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江西省赣州于都实验中学2013届高三上学期第三次月考数学(文)试题


于都实验中学 2012-2013 学年高三年级全县联考 数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1. 如果复数 A.0 2.函数 f ( x) ?
3

2 ? bi 3?i

( b ? R

) 的实部与虚部互为相反数,则

b= D.
?

B.1

C.-1

1

2? x 的定义域为 log 2 x A. (0, 2] B. (0, 2)

C. (0,1) ? (1, 2]

D. (0,1) ? (1, ??)

3.已知 ? 是第二象限角,其终边上一点 P ( x , 5 ) ,且 cos ? ? A. ?

10 4

B. ?

6 4

C.

6 4

? 2 x ,则 sin(? ? ) = 2 4 10 D. 4

4.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为 5.已知实数 1, m ,9 依次构成一个等比数列,则圆锥曲线 m 6 6 2 3 2 3 A. B. C. D. 或2 或2 3 3 3 3

?1? ? 1? 6. 已知命题 p :函数 f ? x ? ? ? ? ? log 1 x 在区间 ? 0, ? 内存在零点, ? 3? ?2? 3
命题 q : 存在负数 x 使得 ?

x

开始 S=1,i =2 否 是 S = S×i3 i =2 i + 1

? 1? ?1? ? ? ? ? ,给出下列四个命题 ? 2? ? 3?

x

x

① p 或 q ,② p 且 q ,③ p 的否定,④q 的否定.真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 7.函数 f ? x ? ?

x ? ?1 ? a ? x ? a
2 2

A.0 B. ?1 C.1 D. ?1 3 3 3 3 3 3 8. 右面的程序框图表示求式子 2 ×5 ×11 ×23 × 47 ×95 的值, 则判断框内可 以填的条件为 A. i ? 90 ? B. i ? 100 ? C. i ? 200 ? D. i ? 300 ?

x

是奇函数,且在 ? 0, ??? 上单调递增,则 a 等于

输出 S 结束

? 1 9.函数 f ( x) ? sin x ? 2 xf ' ( ), f ' ( x)为f ( x) 的导函数,令 a ? ,b ? log3 2 ,则下列关系正确 3 2
的是 A. f (a) ? f (b) C. f (a) ? f (b) B. f (a) ? f (b) D.以上都不正确

10. 如图甲所示, 三棱锥 P ? ABC 的高 PO ? 8, AC ? BC ? 3, ?ACB ? 30?, M 、N 分别在 BC 和 PO 上, 且 CM ? x, PN ? 2 x( x ? (0,3]) ,图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥 N ? AMC 的体积 V 与 x 的变化 关系,其中正确的是

二、填空题.本大题共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 11.在等差数列 {a n } 中, 2(a1 ? a4 ? a7 ) ? 3(a3 ? a9 ) ? 36 ,则此数列前 9 项的和 S9 ? . 12.已知 x, y ? R ? , a ? ( x,1), b ? (1, y ?1) ,若 a ? b ,则 13.若不等式 | 2a ? 1|?| x ?

?

?

?

?

1 4 ? 的最小值为 x y



1 | 对一切非零实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . x 14.若自然数 n 使得作加法 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) 运算均不产生进位现象,则称 n 为“给力数”,例如:32 34 不产生进位现象;23 不是“给力数”,因 23 ?24 ? 产生进位现象.设小 25 是“给 力数”,因 32 ?33 ?
于 1000 的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合 A ,则集合 A 中的数字和为
2 2


2

15.已知 ?FAB ,点 F 的坐标为 (1, 0) ,点 A, B 分别在图中抛物线 y ? 4 x 及圆 ( x ? 1) ? y ? 4 的实 线部分上运动,且 AB 总是 平行于 x 轴,则 ?FAB 的周长的取值范围是 .

三、解答题.本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16.(12 分)在△ ABC 中,角 A 、 B 、C 的对边分别为 a、b、c ,若 B ? 60? ,且 cos( B ? C ) ? ? (1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 5 ,求△ ABC 的面积.

11 . 14

1、 01 17. (12 分) a 从 ?1、 2 中任取一个数,b 从 ?1、、中任取一个数.

1 2 ax ? bx ? 1 有零点的概率; 2 ?? ? (II)求使两个不同向量 m ? ? a,1? , n ? ?1, ?b ? 的夹角 ? 为锐角的概率.
(I)求函数 f ? x ? ?

18.(12 分)如图所 示,已知菱形 ABCD 的边长为 2,AC∩BD=O. ∠DAB=60°,将菱形 ABCD 沿对 角线 AC 折起,得到三棱锥 D-ABC.

D

D

A

O O B

C

A B

O

C

(1) 求证:平面 BOD⊥平面 ABC; (2) 若三棱锥 D-ABC 的体积为

1 ,求 BD 的长. 2

19. (12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? n ? 4 ( n ? N )
*

(1)求证:数列 {an ?1} 为等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? an log2 (an ?1) ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn .

20. (13 分)已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ,其中左焦点 F ? ?2,0? ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程 (2)若直线 y ? x ? m 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,且线段 AB 的中点 M 关于直 线 y ? x ? 1 的对 称点在圆 x2 ? y 2 ? 1 上,求 m 的值

21.(14 分)已知曲线 C 1: y ? ax ? b 和曲线 C2 : y ? 2b ln x(a, b ? R) 均与直线 l : y ? 2 x 相切.
2

(1)求实数 a、b 的值; (2)设直线 x ? t (t ? 0) 与曲线 C1,C2 及直线 l 分别相交于点 M,N,P,记 f (t ) ?| MP | ? | NP | , 求 f (t ) 在区间 ? 0, e? (e 为自然对数的底)上的最大值.

答案
2012-12 一、选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1 B 2 D 3 B 4 D 5 C 6 B 7 C 8 B 9 A 10 A

二、填空题.本大题共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 11. 27 12. 9 13. [?

1 3 , ] 2 2

14. 6

15.

(4, 6)

三、解答题.本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16. 分) (12 在△ ABC 中, A 、B 、C 的对边分别 为 a、b、c , B ? 60? , cos( B ? C ) ? ? 角 若 且 (1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 5 ,求△ ABC 的面积.

11 . 14

11 5 3 , ∴ sin(B ? C ) ? 1 ? cos2 ( B ? C ) ? (2 分) 14 14 ∴ cos C ? cos ?? B ? C ? ? B ? ? cos( B ? C ) cos B ? sin( B ? C ) sin B ? ?
解: (1)∵ cos( B ? C ) ? ?

11 1 5 3 3 1 (6 分) ? ? ? ? 4 2 7 14 2 14 4 3 (2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos2 C ? (8 分) 7 c b a ? ? 在△ ABC 中,由正弦定理 sin C sin B s i nA , a sin C ? 8 (10 分) ∴c ? sin A 1 1 3 ∴ S ? ac sin B ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 .(12 分) 2 2 2 ??
1、 01 17. (12 分) a 从 ?1、 2 中任取一个数,b 从 ?1、、中任取一个数.

1 2 ax ? bx ? 1 有零点的概率; 2 ?? ? (II)求使两个不同向量 m ? ? a,1? , n ? ?1, ?b ? 的夹角 ? 为锐角的概率.
(I)求函数 f ? x ? ? 解:设点 P ? a, b ? , 共有 9 个:

? ?1, ?1? , ? ?1,0? , ? ?1,1? , ?1, ?1? , ?1,0? , ?1,1? , ?2, ?1? , ?2,0? , ?2,1? ……3 分

(1)记 f ? x ? ?

1 2 1 ax ? bx ? 1 有零点为事件 A? f ? x ? ? ax 2 ? bx ? 1 有零点, 2 2

即 b 2 ? 2a, 故满足条件的( , b) 有 3 个 a

? 概率 p( A) ?

1 3

7分

(2)记两个不同向量 m ? ? a,1? , n ? ?1, ?b ? 的夹角 ? 为锐角为事件 B

??

?

?m ? n ? 0 ?a ? b ? ?? ?? , 故符合条件的 P ? a, b? 有 4 个 ?m与n不共线 ?? ab ? 1 ? 4 12 分 ? 概率 p ( B ) ? 9
18.(12 分)如图所示,已知菱形 ABCD 的边长为 2,AC∩BD=O. ∠DAB=60°,将菱形 ABCD 沿对 角线 AC 折起,得到三棱锥 D-ABC.

(3) 求证:平面 BOD⊥平面 ABC; (4) 若三棱锥 D-ABC 的体积为 解: (1)∵ABCD 是菱形

1 ,求 BD 的长. 2
∴DO⊥AC(2 分)

BO⊥AC(4 分) BO∩DO=0,BO、DO?面 BOD AC?面 BOD ∴AC⊥面 BOD(5 分) AC?面 ABC ∴面 ABC⊥面 BOD(6 分) 1 1 1 1 1 (2)VD—ABC= AC·S△BOD= ? 2 3 ·S△BOD= ? 2 3 ? ?1?1 ·sin∠BOD= 3 3 2 2 3 3 ? 2? ? ∠BOD= 或 sin∠BOD= (8 分) 2 3 3 ? ? ① 若∠ BOD= ,BD2=BO2+DO2-2·BO·DO·cos =1+1-1=1,所以 BD=1(10 分) 3 3 2? 2? 2 2 2 ② 若∠ BOD= ,BD =BO +DO -2·BO·DO·co s =1+1+1=3,所以 BD= 3 3 3 综上,BD=1 或 3 (12 分) 19.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? n ? 4 ( n ? N )
*

(1)求证:数列 {an ?1} 为等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? an log 2 (an ?1) ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn 。

解: (1) Sn ? 2an ? n ? 4 Sn?1 ? 2an?1 ? (n ? 1) ? 4

? an ?1 ? 2(an?1 ?1) ? 数列 ?an ?1? 为等比数列(4 分)
又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 3 ? a1 ? 3 因此 an-1 ? (a1 ?1) ? 2n?1 ? 2n an?1 +1(6 分) ? an ? 2n?1 (2) Cn ? (2n ? 1)n ? n ? 2n ? n (7 分) 令 An ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n 2

当 n≥2 时? an ?2 an ?2 a?1 ?1 从而 an ? 2an?1 ?1 (2 分) n

2 An ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1

?? An ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1
2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? ?2 ? (1 ? n) ? 2n?1 1? 2 ? An ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 (10 分) n(n ? 1) ?Tn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? (12 分) 2 ?
20.(13 分)已知椭圆 C :
2 x2 y 2 ,其中左焦点 F ? ?2,0? ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程 (2)若直线 y ? x ? m 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,且线段 AB 的中点 M 关于直线 y ? x ? 1 的对 称点在圆 x2 ? y 2 ? 1 上,求 m 的值
?c 2 x2 y 2 ? ? ? ? 1 (5 分) 解:(1) ? a 2 ? 8 4 ?c ? 2 ?

(2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

M ? x3 , y3 ? ,V ? x4 , y4 ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 8 ? 0 (6 分) 由? 8 4 ?y ? x ? m ?

? ? ∴△ ? 96 ? 8m2 ? 0 ? ?2 3 ? m ? 2 3 (7 分) x ?x 2m m ? x3 ? 1 2 ? ? , y3 ? x3 ? m ? (8 分) 2 3 3 ? y3 ? y4 x3 ? x4 m ? ? 2 ? 2 ? 1 ? x4 ? ? 1 ? ? 3 又? 在 x2 ? y 2 ? 1 上(9 分) ?? y4 ? y3 2m ? ?y ?1? ? ?1 ? 4 ? x4 ? x3 3 ? ?

m 2 2m 4m 2 4m ? m ? ? 2m ? ? ? ? 1? ? ? 1 ? ?1? ? ? ? ?1? 0 ? 3 ? 9 3 1 3 ?3 ? ? ?5m2 ? 18m ? 9 ? 0 ? ?5m ? 3?? m ? 3? ? 0 (11 分)

2

2

3 ? m ? 或 m ? 3 (12 分) 5 3 经检验解题 ? m ? 或 m ? 3 (13 分) 5

21. (本小题满分 14 分) 已知曲线 C 1: y ? ax2 ? b 和曲线 C2 : y ? 2b ln x(a, b ? R) 均与直线 l : y ? 2 x 相切。 (1)求实数 a、b 的值; (2) 设直线 x ? t (t ? 0) 与曲线 C1, 2 及直线 l 分别相交于点 M, P, f t | ?P | | N?| C N, 记 () M P ,

求 f (t ) 在区间 ? 0, e? (e 为自然对数的底)上的最大值。 解: (1)令 C1:y1'=2ax1=2 ? x1= C2:y2'=

1 2 1 1 2 ,已知切点( , ) ∴ = +b a a a a a
∴ 2b=2blnb

① ……(2 分)

2b =2 ? x2=b,已知切点(b, 2b) x2

② ………………………(2 分)

1 由① 知,a= ,b=e…………………………………………………………………(6 分) ② e 1 (2)由(1)知 C1:y= x2+e C2:y=2elnx e 联立 x=t(t>0)可得 1 M(t, t2+e),N(t, 2elnt),P(t, 2t) ……………………………………………………(8 分) e 1 ∴ f(t)=|MP|―|NP|=| t2+e―2t|―|2elnt―2t| e 1 2 1 = |t ―2et+e2|―2|elnt―t|= (t2―2et+e2)―2|elnt―t|………………………………(9 分) e e e e?t 令 g(t)=elnt―t g'(t)= ―1= ≥0 0<t≤e t t ∴ max=g(e)=0 ∴ g(t) g(t)≤0 1 2 ∴ f(t)= t ―2t+e―2(t―elnt) e 1 2 = t ―4t+2elnt+e………………………………………………………(11 分) e 2 2 2 2 t ? 4t ? 2e (t ? 2te ? e 2 ) 2 2e t e ? ∴ f'(t)= t―4+ = ≥0 t t e t
∴ max=f(e)=0………………………………………… f(x)

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