nbhkdz.com冰点文库

高中数学 1.3 函数的基本性质教案 新人教A版必修1


函数的基本性质
教学目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应用函数的 基本性质解决一些问题。 (2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单 调性定义判断、证明函数单调性的方法. (3)了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。

重点与难点 (1)判断或证明函数的单调性; (2)奇偶性概念

的形成与函数奇偶性的判断。 教学过程

一、 函数的单调性 1.单调函数的定义 (1)增函数:一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I :如果对于属于 I 内某个区间上的任意 两个自变量的值 x1 、 x2 ,当 x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x) 在这个区间 上是增函数。 (2)减函数:如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、 x2 ,当 x1 ? x2 时 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x) 在这个区间上是减函数。 (3)单调性:如果函数 y ? f ( x) 在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数 y ? f ( x) 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做 y ? f ( x) 的单调区间。

2、单调性的判定方法 (1)定义法: 判断下列函数的单调区间: y ?

1 x2

(2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (3)复合函数的单调性的判断: 设 y ? f ( x) , u ? g ( x) , x ? [a, b] , u ? [m, n] 都是单调函数,则 y ? f [ g ( x)] 在 [a, b] 上也是单调函数。 ①若 y ? f ( x) 是 [m, n] 上的增函数,则 y ? f [ g ( x)] 与定义在 [a, b] 上的函数 u ? g ( x) 的单调性相 同。 ②若 y ? f ( x) 是 [m, n] 上的减函数,则 y ? f [g (x )] 与定义在 [a, b] 上的函数 u ? g ( x) 的单调性 相同。

1

即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数 的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 练习:(1)函数 y ? 为 . (2) y ?

4 ? x 2 的单调递减区间是
1

,单调递增区间

x ? 4x ? 5
2

的单调递增区间为



3、函数单调性应注意的问题: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个 区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在 是增(或减)函数 上

4.例题分析 证明:函数 f ( x) ?

1 在 (0, ??) 上是减函数。 x

证明:设任意 x1 , x2 ∈(0,+∞)且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 1 x2 ? x1 , ? ? x1 x2 x1 x2

由 x1 , x2 ∈(0,+∞),得 x1 x2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ,得 x2 ? x1 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以, f ( x) ?

1 在 (0, ??) 上是减函数。 x 1 不能说 x

说明:一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如: y ?

(??,0) ? (0,??) 是原函数的单调递减区间;
练习:1. .根据单调函数的定义,判断函数 f ( x) ? x ? 1 的单调性。
3

2.根据单调函数的定义,判断函数 f ( x) ? 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义:

x 的单调性。

2

(1)偶函数:一般地,如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 就叫做偶函数。例如:函数 f ( x) ? x2 ? 1 , f ( x) ? x4 ? 2 等都是偶 函数。 (2)奇函数:一般地,如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有

f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做奇函数。例如:函数 f ( x) ? x , f ( x) ?
都是奇函数。

1 x

(3)奇偶性:如果函数 f ( x) 是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f ( x) 具有奇偶性。 说明:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称; (2) f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? ? f ( x) 必有一成立。 因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再 计算 f (? x) ,看是等于 f ( x) 还是等于 ? f ( x) ,然后下结论;若定义域关于原点不 对称,则函数没有奇偶性。 (3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。 (4)函数 f ( x) ? 0 既是奇函数也是偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足 f ( x) ? f (? x) 也满足 f ( x) ? ? f (? x) 。 (5)一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于 y 轴对称,反过来,如果一个函数的图形关 于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数。 (6)奇函数若在 x ? 0 时有定义,则 f (0) ? 0 . 2、函数的奇偶性判定方法 (1)定义法 (2)图像法 (3)性质罚 3.例题分析: 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ?| x | ? x2 (

1 ? x2 ( ) 2? | x ? 2 | 说 明 : 在 判 断 f (? x) 与 f ( x ) 的 关 系 时 , 可 以 从 f (? x) 开 始 化 简 ; 也 可 以 去 考 虑 f (? x) 与 1 或 ?1 的关 f ( x) ? f (? x) 或 f ( x) ? f (? x) ;当 f ( x) 不等于 0 时也可以考虑 f ( x)
) (2) f ( x) ?

系。 五.小结:1.函数奇偶性的定义; 2.判断函数奇偶性的方法; 3.特别要注意判断函数奇偶性时,一定要首先看其定义域是否关于原点对称, 否则将会导致结论错误或做无用功。
3

三、函数的最大值或最小值 1.最大值的定义: 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: ⑴对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ⑵存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值. 2 ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤M(f(x)≥M). 仿照函数最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值的定义. 3.例题分析: 例 4.(教材 P35 例 4)求函数 y ? 解:(略) 巩固练习:(教材 P36 练习 5)

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

基础练习: 一、选择题、每个题目中,只有一个选项是正确的。 1、函数 f(x)= x-2 + 2-x 是( C ) A、奇函数 B、偶函数 间 (??,0) 上为增函数的是 A. y ? 1 C. y ? ? x ? 2x ? 1
2 2

C、既是奇函数又是偶函数 (B ) B. y ?

D、非奇非偶函数 2.在区

x ?2 1? x
2

D. y ? 1 ? x

3.函数 y ? x ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围 ( B ) A. b ? ?2 B. b ? ? 2 C . b ? ?2 D. b ? ?2

4.如果偶函数在 [a, b] 具有最大值,那么该函数在 [?b,?a] 有 ( A ) A.最大值 B.最小值 C .没有最大值 D. 没有最小值

5.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是
4

( A.y=2x+1 C.y=

C ) B.y=3x +1 D.y=2x +x+1
2 2

2 x
-2

6.函数 y=(x-1) 的减区间是_(_1,+∞)

5


高中数学 1.3 函数的基本性质教案 新人教A版必修1

高中数学 1.3 函数的基本性质教案 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。函数的基本性质教学目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),...

人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案

人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案_数学_高中教育_教育专区。?1 ? 3 函数的基本性质学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性) ,...

1.3《函数的基本性质》教案(新人教必修1)

1.3函数的基本性质教案(新人教必修1)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数的基本性质、高考资源网——提供高考试题、高考模拟题,发布高考信息题 本站投稿...

高中数学《函数的基本性质—最大(小)值》教案3 新人教A版必修1

高中数学函数的基本性质—最大(小)值》教案3 新人教A版必修1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.3 函数的基本性质---最大(小)值(一)教学目标 1.知识...

高中必修一数学教案(1.3函数的基本性质)

高中必修一数学教案(1.3函数的基本性质)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修一复习课件(3)内容: 重点必记: y=kx+b y=k/x y=ax^2+bx+c 练习: 1....

人教A版数学必修一《1.3《函数的基本性质》函数的单调性(一)》教案

广东省德庆县孔子中学高中数学1.3 函数的基本性质 函数的单调 性(一) 》教案 新人教 A 版必修 1 教学内容 课题: 函数的单调性 (一) 教学目标 (1)通过...

高一数学 1.3.1《函数的单调性》教案(新人教A版必修1)

高一数学 1.3.1《函数的单调性》教案(新人教A版必修1)_数学_高中教育_教育专区。§1.3.1 函数的单调性一、三维目标 1、知识与技能: (1)建立增(减)函数...

高中数学《函数的基本性质—最大(小)值》教案3_新人教A版必修1

高中数学函数的基本性质—最大(小)值》教案3_新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。1.3.1.函数的基本性质--最大(小)值贵州师范大学 2013 届毕业生 卢...

2016-2017学年高中数学 1.3函数的基本性质教案 新人教版必修1(精品)

2016-2017学年高中数学 1.3函数的基本性质教案 新人教版必修1(精品)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.1.2 评论(0) 1 教学目标 1、知识目标。 指数函数...