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第2节 函数的单调性、奇偶性、周期性


第2节 课时训练 【选题明细表】

函数的单调性、奇偶性、周期性 练题感 提知能

知识点、方法 单调性的判断与应用 求函数的单调区间 奇偶性的判断与应用 周期性及应用 一、选择题 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( (A)f(x)=3-x (B)f(x)=x2-3x (C)f(x)=(D)f(x)=-|x|

r />题号 1、6、7、12、13 2、8 3、5、10、11 4、9、14

C

)

解析:当 x>0 时,f(x)=3-x 为减函数; 当 x∈ 当 x∈ 时,f(x)=x2-3x 为减函数; 时,f(x)=x2-3x 为增函数; 为增函数;

当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-

当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数.故选 C. 2.函数 y= (A)(1,+∞) (B) 的递减区间为( D )

(C)

(D) ,由于 g(x)在 ,故选 D. 上单调递增,

解析:令 g(x)=2x2-3x+1,则 y= 所以函数 y= 的递减区间是

3.(2013 年高考广东卷)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中,奇函数的个数是( (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:因 f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以 y=x3 是奇函数,f(-x)=2sin (-x)=-2sin x=-f(x), 所以 y=2sin x 是奇函数, 由函数性质知 y=2x 是非奇非偶函数,y=x2+1 是偶函数,所以奇函数的 个数是 2,故选 C. 4.已知 f(x)满足 f(x+4)=f(x)和 f(-x)=-f(x),当 x∈(0,2) 时,f(x)=2x2,则 f(7)等于( (A)-2 (B)2 (C)-98 A ) C )

(D)98

解析:∵f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期 T=4. 又∵f(-x)=-f(x),且当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2, ∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1)=-f(1)=-2×1=-2. 故选 A. 5.(2013 河南郑州模拟)设函数 f(x)= g(3)等于( D ) 且 f(x)为奇函数,则

(A)8 (B) 解析:法一

(C)-8 (D)由于 f(x)为奇函数,

故当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=-2-x, 所以 g(x)=-2-x, 所以 g(3)=- .故选 D. 法二 由题意知,g(3)=f(3)=-f(-3)=-2-3=- .故选 D. 在 R 上为增函数,则 a 的取值范围是

6.已知函数 f(x)= ( B )

(A)-3≤a<0 (B)-3≤a≤-2 (C)a≤-2 (D)a<0

解析:要使函数在 R 上是增函数则有 解得-3≤a≤-2.故选 B. 7.(2013 佛山模拟)若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2+bx 在(0,+∞)上是( (A)增函数 (B)减函数 B )

(C)先增后减 (D)先减后增 解析:由 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数, 知 a<0,b<0,

∴函数 y=ax2+bx 的对称轴 x=- <0, 因此函数 y=ax2+bx 在(0,+∞)上为减函数.故选 B. 二、填空题 8.函数 y=lo (x2-3x+2)的单调增区间为 解析:令 t=x2-3x+2, 由 x2-3x+2>0 得 x>2 或 x<1, 又函数 y=lo t 是(0,+∞)上的减函数, 函数 t=x2-3x+2 在(2,+∞)上为增函数,在(-∞,1)上为减函数, 因此函数 y=lo (x2-3x+2)的单调增区间是(-∞,1). 答案:(-∞,1) 9.函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= f(f(5))= 解析:∵f(x+2)= . , =f(x), ,若 f(1)=-5,则 .

∴f(x+4)=f(x+2+2)=

因此函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(5)=f(1)=-5, ∴f(f(5))=f(-5)=f(3)= 答案:=- .

10.(2012 年高考上海卷)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1,若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)= 解析:∵y=f(x)+x2 是奇函数, ∴f(-1)+(-1)2=-f(1)-12, 即 f(-1)=-f(1)-2=-3. ∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1. 答案:-1 11.(2013 吉林模拟)若 f(x)= 解析:法一 得 +a=-( 由 f(-x)= +a)? 2a= +a= +a 是奇函数,则 a= +a=-f(x), =1, . .

故 a= . 法二 即 由题意知 f(-1)+f(1)=0, +a+ +a=0,解得 a= .

答案: 三、解答题 12.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0). (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; (2)若 f(x)在 上的值域是 ,求 a 的值.

(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0, ∵f(x2)-f(x1)= = - = >0, -

∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. (2)解:∵f(x)在 又 f(x)在 ∴f 上的值域是 ,

上单调递增,

= ,f(2)=2,解得 a= .

13.已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞),且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f (1)求 f(1); (2)解不等式 f(-x)+f(3-x)≥-2. 解:(1)令 x=y=1,则 f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0. (2)由题意知 f(x)为(0,+∞)上的减函数, 且 ∴x<0, =1. =1,如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y),

∵f(xy)=f(x)+f(y),x、y∈(0,+∞)且 f ∴f(-x)+f(3-x)≥-2, 可化为 f(-x)+f(3-x)≥-2f ,

f(-x)+f f 则 +f

+f(3-x)+f ≥f(1),f

≥0=f(1), ≥f(1),

解得-1≤x<0.

∴不等式的解集为[-1,0). 14.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x), (1)求证:f(x)是周期函数; (2)若 f(x)为奇函数且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在 [0,2014]上的所有 x 的个数. (1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是周期函数,且周期为 4. (2)解:由 f(x)为奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)= x, 则当-1≤x≤0 时, f(x)=-f(-x)=- (-x)= x, 即 f(x)= x. 故 f(x)= x(-1≤x≤1). 又 f(x+2)=-f(x). 则当 1<x<3 时,f(x)=-f(x-2)=- (x-2).

∴f(x)=- (x-2)(1<x<3). ∴f(x)= 由 f(x)=- , 解得 x=-1. ∵f(x)是以 4 为周期的周期函数, 故满足 f(x)=- 的所有 x 可表示为 x=4n-1(n∈Z). 令 0≤4n-1≤2014,则 ≤n≤ 又∵n∈Z, ∴1≤n≤503. ∴在[0,2014]上共有 503 个 x 使 f(x)=- . ,


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