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空间向量基础知识和应用


空间向量与立体几何

知识网络

知识要点梳理 知识点一:空间向量 1.空间向量的概念 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注: ⑴ 空间的一个平移就是一个向量。 ⑵ 向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要 素:方向,大小。 ⑶ 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.

共线向量 (1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平 行向量. 平行于 记作 .当我们说向量 、 共线(或 // )时,表示 、 的

有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线. (2)共线向量定理:空间任意两个向量 =λ 3.向量的数量积 (1)定义:已知向量 ,则 。 (2)空间向量数量积的性质: ① ; 叫做 的数量积,记作 ,即 。 、 ( ≠ ) , // 的充要条件是存在实数λ ,使

② ③ .



(3)空间向量数量积运算律: ① ② 1 / 10 (交换律) ; ;

空间向量与立体几何

③ 4.空间向量基本定理 如果三个向量

(分配律) 。

不共面,那么对空间任一向量 。若三向量 不共面,我们把

,存在一个唯一的有序实数组 叫做空间的一个基底,

,使 叫做基向

量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 5.空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为 示; (2)在空间选定一点 方 向建立三条数轴: , 和一个单位正交基底 轴、 轴、 ,以点 为原点,分别以 的方向为正 ,这个基底叫单位正交基底,用 表

轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系



叫原点,向量 平面,

都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为 平面;

平面,

6.空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系 中,对空间任一点 ,存在唯一的有序实数组 ,使

,有序实数组 , 叫横坐标, 叫纵坐标,

叫作向量 叫竖坐标.

在空间直角坐标系

中的坐标,记作

7.空间向量的直角坐标运算律: (1)若 , ,则 .

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 (2)若 , ,则 , , , , , 2 / 10

空间向量与立体几何







夹角公式: (3)两点间的距离公式:若 , ,则



或 知识点三:空间向量在立体几何中的应用



1. 立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明. 对于垂直问题,一般是利用 进行证明;

对于平行问题,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明. 2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为

求两个向量的夹角或其补角,而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式 3.用向量法求距离的公式



设 n 是平面

的法向量, 是平面 AB

的一条斜线, 则点 B 到平面

的距离为

(如图) 。

规律方法指导 向量法在求空间角上的应用 平面的法向量的求法: 设 n=(x,y,z), 利用 n 与平面内的两个不共线的向 a, 垂直, b 其数量积为零, 列出两个三元一次方程, 联立后取其一组解,即得到平面 的一个法向量(如图) 。

线线角的求法: 3 / 10

空间向量与立体几何

设直线 AB、CD 对应的方向向量分别为 a、b,则直线 AB 与 CD 所成的角为 线线角的范围[0 ,90 ])
0 0

。 (注意:

线面角的求法: 设 n 是平面 的法向量, 是直线 的方向向量,则直线 与平面 所成的角为

(如图) 。

二面角的求法:

设 n1,n2 分别是二面角

的两个面



的法向量,则



是二面角的平面角或其补角的大小(如图)

利用法向量求空间距离 ⑴ 点 A 到平面 的距离:

,其中 ⑵ 直线 与平面



是平面

的法向量。

之间的距离:

,其中 ⑶ 两平行平面 之间的距离:



是平面

的法向量。

,其中 4 / 10



是平面

的法向量。

空间向量与立体几何

空间向量是高中数学中的重要内容之一,是处理空间线线、线面、面面位置关系和夹角 的重要工具,是高考考查的重要内容之一.运用向量方法研究立体几何问题思路简单,模式 固定,避免了几何法中作辅助线的问题,从而降低了立体几何问题的难度.本文将空间向量 在立体几何中的应用的重要考点和解题方法作以解析. 【考点及要求】 1.理解直线的方向向量与平面法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 3.能用向量方法证明证明直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题,了解向量方法 在研究集合问题中的应用. 【考点归纳分析】 考点 1.利用空间向量证明空间垂直问题 利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容,考查形式 灵活多样,常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合,考查形式可以是小题,也可以是 解答题的一部分,或解答题的某个环节,题目容易,是高考中的重要得分点. 例 1(2010 辽宁理 19) )已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥面 ABC,AB⊥AC,PA=AC= AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点.证明:CM⊥SN; 审题要津:本题空间坐标系易建立,可用坐标法. 证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x, y,z 轴正向建立空间直角坐标系如图,则 P(0,0,1) ,C (0,1,0) ,B(2,0,0) ,M(1,0,

1 AB ,N 为 2

1 1 ) ,N( ,0,0) ,S(1, 2 2

1 ,0) 2 ???? ? ? 1 ??? 1 1 CM ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? , 0) , 2 2 2
因为 CM ? SN ? ?

???? ??? ? ?

1 1 ? ? 0 ? 0 , 所以 CM⊥SN . 2 2

【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定(证明)问题,常用向量法,即通过证明所证 直线的方向向量的数量积为 0 证明两直线垂直. 例 2(2010 天津理 19) 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 、F 分 别是棱 BC , CC1 上的点, CF = AB = 2CE , AB : AD : AA1 =

1: 2 : 4 .证明 AF ? 平面 A1 ED
审题要津:本题空间坐标系易建立,可用坐标法.
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空间向量与立体几何

解析: 如图所示, 建立空间直角坐标系, A 为坐标原点, AB ? 1 ,依题意得 D(0, 2, 0) , 点 设

? 3 ? F (1, 2,1) , A1 (0, 0, 4) , E ? 1, , 0 ? ? 2 ?
已知 AF ? (1, 2,1) , EA1 ? ? ?1, ?

??? ?

????

? ?

??? ???? ? ??? ??? ? ? ? 3 ? ??? ? 1 ? , 4 ? , ED ? ? ?1, , 0 ? 于是 AF ·EA1 =0, AF ·ED 2 ? 2 ? ?

=0.因此, AF ? EA1 , AF ? ED ,又 EA1 ? ED ? E 所以 AF ? 平面 A1 ED 【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题,通常用向量法,先求出平面的法向量和直线 的方向向量, 证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两 条相交直线垂直,再用线面垂直判定定理即可. 例 3 (2010 年山东文)在如图所示的几何体中,四边形

ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA , E 、 且 F PB PC G 、 分别为 MB 、 、 的中点, AD ? PD ? 2MA . 求证:平面 EFG ? 平面 PDC .
审题要津:本题空间坐标系易建立,可用坐标法. 解析: A 为原点, 以 向量 DA , AB , AM 分别为 x 轴、 轴、 y

??? ??? ???? ? ? ?

z 轴的正方向,如图建立坐标系,设 AM=1,则 AD=AB=PD=2,
则 B(0,2,0),C( - 2,2,0),D( - 2,0,0),P( - 2,0,2), M(0,0,1),则 E(0,1,

1 ),G(-1,1,1),F(-2,1,1), 2

∴ EG =(-1,0,

??? ?

? 1 ??? ), GF =(-1,0,0),设平面 EFG 的法向量 m =( x , y , z ) ,则 2

???? ??? ? 1 EG ? m = ? x ? z =0 且 GF ? m = ?x =0,取 y =1,则 x = z =0,∴ m =(0,1,0), 2
??? ?
∵ m ? DA = 2 ? 0 ? 0 ?1 ? 0 ? 0 =0,

易证面 PDC 的法向量为 DA =(2,0,0),

??? ?

∴ m ⊥ DA ,

??? ?

∴平面 EFG ? 平面 PDC

【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题,常向量法,即先建立坐标系,求出两个平 面的法向量,通过证明这两个平面的法向量垂直,即得面面垂直. 考点 2.利用空间向量处理空间平行关系
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空间向量与立体几何

空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容,考查的形式灵活多 样,常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合,可以是小题,也可以是解答题的一个小 题,题目的难度一般不大,是高考中的得分点之一. 例 4(2010 湖南理 18)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E 是棱 DD1 的 中点。在棱 C1 D1 上是否存在一点 F,使 B1 F ∥平面 A1 BE ?证明你的 结论。 审题要津:本题坐标系易建立,可用向量法求解. 解析:以 A 为坐标原点,如图建立坐标系,设正方形的棱长为 2,则 B(2,0,0),E(0,2,1), A1 (0,0,2), B1 (2,0,2),

∴ BE =(-2,2,1), BA1 =(-2,0,2) , 设面 BEA1 的法向量为 m =( x , y , z ) ,则

??? ?

????

???? ??? ? 3 m ? BE = ?2 x ? 2 y ? z =0 且 m ? BA1 = 2 x ? 2 z =0,取 x =1,则 z =-1, y = ,∴ m =(1, 2
3 ,-1), 2
假设在棱 C1 D1 上存在一点 F,使 B1 F ∥平面 A1 BE ,设 F( x0 ,2,2)(0≤ x0 ≤2), 则 BF =( x0 ? 2 ,2,2) 则 m ? BF = 1? ( x0 ? 2) ? ,

??? ?

??? ?

3 ? 2 ? (?1) ? 2 =0, 2

解得 x0 =1, ∴当 F 为 C1 D1 中点时, B1 F ∥平面 A1 BE . 【点评】 对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法, 有两种思路: 用共面向量定理, (1) 证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来, 即这三个向量共线, 根 据共面向量概念和直线在平面外,可得线面平行; (2)求出平面法向量,然后证明法向量与 直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题,通常先假设成立,设出相关点的坐标,利用相 关知识,列出关于坐标的方程,若方程有解,则存在,否则不存在.注意, (1)设点的坐标 时, 利用点在某线段上, 设出点分线段所成的比, 用比表示坐标可以减少未知量, 简化计算;(2) 注意点的坐标的范围. 例 5 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱垂直于底面,在底面 ABC 中 ?ABC = 90 ,D 是 BC 上
0

一点,且 A1 B ∥面 AC1 D , D1 为 B1C1 的中点,求证:面 A1 BD1 ∥面 AC1 D . 审题要津:本题的坐标系容易建立,可用向量法. 解析: B 点为原点, 以 如图建立坐标系, AB= a , 2b ,BB1 设 BC=
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空间向量与立体几何

= c ,则 A( a ,0,0) C1 (0, 2b , c ), B1 (0,0, c ), A1 ( a ,0, c ), , , c ),设 D(0, y0 ,0)(0≤ y0 ≤ 2b )

∴ D1 (0, b ,

∴ AD =(- a , y0 ,0), AC1 =(- a , 2b , c ), BA1 =( a ,0, c ), BD1 =(0, b , c ) , 设面 AC1 D 的 法向量为 m =( x1 , y1 , z1 ) ,则 m ? AD = ?ax1 ? y0 y1 =0 且 m ? AC1 =

????

???? ?

????

???? ?

????

???? ?

?ax1 ? 2by1 ? cz1 =0,取 y1 = a ,则 x1 = y0 , z1 =
则 m =( y0 , a ,

ay0 ? 2ab , c

ay0 ? 2ab ) , c

又∵ A1 B ∥面 AC1 D ,

∴ m ? BA1 = ay0 ? c ?

????

ay0 ? 2ab ab =0,解得 y0 = b , ∴ m =( b , a , ? ) , c c

设面 A1 BD1 的法向量为 n =( x2 , y2 , z 2 ),则 n ? BA1 = ax2 ? cz2 =0 且 n ? BD1 = by2 ? cz2 =0, 取 z 2 =1,则 x2 = ?

????

???? ?

c c c c , y2 = ? ,则 n =( ? , ? ,1), a b a b
∴ m ∥n, ∴面 A1 BD1 ∥面 AC1 D .

∴ n= ?

c m, ab

【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路, (1)利用向量证明一个面内两条相交直 线分别与另一个平面平行,根据面面判定定理即得; (2)求出两个平面的法向量,证明这两 个法向量平行,则这两个面就平行. 考点 3 利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题 异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点,常与探索性 问题、平行问题、垂直等问题结合,重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定 理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力,是立体几何中的难点,难度为中档难度. 例 6(2010 天津理 19) 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 、F 分别是棱 BC , CC1 上的点,

CF ? AB ? 2CE , AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 (1)求异面直线 EF 与 A1 D 所成角的余弦值;
(2)求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值。 审题要津:本题坐标系易建立,可以向量法. 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设

? 3 ? AB ? 1,依题意得 D(0, 2,0) , F (1, 2,1) , A1 (0, 0, 4) , E ? 1, , 0 ? ? 2 ?

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空间向量与立体几何

??? ???? ? ? ? ??? ? 1 ? ???? ? ??? ???? ? ? EF ?A D 3 (1)证明:易得 EF ? ? 0, ,1? , A1 D ? (0, 2, ?4) ,于是 cos EF , A D ? ??? ???? ? ? , ? 1 ? 1 5 ? 2 ? EF A D 1
所以异面直线 EF 与 A1 D 所成角的余弦值为

3 5
??? 1 ? ??? ? 1 y ? z =0 且 n ? ED = ? x ? y =0, 2 2

(2)解: 设平面 EFD 的法向量 n = ( x, y, z ) , n ? EF = 则 不妨令 x =1,可得 n =(1,2,-1),

设平面 A1ED 的法向量 m =( m , n , p )则 m ? ED = ?m ? =0, 取 p =1,则 n =2, m =1,则 m =(1,2,1) 于是 cos n,m =

??? ?

???? ? 1 n =0 且 m ? DA1 = ?2n ? 4 p 2

n?m 2 5 = ,从而 sin n,m = , 3 |n || m | 3
5 3

所以二面角 A1 -ED-F 的正弦值为

【点评】 (1)对异面直线夹角问题,先求出两条异面直线的方向向量分别为 m 、 n ,在求 出 m 、 n 的夹角,设两异面直线的夹角 ? ,利用 cos ? = | cos m,n | 求出异面直线的夹角, 注意: (1)异面直线夹角与向量夹角的关系;(2)对二面角 ? ? l ? ? 的大小问题,先求出平 面 ? 、 ? 的法向量 m 、 n ,再求出 m 、 n 的夹角,在 ? 内取一点 A,在 ? 内取一点 B,设 二面角 ? ? l ? ? 大小为 ? ,若 n ? AB 与 m ? AB 同号,则 ? = m,n ,若 n ? AB 与 m ? AB 异号,则 ? = ? ? m,n ,注意二面角大小与法向量夹角的关系. 例 7 2010 全国卷 I 理 7) ( 正方体

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

ABCD- A1B1C1D1 中, B1 与 B

平面 AC D1 所成角的余弦值为 A
2 3

B

3 3

C

2 3

D

6 3

审题要津:本题是正方体中的线面关系问题,可用空间向量法求解. 解 析 : 如 图 建 立 坐 标 系 , 设 正 方 体 棱 长 为 1 , BB1 与 面 A C D 的 夹 角 为 ? , 则 1

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空间向量与立体几何

D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0), D1 (0,0,1), B1 (1,1,1), ∴ AC =(-1,1,0) ,

??? ?

???? ???? ? AD1 =(-1,0,1), BB1 =(0,0,1),
设面 ACD1 的法向量 n =( x , y , z ) ,则 0= AC ? n = ? x ? y 且 0= AD1 ? n = ?x ? z ,取 x

??? ?

???? ?

????? | BB1 ? n | 3 6 =1,则 y =1, z =1, ∴ n =(1,1,1) ,∴ sin ? = ????? = ,∴ cos? = ,故选 3 | BB1 | ? | n | 3
D. 【点评】对于线面夹角问题,若容易建立坐标系,则常用坐标法,建立坐标系,求出线面夹 角问题中三位直线的方向向量 m 和平面法向量 n ,设线面角为 ? ,则直线方向向量 m 在平 面法向量 n 方向上的投影的长度

|m?n| |m?n| 与直线方向向量 m 的模之 | m | 比 就是线 |n| | m || n |

面夹角的正弦值,即 sin ? =

|m?n| . | m || n |

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