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高考数学二轮复习:专题训练(十一) 空间几何体的三视图、表面积与体积

时间:2015-12-21


专题训练(十一) 空间几何体的三视图、表面积与体积
A 级——基础巩固组
一、选择题 1.(2014· 武汉调研)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )

解析 A、B、C 与俯视图不符. 答案 D 2. 将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何体的侧(左)视图为( )

解析 抓住

其一条对角线被遮住应为虚线, 可知正确答案在 C, D 中, 又结合直观图知, D 正确. 答案 D 3.(2014· 安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为(
1

)

A.21+ 3 C.21 解析

B.18+ 3 D.18

由三视图知,该多面体是由正方体割去两个角所成的图形,如图所示,则 S=S 1 3 2S 三棱锥侧+2S 三棱锥底=24-2× 3× × 1× 1+2× × ( 2)2=21+ 3. 2 4 答案 A

正方体



4.已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABCD,AB⊥BC,SA=AB=1,BC = 2,则球 O 的表面积等于( A.4π C.2π B.3π D.π
2

)

解析

如图所示,由 AB⊥BC 知,AC 为过 A,B,C,D 四点小圆直径, 所以 AD⊥DC. 又 SA⊥平面 ABCD, 设 SB1C1D1-ABCD 为 SA,AB,BC 为棱长构造的长方体, 得体对角线长为 12+12+? 2?2=2R, 所以 R=1,球 O 的表面积 S=4πR2=4π.故选 A. 答案 A 5.(2014· 湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加 工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

A.1 C.3 解析

B.2 D.4

3

由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱 A1B1C1-ABC,且 AB=8,BC=6,BB1= 12.若要得到半径最大的球,则此球与平面 A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1 相切,故此时球的半 6+8-10 径与△ABC 内切圆的半径相等,故半径 r= =2.故选 B. 2 答案 B 6.点 A,B,C,D 均在同一球面上,其中△ABC 是正三角形,AD⊥平面 ABC,AD= 2AB=6,则该球的体积为( ) D.16 3π

A.32 3π B.48π C.64 3π 解析

如图所示,O1 为三角形 ABC 的外心,过 O 做 OE⊥AD, ∴OO1⊥面 ABC, ∴AO1= 3 AB= 3.∵OD=OA, 3

∴E 为 DA 的中点.∵AD⊥面 ABC, ∴AD∥OO1,∴EO=AO1= 3. ∴DO= DE2+OE2=2 3.

4

∴R=DO=2 3. 4 ∴V= π(2 3)3=32 3π. 3 答案 A 二、填空题 7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是________.

解析

由三视图可知, 四棱锥的高为 2, 底面为直角梯形 ABCD.其中 DC=2, AB=3, BC= 3, +3? × 3 1 ?2 5 3 所以四棱锥的体积为 × × 2= . 3 2 3 答案 5 3 3

8.如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱 锥 F-ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1?V2=________.

5

1 1 1 解析 设三棱柱 A1B1C1-ABC 的高为 h,底面三角形 ABC 的面积为 S,则 V1= × S· h 3 4 2 1 1 = Sh= V2,即 V1?V2=1?24. 24 24 答案 1?24 9.在四面体 ABCD 中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体 ABCD 的 外接球的表面积为________. 解析 构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为 4、5、6,设长方体的三条边分 77 别为 x,y,z,则 x2+y2+z2= ,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以 S=4πR2 2 77 = π. 2 答案 77 π 2

三、解答题 10.下列三个图中,左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.右边两个是 其正(主)视图和侧(左)视图.

(1)请在正(主)视图的下方,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作 图过程).
6

(2)求该多面体的体积(尺寸如图). 解 (1)作出俯视图如图所示.

(2)依题意,该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得 到的,所以截去的三棱锥体积 1 1 ?1 2 × 2× 2?× VE-A1B1D1= · S△A1B1D1· A1E= × ? 1=3, 3 3 ?2 正方体体积 V 正方体 AC1=23=8, 2 22 所以所求多面体的体积 V=8- = . 3 3 11.

(2014· 安徽卷)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1A⊥底面 ABCD.四边形 ABCD 为梯 形,AD∥BC,且 AD=2BC.过 A1,C,D 三点的平面记为 α,BB1 与 α 的交点为 Q. (1)证明:Q 为 BB1 的中点; (2)求此四棱柱被平面 α 所分成上下两部分的体积之比. 解 (1)证明:因为 BQ∥AA1,BC∥AD,BC∩BQ=B,AD∩AA1=A,

所以平面 QBC∥平面 A1AD. 从而平面 A1CD 与这两个平面的交线相互平行,即 QC∥A1D. 故△QBC 与△A1AD 的对应边相互平行,于是△QBC∽△A1AD. BQ BQ BC 1 所以 = = = , BB1 AA1 AD 2 即 Q 为 BB1 的中点.

7

(2)如图,连接 QA,QD. 设 AA1=h,梯形 ABCD 的高为 d,四棱柱被平面 α 所分成上下两部分的体积分别为 V 上 和 V 下,BC=a,则 AD=2a. 11 1 VQ-A1AD= · · 2 a· h· d= ahd, 32 3 1 a+2a ?1 ? 1 VQ-ABCD= · · d· ?2h?=4ahd, 3 2 所以 V 下=VQ-A1AD+VQ-ABCD= 7 ahd, 12

3 又 V 四棱柱 A1B1C1D1-ABCD= ahd, 2 V上 11 3 7 11 所以 V 上=V 四棱柱 A1B1C1D1-ABCD-V 下= ahd- ahd= ahd.故 = . 2 12 12 V下 7

B 级——能力提高组
1.(2014· 北京卷)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, 2).若 S1,S2,S3 分别是三棱锥 D-ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面 积,则( ) B.S2=S1 且 S2≠S3 D.S3=S2 且 S3≠S1

A.S1=S2=S3 C.S3=S1 且 S3≠S2

解析 作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影,计算三角形的面积.如图所示,△ABC 1 为三棱锥在坐标平面 xOy 上的正投影,所以 S1= × 2× 2=2.三棱锥在坐标平面 yOz 上的正投 2 1 影与△DEF(E,F 分别为 OA,BC 的中点)全等,所以 S2= × 2× 2= 2.三棱锥在坐标平面 2 1 xOz 上的正投影与△DGH(G,H 分别为 AB,OC 的中点)全等,所以 S3= × 2× 2= 2.所以 2 S2=S3 且 S1≠S3.故选 D.

8

答案 D 2.(2014· 山东卷)三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 D-ABE V1 的体积为 V1,P-ABC 的体积为 V2,则 =________. V2 1 1 解析 由于 VP-ABE=VC-ABE,所以 VP-ABE= VP-ABC,又因 VD-ABE= VP-ABE,所以 VD- 2 2
ABE=

1 V1 1 V ,∴ = . 4 P-ABC V2 4 1 4

答案 3.

(理)(2014· 课标全国卷Ⅱ)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 D-AE-C 为 60° ,AP=1,AD= 3,求三棱锥 E-ACD 的体积. 解 (1)连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO.
9

因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO? 平面 AEC,PB?平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC. (2)因为 PA⊥平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直. → → 如图,以 A 为坐标原点,AB的方向为 x 轴的正方向,|PA|为单位长,建立空间直角坐标 系 A-xyz.

则 D(0, 3,0),E?0,

?

3 1? 3 1? → ? , , AE= 0, , . 2 2? 2 2? ?

→ 设 B(m,0,0)(m>0),则 C(m, 3,0),AC=(m, 3,0), 设 n1=(x,y,z)为平面 ACE 的法向量, mx+ 3y=0, → ? ?n1· ? AC=0, ? 则? 即? 3 1 → ?n1· ? AE=0, ? ? 2 y+2z=0, 可取 n1=? 3 ?. ? m ,-1, 3?

又 n2=(1,0,0)为平面 DAE 的法向量, 1 由题设|cos〈n1,n2〉|= ,即 2 3 1 = , 3+4m2 2

3 1 解得 m= .因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E-ACD 的高为 .三棱锥 E-ACD 的体积 2 2 1 1 3 1 3 V= × × 3× × = . 3 2 2 2 8 3.(文)如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F,将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合),使得∠PEB=30°

10

(1)求证:EF⊥PB; (2)试问:当点 E 在何处时,四棱锥 P-EFCB 的侧面 PEB 的面积最大?并求此时四棱 锥 P-EFCB 的体积. 解 (1)证明:∵AB=BC,∴BC⊥AB,

又∵EF∥BC,∴EF⊥AB, 即 EF⊥BE,EF⊥PE. 又 BE∩PE=E, ∴EF⊥平面 PBE, ∴EF⊥PB. (2)设 BE=x,PE=y,则 x+y=4. 1 1 1 x+y?2 ∴S△PEB= BE· PE· sin∠PEB= xy≤ ? =1. 2 4 4? 2 ? 当且仅当 x=y=2 时,S△PEB 的面积最大. 此时,BE=PE=2. 由(1)知 EF⊥平面 PBE, ∴平面 PBE⊥平面 EFCB, 在平面 PBE 中,作 PO⊥BE 于 O, 则 PO⊥平面 EFCB. 即 PO 为四棱锥 P-EFCB 的高. 1 又 PO=PE· sin30° =2× =1. 2 1 S 梯形 EFCB= (2+4)× 2=6. 2 1 ∴VP-BCFE= × 6× 1=2. 3

11


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