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圆的典型例题讲解【专题】

时间:2014-11-16


圆的典型例题专题讲解
例 1. 已知:如图 1,在⊙O 中,半径 OM⊥弦 AB 于点 N。

图1 ①若 AB= ,ON=1,求 MN 的长; ②若半径 OM=R,∠AOB=120°,求 MN 的长。 解:①∵AB= ,半径 OM⊥AB, ∴AN=BN= ∵ON=1,由勾股定理得 OA=2 ∴MN=OM-ON=OA-ON=1 ②∵半径 OM⊥AB,且∠AOB=120° ∴∠AOM=60° ∵ON=OA·cos∠AON=OM·cos60°= ∴ 说明:如图 1,一般地,若∠AOB=2n°,OM⊥AB 于 N,AO=R,ON=h,则 AB =2Rsin n°=2htan n°= 例 2. 已知:如图 2,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=25°,以点 C 为圆心、AC 为半径作⊙C,交 AB 于点 D,求 的度数。

图2 分析:因为弧与垂径定理有关;与圆心角、圆周角有关;与弦、弦心距有关;弧与 弧之间还存在着和、差、倍、半的关系,因此这道题有很多解法,仅选几种供参考。 解法一:(用垂径定理求)如图 2-1,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,交 于点 F。

图 2-1 ∴

又∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠FCA=25° ∴ 的度数为 25°,∴ 的度数为 50°。 解法二:(用圆周角求)如图 2-2,延长 AC 交⊙C 于点 E,连结 ED

图 2-2 ∵AE 是直径,∴∠ADE=90° ∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠E=∠B=25° ∴ 的度数为 50°。 解法三:(用圆心角求)如图 2-3,连结 CD

图 2-3 ∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠A=65° ∵CA=CD,∴∠ADC=∠A=65° ∴∠ACD=50°,∴ 的度数为 50°。

例 3. 已知:如图 3,△ABC 内接于⊙O 且 AB=AC,⊙O 的半径等于 6cm,O 点到 BC 的距离 OD 等于 2cm,求 AB 的长。 析:因为不知道∠A 是锐角还是钝角,因此圆心有可能在三角形内部,还可能在三 角形外部,所以需分两种情况进行讨论。 略解:(1)假若∠A 是锐角,△ABC 是锐角三角形。如图 3,由 AB=AC,可知点 A 是优弧 的中点,因为 OD⊥BC 且 AB=AC,根据垂径定理推论可知,DO 的延长线必过点 A,连结 BO ∵BO=6,OD=2 ∴ 在 Rt△ADB 中,AD=DO+AO=6+2=8 ∴

图3

图 3-1 ,

(2) 若∠A 是钝角, 则△ABC 是钝角三角形, 如图 3-1 添加辅助线及求出 在 Rt△ADB 中,AD=AO-DO=6-2=4 ∴AB

综上所述 AB= 小结:凡是与三角形外接圆有关的问题,一定要首先判断三角形的形状,确定圆心 与三角形的位置关系,防止丢解或多解。 例 4. 已知:如图 4,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,F 是 CD 延长线上一点,AF 交 ⊙O 于 E。求证:AE·EF=EC·ED

图4 分析:求证的等积式 AE·EF=EC·ED 中,有两条线段 EF、ED 在△EDF 中,另两条 线段 AE、EC 没有在同一三角形中,欲将其置于三角形中,只要添加辅助线 AC,设法证 明△FED∽△CEA 即可。 证明:连结 AC ∵四边形 DEAC 内接于圆 ∴∠FDE=∠CAE,∠FED=∠DCA ∵直径 AB⊥CD,∴ ∴∠DCA=∠CEA,∴∠FED=∠CEA ∴△FED∽△CEA ∴ ,∴AE·EF=EC·ED 小结:四边形内接于圆这一条件,常常不是在已知条件中明确给出的,而是隐含在 图形之中,在分析已知条件时,千万不要忽略这一重要条件。 例 5. 已知:如图 5,AM 是⊙O 的直径,过⊙O 上一点 B 作 BN⊥AM,垂足为 N,其延 长线交⊙O 于点 C,弦 CD 交 AM 于点 E。

图5

(1)如果 CD⊥AB,求证:EN=NM; (2)如果弦 CD 交 AB 于点 F,且 CD=AB,求证 CE2=EF·ED; (3)如果弦 CD 绕点 C 旋转,并且与 AB 的延长线交于点 F,且 CD=AB,那么(2) 的结论是否仍成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 证明:(1)连结 BM(如图 5-1)

图 5-1 ∵AM 是直径,∴∠ABM=90° ∵CD⊥AB,∴BM∥CD ∴∠ECN=∠MBN,又 AM⊥BC,∴CN=BN ∴Rt△CEN≌Rt△BMN,∴EN=NM (2)连结 BD,BE,AC(如图 5-2)

图 5-2 ∵点 E 是 BC 垂直平分线 AM 上一点,∴BE=EC ∵CD=AB,∴ ∴∠ACD=∠BDC,又 AB=AC,AE=AE ∴△ABE≌△ACE,∴∠ABE=∠ACD=∠BDC ∵∠BED 是公共角,∴△BED∽△FEB ∴BE2=EF·ED,∴CE2=EF·ED (3)结论成立。如图 5-3

图 5-3 证明:仿(2)可证△ABE≌△ACE ∴BE=CE,且∠ABE=∠ACE 又∵AB=CD,∴ ∴∠ACB=∠DBC,∴BD∥AC ∴∠BDE+∠ACE=180° 而∠FBE+∠ABE=180° ∴∠BDE=∠FBE,而∠BED 是公共角 ∴△BED∽△FEB ∴BE2=EF·ED,∴CE2=EF·ED


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