相交问题,学会求直线方程和弦长的方法. ? 错误!?错误!?错误!

(对应学生用书第 25 页)

1.掌握椭圆的方程及其性质的应用. 课标解读 (重点) 2.掌握直线与椭圆位置关系的判断方法,初步探寻弦长公式.(难点)

点与椭圆的位置关系 【问题导思】 点与椭圆有几种位置关系? 【提示】 三种位置关系:点在椭圆上,点在椭圆内,点在椭圆外. x2 y2 设点 P(x0,y0),椭圆 2+ 2=1(a>b>0). a b
2 x2 y0 0 (1)点 P 在椭圆上? 2+ 2=1; a b 2 x2 y0 0 (2)点 P 在椭圆内? 2+ 2<1; a b 2 x2 y0 0 (3)点 P 在椭圆外? 2+ 2>1. a b

直线与椭圆的位置关系 【问题导思】

1.直线与椭圆有几种位置关系? 【提示】 三种位置关系:相离、相切、相交. 2.我们知道,可以用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断直线与圆的位 置关系,这种方法称为几何法,能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系? 【提示】 不能. 3.用什么方法判断直线与椭圆的位置关系? 【提示】 代数法. y=kx+m, ? ? 2 2 x2 y2 直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位置关系联立?x y a b ? ?a2+b2=1, 得一个一元二次方程.

消 y

位置关系 相交 相切 相离

解的个数 两解 一解 无解

Δ 的取值 Δ>0 Δ=0 Δ<0

(对应学生用书第 26 页)

直线与椭圆的位置关系的判定 x2 当 m 为何值时,直线 y=x+m 与椭圆 +y2=1 相交、相切、相离? 4 【思路探究】 错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】 联立方程组得 y=x+m, ? ?2 ?x 2 ? ? 4 +y =1, x2 将①代入②得 +(x+m)2=1, 4 整理得 5x2+8mx+4m2-4=0 Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2). ③ ① ②

当 Δ>0,即- 5<m< 5时,方程③有两个不同的实数根,代入①可得到两个不同的 公共点坐标,此时直线与椭圆相交;当 Δ=0,即 m=- 5或 m= 5时,方程③有两个相等 的实数根,代入①可得到一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切;当 Δ<0,即 m<- 5或 m> 5时,方程③没有实数根,直线与椭圆相离.

判断直线与椭圆位置关系的步骤:

1 试判断直线 y=x- 与椭圆 x2+4y2=2 的位置关系. 2 1 ? ?y=x-2, 【解】 联立方程组得? ? ?x2+4y2=2, 消去 y,整理得 5x2-4x-1=0, Δ=(-4)2-4×5×(-1)=36>0, 即方程(*)有两个实数根,所以方程组有两组解,即直线和椭圆相交. (*)

直线与椭圆相交问题 x2 y2 已知椭圆 + =1 和点 P(4,2),直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A,B 36 9 两点.

1 (1)当直线 l 的斜率为 时,求线段 AB 的长度; 2 (2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程. 【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗?怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度?

(2)点 P 与 A、B 的坐标之间有怎样的关系?能否用根与系数的关系求得直线的斜率? 【自主解答】 1 1 1 (1)由已知可得直线 l 的方程为 y-2= (x-4),即 y= x. 2 2

?y=2x, 由? x y ?36+ 9 =1,
2 2

可得 x2-18=0, 若设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=0,x1x2=-18. 于是|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = = 5 2 1 ?x1-x2?2+ ?x1-x2?2 4 ?x1+x2?2-4x1x2= 5 ×6 2=3 10. 2

所以线段 AB 的长度为 3 10. (2)法一:设 l 的斜率为 k,则其方程为 y-2=k(x-4). x y ? ?36+ 9 =1, 联立? ? ?y-2=k?x-4?, 消去 y 得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0. 若设 A(x1,y1),B(x2,y2), 32k2-16k 则 x1+x2= , 1+4k2 由于 AB 的中点恰好为 P(4,2), x1+x2 16k2-8k 1 所以 = 2 =4,解得 k=- . 2 2 1+4k 1 这时直线 l 的方程为 y-2=- (x-4), 2 1 即 y=- x+4. 2 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2

则有

? ?x y ?36+ 9 =1,
2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, 36 9

2 2 x2 -x2 y2 -y2 1 1 两式相减得 + =0. 36 9

由于 P(4,2)是 AB 的中点, ∴x1+x2=8,y1+y2=4, 从而(x2-x1)+2(y2-y1)=0,kAB= 1 1 - (x-4),即 y=- x+4. 2 2 y2-y1 1 =- ,于是直线 AB,即为 l 的方程为 y-2= 2 x2-x1

1.求直线与椭圆相交所得弦长问题,通常解法是将直线方程与椭圆方程联立,然后消 去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程,根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求 解.也可以直接代入弦长公式:|P1P2|= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2= 求解. 2.解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时,通常有两种方法: 法一: 由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去 y 后转化为关于 x 的一元二次方程, 再利用根与系数的关系,运用中点坐标公式建立方程组求解. 法二:通过弦 AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解,得到两个“对称方程”,然后将两 个方程相减,再变形运算转化为直线的斜率公式,这种方法通常称为“点差法”. 1 1+ 2 ?y1+y2?2-4y1y2 k

x2 y2 过点 P(-1,1)的直线与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点恰为点 P,求 4 2 AB 所在的直线方程及弦长|AB|. 【解】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由于 A,B 两点在椭圆上,
2 2 2 ∴x1 +2y2 1=4,x2+2y2=4.

两式相减,得 (x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0 显然 x1≠x2, 故由①得:kAB= y1-y2 x1+x2 =- . x1-x2 2?y1+y2? ② ①

又点 P(-1,1)是弦 AB 的中点,

∴x1+x2=-2,y1+y2=2. 1 把③代入②得:kAB= , 2 1 ∴直线 AB 的方程为 y-1= (x+1),即 x-2y+3=0 2 x-2y+3=0, ? ?2 2 由?x y 消去 y 得 3x2+6x+1=0, ? 4 + 2 =1, ? 1 ∴x1+x2=-2,x1x2= , 3 |AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1 24 30 1+ · = . 4 3 3



与椭圆相关的实际应用问题

图 2-1-3 如图 2-1-3,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要求通行 车辆限高 4.5 米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计 的拱宽 l 是多少? 【思路探究】 恰当建系 → 设椭圆方程 →错误!→错误!→错误!

x2 y2 【自主解答】 如图建立直角坐标系,则点 P(11,4.5),椭圆方程为 2+ 2=1. a b ∵P(11,4.5)在椭圆上, ∴ 112 4.52 + 2 =1, a2 b

44 7 又 b=h=6 代入①式,得 a= . 7 88 7 此时 l=2a= ≈33.3(米). 7 因此隧道的拱宽约为 33.3 米.

1.解答与椭圆相关的应用问题,事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键,其 次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论,以解决实际问题. 2.实际问题中,最后的结论不可少,一定要结合实际问题中变量的含义做出结论.

有一椭圆形溜冰场,长轴长 100 m,短轴长 60 m,现要在这个溜冰场上划定一个各顶 点都在溜冰场边界上的矩形区域, 且使这个区域的面积最大, 应把这个矩形的顶点定位在何 处?这时矩形的周长是多少?

【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为 x 轴和 y 轴,建立如图所示的平面 直角坐标系 xOy, 设矩形 ABCD 的各顶点都在椭圆上.因为矩形的各顶点都在椭圆上,而矩形是中心对 称图形, 又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形, 所以矩形 ABCD 关于原点 O 及 x 轴,y 轴都对称. 已知椭圆的长轴长 2a=100 m,短轴长 2b=60 m, x2 y2 则椭圆的方程为 2+ 2=1. 50 30 考虑第一象限内的情况,设 A(x0,y0), x2 y2 0 0 则有 1= 2+ 2≥2 50 30 x2 y2 1 0 0 当且仅当 2= 2= , 50 30 2 即 x0=25 2,y0=15 2时,等号成立, 此时矩形 ABCD 的面积 S=4x0y0 取最大值 3 000 m2.
2 x2 2x0y0 0 y0 , 2· 2= 50 30 1 500

这时矩形的周长为 4(x0+y0)=4(25 2+15 2)=160 2 (m).

(对应学生用书第 27 页)

运用“设而不求”法研究直线和 椭圆位置关系问题 x2 y2 (12 分)(2013· 本溪高二检测)已知椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),过点 a b π 3 A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为 ,原点到该直线的距离为 . 6 2 (1)求椭圆的方程; → → (2)斜率大于零的直线过 D(-1,0)与椭圆分别交于点 E,F,若ED=2DF,求直线 EF 的 方程; (3)对于 D(-1,0),是否存在实数 k,使得直线 y=kx+2 分别交椭圆于点 P,Q,且|DP| =|DQ|,若存在,求出 k 的值,若不存在,请说明理由. 【思路点拨】

【规范解答】 x2 程是 +y2=1. 3

b 3 1 1 3 (1)由 = , ab= × × a2+b2,得 a= 3,b=1,所以椭圆的方 a 3 2 2 2 2分

x2 (2)设 EF:x=my-1(m>0)代入 +y2=1,得(m2+3)y2-2my-2=0. 3 → → 设 E(x1,y1),F(x2,y2).由ED=2DF,得 y1=-2y2,4 分 -2 2m 由 y1+y2=-y2= 2 ,y1y2=-2y2 得 2= 2 m +3 m +3 (- 2m 2 1 ) = 2 ,∴m=1,m=-1(舍去), m2+3 m +3 7分

直线 EF 的方程为 x=y-1,即 x-y+1=0.

x2 (3)记 P(x′1,y′1),Q(x′2,y′2).将 y=kx+2 代入 +y2=1,得(3k2+1)x2+12kx+ 3 9=0(*), x′1,x′2 是此方程的两个相异实根. 设 PQ 的中点为 M,则 xM= 得 DM⊥PQ, x′1+x′2 6k 2 =- 2 ,yM=kxM+2= 2 .由|DP|=|DQ|, 2 3k +1 3k +1

yM ∴kDM= = xM+1

2 3k2+1 1 =- , 6k k - 2 +1 3k +1 10 分

1 ∴3k2-4k+1=0,得 k=1 或 k= . 3 1 但 k=1,k= 均不能使方程(*)有两相异实根, 3 ∴满足条件的 k 不存在.

1.直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧,在解题中要注 意运用. 2.直线和椭圆相交时要切记 Δ>0 是求参数范围的前提条件,不要因忘记造成不必要 的失分.

1.直线与椭圆的位置关系,可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的 个数来确定,通常用消元后的关于 x(或 y)的一元二次方程的判别式 Δ 来判定. 直线与椭圆相交的弦长公式:

|P1P2|= [?x1+x2?2-4x1x2]?1+k2?或|P1P2|=

1 [?y1+y2?2-4y1y2]?1+ 2?. k

2.直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决,设点 而不求点是解析几何中重要的解题方法. 3.解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题,弄懂题意,再把实际问题中的量化归 为椭圆的性质,从而得以解决.

(对应学生用书第 28 页)

x2 y2 1.下列在椭圆 + =1 内部的点为( 4 2 A.( 2,1) C.(2,1)

) B.(- 2,1) D.(1,1)

x2 y2 【解析】 点( 2,1),(- 2,1)满足椭圆方程,故在椭圆上;把点(1,1)代入 + 得: 4 2 1 1 3 + = <1,故点(1,1)在椭圆内. 4 2 4 【答案】 D x2 y2 2.已知椭圆 2+ 2=1 有两个顶点在直线 x+2y=2 上,则此椭圆的焦点坐标是( a b A.(± 3,0) C.(± 5,0) 【解析】 ∵ 直线 x+2y=2 过(2,0)和(0,1)点, B.(0,± 3) D.(0,± 5) )

∴ a=2,b=1,∴ c= 3, 椭圆焦点坐标为(± 3,0). 【答案】 A x2 y2 3.直线 y=x+1 被椭圆 + =1 所截得线段的中点的坐标是( 4 2 2 5 A.( , ) 3 3 2 1 C.(- , ) 3 3 ) 4 7 B.( , ) 3 3 13 17 D.(- ,- ) 2 2

y=x+1, ? ?2 2 【解析】 联立方程?x y 消去 y 得 ? ? 4 + 2 =1, 3x2+4x-2=0. 设交点 A(x1,y1)、B(x2,y2),中点 M(x0,y0). x1+x2 4 2 1 2 1 ∴x1+x2=- ,x0= =- ,y0=x0+1= ,∴中点坐标为(- , ). 3 2 3 3 3 3 【答案】 C x2 y2 4.直线 2x-y-2=0 与椭圆 + =1 交于 A、B 两点,求弦长|AB|. 5 4 【解】 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2x-y-2=0, ? ?2 2 联立方程?x y 消去 y 得 3x2-5x=0, + = 1 , ? ?5 4 5 则 x1+x2= ,x1· x2=0, 3 52 5 5 2 2 ∴|AB|= 1+k2 . AB· ?x1+x2? -4x1x2= ?1+2 ?· ? ? -4×0= 3 3

一、选择题 x2 y2 1.点 A(a,1)在椭圆 + =1 的内部,则 a 的取值范围是( 4 2 A.- 2<a< 2 C.-2<a<2 x y 【解析】 ∵点 A(a,1)在椭圆 + =1 内部, 4 2 a2 1 a2 1 ∴ + <1.∴ < . 4 2 4 2 则 a2<2,∴- 2<a< 2. 【答案】 A 2.已知直线 y=kx+1 和椭圆 x2+2y2=1 有公共点,则 k 的取值范围是( A.k<- C.k≤- 2 2 或 k> 2 2 2 2 或 k≥ 2 2 B.- 2 2 <k< 2 2 D.- 2 2 ≤k≤ 2 2 )
2 2

)

B.a<- 2或 a> 2 D.-1<a<1

?y=kx+1, ? 【解析】 由? 2 得(2k2+1)x2+4kx+1=0. 2 ?x +2y =1, ?

∵直线与椭圆有公共点. ∴Δ=16k2-4(2k2+1)≥0,则 k≥ 【答案】 C x2 y2 3.直线 l 交椭圆 + =1 于 A,B 两点,AB 的中点为 M(2,1),则 l 的方程为( 16 12 A.2x-3y-1=0 C.2x+3y-7=0 3 【解析】 根据点差法求出 kAB=- , 2 -3 ∴l 的方程为:y-1= (x-2). 2 化简得 3x+2y-8=0. 【答案】 D x2 y2 4.若直线 mx+ny=4 和⊙O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + 9 4 =1 的交点个数为( A.2 个 C.1 个 【解析】 若直线与圆没有交点,则 d=
2 2

2 2 或 k≤- . 2 2

)

B.3x-2y-4=0 D.3x+2y-8=0

) B.至多一个 D.0 个 4 >2, m2+n2

m2+n2 m 2 n2 ∴m +n <4,即 <1.∴ + <1,∴点(m,n)在椭圆的内部,故直线与椭圆有 4 9 4 2 个交点. 【答案】 A 5.椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后必过椭圆的 另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘, 点 A, B 是它的两个焦点, 其长轴长为 2a, 焦距为 2c(a>c>0),静放在点 A 的小球(小球的半径不计),从点 A 沿直线出发,经椭圆壁 反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是( A.2(a-c) C.4a ) B.2(a+c) D.以上答案均有可能

【解析】 如图,本题应分三种情况讨论: 当小球沿着 x 轴负方向从点 A 出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的

路程是 2(a-c); 当小球沿着 x 轴正方向从点 A 出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的 路程是 2(a+c); 当是其他情况时,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过 的路程是 4a. 【答案】 D 二、填空题 6.(2013· 济宁高二检测)已知以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为________. x2 y2 【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0)与直线方程联立消去 x 得(a2+3b2)y2+8 3 a b b2y+16b2-a2b2=0,由 Δ=0 及 c=2 得 a2=7,∴2a=2 7. 【答案】 2 7 7.(2013· 合肥高二检测)以等腰直角三角形 ABC 的两个顶点为焦点,并且经过另一顶点 的椭圆的离心率为________. 【解析】 当以两锐角顶点为焦点时,因为三角形为等腰直角三角形,故有 b=c,此

c c c 2 时可求得离心率 e= = 2 2= = ; 同理, 当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时, a 2c 2 b +c c 2c m 设直角边长为 m,故有 2c=m,2a=(1+ 2)m,所以离心率 e= = = = 2-1. a 2a ?1+ 2?m 【答案】 2-1 或 2 2

x2 y2 8.(2013· 石家庄高二检测)过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 5 4 A、B 两点,O 为原点,则△OAB 的面积为________. x2 y2 【解析】 直线方程为 y=2x-2,与椭圆方程 + =1 联立,可以解得 A(0,-2), 5 4 5 4 B( , ), 3 3 1 5 ∴S△= |OF|· |yA-yB|= (也可以用设而不求的方法求弦长|AB|, 再求出点 O 到 AB 的距离, 2 3 进而求出△AOB 的面积). 【答案】 5 3

三、解答题 9.已知椭圆的短轴长为 2 3,焦点坐标分别是(-1,0)和(1,0). (1)求这个椭圆的标准方程;

(2)如果直线 y=x+m 与这个椭圆交于不同的两点,求 m 的取值范围. 【解】 (1)∵2b=2 3,c=1,∴b= 3,a2=b2+c2=4. x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 4 3 y=x+m, ? ?2 2 (2)联立方程组?x y ? ? 4 + 3 =1, 消去 y 并整理得 7x2+8mx+4m2-12=0. x2 y2 若直线 y=x+m 与椭圆 + =1 有两个不同的交点,则有 Δ=(8m)2-28(4m2-12)>0, 4 3 即 m2<7,解得- 7<m< 7. 即 m 的取值范围是(- 7, 7). 10.椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点,C 是 AB 的中点,若|AB| =2 2,OC 的斜率为 2 ,求椭圆的方程. 2

?ax2+by2=1, ? 【解】 由? 得(a+b)x2-2bx+b-1=0. ? x + y = 1 , ?

设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则|AB|= ?k2+1??x1-x2?2 4b2-4?a+b??b-1? = 2· . ?a+b?2 ∵|AB|=2 2,∴ a+b-ab =1.① a+b

x1+x2 b a 设 C(x,y),则 x= = ,y=1-x= , 2 a+b a+b ∵OC 的斜率为 2 a 2 ,∴ = . 2 b 2

1 2 代入①,得 a= ,b= . 3 3 x2 2 ∴椭圆方程为 + y2=1. 3 3

图 2-1-4

x2 y2 2 11.(2013· 亳州高二检测)如图 2-1-4 所示,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)过点(1, ), a b 2 离心率为 2 ,左、右焦点分别为 F1、F2.点 P 为直线 l:x+y=2 上且不在 x 轴上的任意一点, 2

直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分 别为 A、B 和 C、D,O 为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2. 1 3 证明: - =2. k1 k2 【解】 因为椭圆过点(1, 1 1 c 2 所以 2+ 2=1, = , a 2b a 2 又 a2=b2+c2,所以 a= 2,b=1,c=1, x2 故所求椭圆方程为 +y2=1. 2 y0 y0 (2)证明:设点 P(x0,y0),则 k1= ,k = , x0+1 2 x0-1 因为点 P 不在 x 轴上,所以 y0≠0, 又 x0+y0=2, 1 3 x0+1 3?x0-1? 4-2x0 2y0 所以 - = - = = =2. k1 k2 y0 y0 y0 y0 2 2 ),e= , 2 2

(教师用书独具)

x2 y2 2 (2012· 北京高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 .直线 a b 2 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 10 时,求 k 的值. 3

【解】

a=2, ? ?c 2 (1)由题意得? = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

解得 b= 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 y=k?x-1?, ? ?2 2 (2)由?x y 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. + = 1 ? ?4 2 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), 2k2-4 4k2 x1+x2= , x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2 所以|MN|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 2 ?1+k2??4+6k2? = . 1+2k2 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= |k| , 1+k2

所以△AMN 的面积为 |k| 4+6k2 1 S= |MN|· d= . 2 1+2k2 由 |k| 4+6k2 10 ,解得 k=± 1. 2 = 3 1+2k

x2 y2 (2013· 济南高二检测)设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 a b 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60° ,F1 到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距; → → (2)如果AF2=2F2B,求椭圆 C 的方程. 【解】 (1)设焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c=2 3,故 c=2.所以椭圆 C 的焦距为 4. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0.

直线 l 的方程为 y= 3(x-2).

? ?y= 3x- , 联立?x2 y2 得(3a2+b2)y2+4 3b2y-3b4=0. + = 1 , 2 2 ? ?a b
- 3b2 +2a - 3b2 -2a 解得 y1= ,y2= . 3a2+b2 3a2+b2 → → 因为AF2=2F2B,所以-y1=2y2. 3b2 +2a - 3b2 -2a 则 =2· . 3a2+b2 3a2+b2 解得 a=3.又 b2=a2-c2=9-4=5. ∴ b= 5. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5


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