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北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末高一数学试题

时间:2015-01-28


北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末 高一数学 A 卷 [必修 模块 4]
本卷满分:100 分
2015.1

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.已知 ? ? (0, 2π) ,且 sin ? ? 0 , cos ? ? 0 ,则角 ? 的取值范围是( (A) (0, ) ) (D)

( ) (D) (?4, 20)

π 2

(B) ( , π )

π 2

(C) ( π ,

3π ) 2

3π , 2π) 2

2.已知向量 a ? (2, 8) , b ? (?4, 2) .若 c ? 2a ? b ,则向量 c ? ( (A) (0,18) (B) (12,12) (C) (8,14) )

3.已知角 ? 的终边经过点 P(3, ?4) ,那么 sin ? ? ( (A)

3 5

(B)

3 4

(C) ?

3 4

(D) ?

4 5


4.已知函数 y ? sin x 和 y ? cos x 在区间 M 上都是增函数,那么区间 M 可以是( (A) (0, )

π 2

(B) ( , π )

π 2

(C) ( π ,

3π ) 2

(D) (

3π , 2π) 2

5.在△ ABC 中, D 是 BC 的中点,则 AB ? AC ? ( (A) 2 AD (B) 2 DA )

) (D) 2 DB

(C) 2 BD

6.下列函数中,偶函数是( (A) f ( x) ? sin(? ? x) (C) f ( x) ? sin(

(B) f ( x) ? tan(? ? x) (D) f ( x ) ? cos(

? ? x) 2

? ? x) 2

7.为得到函数 y ? cos( x ?

π ) 的图象,只需将函数 y ? cos x 的图象( ) 6 π π (A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位 3 3 π π (C)向左平移 个单位 (D)向右平移 个单位 6 6

8.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 , E 是 CD 的中点,那么 AE ? DC ? ( )
第 1 页 共 10 页

(A) 4
2

(B) 2 )

(C) 3

(D)1

9.函数 y ? sin x 的最小正周期为( (A) 2 ? (B) ?

(C)

π 2

(D)

π 4


10.已知向量 a ? (1,sin? ) , b ? (cos? , 3) ,其中 ? ? R ,则 | a ? b | 的最大值是( (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D)1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上. 11.若 ? ? (0, ?) ,且 ? 与角 ?

5? 终边相同,则 ? ? _____. 3

12.若向量 a ? (1, 2) 与向量 b ? (? , ?1) 共线,则实数 ? ? _____. 13.已知 ? 是第二象限的角,且 sin ? ?

5 ,则 cos? ? _____. 13

b ? (2, ?1) , c ? (1,1) . 14. 已知向量 a ? (1,3) , 若 c ? ?a + ?b (? , ? ? R) , 则
15.函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 的最大值是_____.
2

? ? _____. ?

16.关于函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ( x ? R ) ,给出下列三个结论: ① 函数 f ( x ) 的图象与 g ( x) ? cos(2 x ? ② 函数 f ( x ) 的图象关于点 (

? 6

? , 0) 对称; 12 ? ③ 函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 对称. 3
其中,全部正确结论的序号是_____.

2? ) 的图象重合; 3

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? ?2 ,且 ? ? ( , ?) . (Ⅰ)求 tan(? ?

? 2

π ) 的值; (Ⅱ)求 sin 2? 的值. 4

第 2 页 共 10 页

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos ? ,sin ?) , b ? (? ,

1 3 ) ,其中 ? 是锐角. 2 2

(Ⅰ)证明:向量 a ? b 与 a ? b 垂直; (Ⅱ)当 | 2a ? b | ? | a ? 2b | 时,求角 ? .

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2x ? 3 cos 2 x ? 1. (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若对于任意 x ? [ , ] ,都有 f ( x) ? m ? 2 成立,求实数 m 的取值范围.

π π 4 2

B卷

[学期综合]

本卷满分:50 分

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上.

第 3 页 共 10 页

1.函数 y ?

1 的定义域是_____. lg x

2.若幂函数 y ? x? 的图象过点 (4, 2) ,则 ? ? _____. 3. 2log6 2 ? log6 9 ? _____. 4.函数 f ( x) ? ?

? x ? 1,

x ? 0,

2 ? x ? 4, x ? 0,

的零点是_____.

5. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且 f ( x ) 在 [0, ??) 上是减函数. 若 f (2m ? 1) ? f (m) , 则实数 m 的取值范围是_____. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 6. (本小题满分 10 分) 已知全集 U ? R ,集合 P ? {x | x ( x ? 2) ? 0} , M ? {x | a ? x ? 2a ? 6} . (Ⅰ)求集合 ?U P ; (Ⅱ)若 ?U P ? M ,求实数 a 的取值范围.

7. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? a) ,其中 a ? R . (Ⅰ)若 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值.

8. (本小题满分 10 分)

第 4 页 共 10 页

已知函数 f ( x) ? a ? 2x ? b ? 3x ,其中 a , b 为常数. (Ⅰ)若 ab ? 0 ,判断 f ( x ) 的单调性,并加以证明; (Ⅱ)若 ab ? 0 ,解不等式: f ( x ? 1) ? f ( x) .

第 5 页 共 10 页

北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末试卷

高一数学参考答案及评分标准
A 卷 [必修 模块 4] 满分 100 分
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.D; 2.C; 3.D; 4. D; 5. A; 6. C; 7. C;

2015.1

8.B; 9. B; 10.B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.

? ; 3 3 14. ; 2
11. 注:16 题,少解不给分.

12. ?

1 ; 2

13. ?

12 ; 13

15. 2 ;

16. ① ② ③.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:因为 tan ? ? ?2 ,

π π 4 所以 tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? ? tan π 4 tan ? ? tan
? 3.
(Ⅱ)解:由 ? ? ( , π ) , tan ? ? ?2 , 得 sin ? ?

【 3 分】

【 6 分】

π 2

2 , 【 8 分】 5
4 . 5

cos ? ? ?

1 . 5

【10 分】

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

【12 分】

18.(本小题满分 12 分)

sin ? ) , b ? (? , (Ⅰ)证明:由向量 a ? (cos ? ,

1 3 ), 2 2
【 1 分】 【 2 分】

得 a ? b ? (cos ? ?

1 3 1 3 ,sin ? ? ) , a ? b ? (cos ? ? ,sin ? ? ), 2 2 2 2

由 ? ? (0, ) , 得向量 a ? b ,a ? b 均为非零向量.
第 6 页 共 10 页

π 2

因为 (a ? b) ? (a ? b) ? | a | ? | b | ? (sin ? ? cos ? ) ? ( ? ) ? 0 ,
2 2 2 2

1 4

3 4

【 5 分】 【 6 分】

所以向量 a ? b 与 a ? b 垂直. (Ⅱ)解:将 | 2a ? b | ? | a ? 2b | 两边平方, 化简得 3(| a |2 ? | b |2 ) ? 8a ? b ? 0 . 由 | a | ?| b | ? 1 , 所以 ? 得 a ?b ? 0 ,

【 8 分】 【 9 分】

1 3 cos ? ? sin ? ? 0 , 2 2 3 . 3
π 2
【11 分】

所以 tan ? ?

注意到 ? ? (0, ) , 所以 ? ?

π . 6

【12 分】

19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解: f ( x) ? sin 2x ? 3 cos 2 x ? 1

π ? 1 ? 2sin(2 x ? ) . 3
因为函数 y ? sin x 的单调递减区间为 [2k π ? 由 2k π ? 得 kπ ?

【 2 分】

π 3π , 2k π ? ] ( k ? Z) . 2 2
【 4 分】

π π 3π ? 2x ? ? 2k π ? ( k ? Z) , 2 3 2

5π 11π ? x ? kπ ? ( k ? Z) . 12 12
【 6 分】

5π 11π , kπ ? ] (k ? Z) . 12 12 π π π π 2π ? 2x ? ? , (Ⅱ)解: 因为 x ? [ , ] , 所以 4 2 6 3 3 π 由(Ⅰ)得 2 ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 , 3
所以 f ( x ) 的单调递减区间为 [kπ ?

3] . 所以 f ( x ) 的值域是 [2,
π π f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? [ , ] . 4 2
所以 m ? f ( x)max ? 2 ,且 m ? f ( x)min ? 2 ,
第 7 页 共 10 页

【 8 分】 【10 分】

所以 1 ? m ? 4 , 即 m 的取值范围是 (1, 4) .

【12 分】

B卷

[学期综合] 满分 50 分
1 ; 2 1 5. ( ,1) . 3

一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 1. {x ? R | 0 ? x ? 1 ,或 x ? 1} ; 4. ?2 , 1 ; 注:4 题,少解得 2 分,有错解不给分. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 6.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)解:因为全集 U ? R ,集合 P ? {x | x ( x ? 2) ? 0} , 所以 ?U P ? {x | x ( x ? 2) ? 0} , 即集合 ?U P ? {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ) 解: 因为 ?U P ? M , 所以 ? 【 2 分】 【 4 分】 2. 3. 2 ;

?a ? 0, ?2a ? 6 ? 2,

【 6 分】

解得 ?

?a ? 0, ?a ? ?2.

【 8 分】

所以 a ? [?2, 0] . 注:第(Ⅱ)小问没有等号扣 1 分. 7.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)解法一:因为 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? a) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ,
2

【10 分】

所以, f ( x ) 的图象的对称轴方程为 x ? 由

2?a ? 1 ,得 a ? 0 . 2

2?a . 2

【 2 分】 【 4 分】

解法二:因为函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 所以必有 f (0) ? f (2) 成立, 所以 ?2a ? 0 , 得 a ? 0 . (Ⅱ)解:函数 f ( x ) 的图象的对称轴方程为 x ? 【 2 分】 【 4 分】

2?a . 2

第 8 页 共 10 页

① 当

2?a ? 0 ,即 a ? 2 时, 2

因为 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (0) ? ?2a . 【 6 分】

2?a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时, 2 2?a 2?a ) 上单调递减,在区间 ( ,1) 上单调递增, 因为 f ( x ) 在区间 (0, 2 2 2?a 2?a 2 ) ? ?( ) . 所以 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f ( 2 2 2?a ? 1 ,即 a ? 0 时, ③ 当 2
② 当0 ? 因为 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (1) ? ?(1 ? a) . 8.(本小题满分 10 分)

【 8 分】

【10 分】

(Ⅰ)解:当 a ? 0, b ? 0 时, f ( x ) 在 R 上是增函数;当 a ? 0, b ? 0 时, f ( x ) 在 R 上是 减函数; 证明如下: 当 a ? 0, b ? 0 时,任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 ?x ? x2 ? x1 ? 0 , 则 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a(2 2 ? 2 1 ) ? b(3 2 ? 3 1 ) .
x x x x

【 1 分】

因为 2 1 ? 2 2 , a ? 0 ? a(2 2 ? 2 1 ) ? 0 ;又 3 1 ? 3 2 , b ? 0 ? b(3 2 ? 3 1 ) ? 0 ,
x x x x x x x x

所以 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 所以,当 a ? 0, b ? 0 时, f ( x ) 在 R 上是增函数. 当 a ? 0, b ? 0 时,同理可得, f ( x ) 在 R 上是减函数. (Ⅱ)解:由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a ? 2 ? 2b ? 3 ? 0 ,
x x

【 5 分】

得 2b( ) ? ? a .
x

3 2

(*)

【 6 分】

① 当 a ? 0, b ? 0 时, (*)式化为 ( ) ?
x

3 2

?a , 2b

第 9 页 共 10 页

解得 x ? log 3 (?
2

a ). 2b
3 2
x

【 8 分】

② 当 a ? 0, b ? 0 时, (*)式化为 ( ) ? 解得 x ? log 3 (?
2

?a , 2b
【10 分】

a ). 2b

第 10 页 共 10 页


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