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动画展示:直线与圆锥曲线的位置关系+免费


一知识与方法
直线与圆的位置关系: 1)相离 2)相切 3)相交
2)相切

几 何 角 度

直线与圆锥曲线的位置关系:
1)相离

没有交点
3)相交

有一个交点

有一个交点

有两个交点

x2 y 2 直线l绕着点(0,3)旋转过程中,与椭圆 ? ? 1 4 3

的交点情况如何?L的斜率变化情况如何?

y

l

3

-2 L2相切 L3相交

? 3

2

x

L4相切

x2 y 2 直线L绕着点(0,3)旋转过程中,直线L与双曲线 ? ? 1 4 3

的 交点情况如何?L的斜率变化情况如何?
L4 L3 y L2 3 L1

-2

2

x

直线L绕着点(-1,3)转过程中,直线L与抛物线
的交 点情况如何?L的斜率变化情况如何?
L 3 L2

y ? 4x
2

y L1

x

直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系: 2 2 x y 设直线与椭圆方程分别为: y=kx+m与 2 ? 2 ? 1: a b y=kx+m 联立方程组 2 2 2 2 2 2 消去y得: Ax2+Bx+C=0 b x +a y =a b 相离 (1)△>0 相交 (2)△=0 相切 (3)△<0

?

?

?

直线与圆锥曲线的位置关系
2.直线与双曲线的位置关系:

x y 设直线与双曲线方程分别为: y=kx+m与 2 ? 2 ? 1 : a b
(1)若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点. (2)若直线与渐近线重合, 则相离即没有交点. y=kx+m (3)若直线与渐近线相交,联立方程组 2 2 2 2 2 2 b x -a y =a b 消去y得: Ax2+Bx+C=0 故①△>0

2

2

? 相交

②△=0

?相切

③△<0

? 相离

直线与双曲线位置关系种类
Y

O

X

种类:相离;相切; 相交(0个交点,一个交点,一个交点或两个交点)

位置关系与交点个数
Y

相交:两个交点
相切:一个交点
O X

相离:0个交点
Y

O

X

若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点.

判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

3.直线与抛物线的位置关系: 设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:

(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点. y=kx+m (2)若直线与对称轴相交, 由 2 得: Ax2+Bx+C=0 y =2px 相离 相交 ②△=0 相切 ③△<0 故①△>0

?

?

?

yy

y

y

o o

F F

x x

o

F

x

o

F

x

3.直线与抛物线的位置关系: 设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:

(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点. y=kx+m (2)若直线与对称轴相交, 由 2 得: Ax2+Bx+C=0 y =2px 相离 相交 ②△=0 相切 ③△<0 故①△>0

?

?

?

所以“直线与抛物线或双曲线有一个 公共点是直线与抛物线或双曲线相切 的必要不充分条件”

把直线方程代入圆锥曲线方程

得到一元一次方程
抛物线, 直线与 对称轴平行 或重合

得到一元二次方程 计算判别式

双曲线, 直线与 渐近线平行

>0
相交

=0
相切

<0
相离

相交1

相交1

2

1

0

2. 弦:直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 焦点弦:若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦;

通径:若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴, 此时焦点弦也叫通径。
=

3.设直线 Ax+By+C=0 与圆锥曲线 f(x,y)=0 相交于 A(x1,

y1),B(x2,y2),则弦长
|AB|= 1+k |x1-x2|= (1+k )[(x1+x2) -4x1x2] = 1+ 2|y1-y2|= 1
2 2 2

k

(1+ 2)[(y1+y2) -4y1y2].

1

2

k

x2 y2 1.直线y=kx-k+1与椭圆 ? ? 1 的位置关系为( A 9 4
(A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定

)

2.已知双曲线方程x2-y2=1,过P(0,1)点的直线l与双曲线 只有一个公共点,则l的条数为( A ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

3.过点(0,1)与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线 条数是( D )
(A)0
y x

(B)1

(C)2

(D)3

y

0

x

0

(2009· 福建)已知双曲线

x2
12

- =1 的右焦点为 F, 若过点 F 的直线 4

y2

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围 (
? 3 3 3 3? ? )A.(- , ) B.(- 3, 3)C.?- , ?D. [- 3, 3] 3 3 3 3 ? ? ?

x2 y2 3 又由双曲线方程 - =1,有双曲线的渐近线方程为 y=± x, 12 4 3
3 3 ∴有- ≤k≤ . 3 3

? 答案:C

? 【例1】 已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一 个公共点,求实数a的值. ?y=(a+1)x-1, ?x=1, ? ? ? 分析:先用代数方法即联立方程组解决,再从几何上验 ? 解析: 联立方程组 (1)当 a=0 时, 此方程组恰有一组解为? ?y=0. ? ? 证结论.?y =ax.
2

a+1 2 (2)当 a≠0 时,消去 x,得 y -y-1=0. a a+1 ①若 =0,即 a=-1,方程变为一元一次方程-y-1=0, a
?x=-1, ? 方程组恰有一组解? ?y=-1. ?

②若

a+1 ≠0,即 a≠-1,令Δ=0, a

4(a+1) 4 得 1+ =0,可解得 a=- ,这时直线与曲线相切,只有一个公共点. a 5 4 综上所述知,当 a 为 0,-1,- 时, 5 直线 y=(a+1)x-1 与曲线 y2=ax 恰有一个公共点.

三、弦的中点问题

x y 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 2+ 2=1 上不同的两点, a b
?x y ? + =1, ?a b 且 x1≠x2, 1+x2≠0, (x0, 0)为 AB 的中点, ? 2 2 x M y 则 ? x2 y2 ?a2+b2=1. ?
2 1 2 2 1 2

2

2

b x0 y1-y2 y1+y2 b 两式相减可得 · =- 2,即 kAB=-a2y0 . x1-x2 x1+x2 a x2 y2 b 2 x0 类似的可得圆锥曲线为双曲线 2- 2=1 时,有 kAB= 2 . a b a y0
2

2

2px0
2 圆锥曲线为抛物线 y =2px(p>0)时,有 kAB= y0

.

x2 y2 ? ? 1 被点 求椭圆 9 4

Q(2,1)平分的弦 AB

所在的直线方程

.

已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆,它的中心在原点, 左焦点为 F (? 3,0) ,右顶点为 D(2,0) ,设点 A ?1, 1 ? ? ? 2? ? (1)求该椭圆的标准方程; 2)若 是椭圆上的动点,求线段PA 中点 的轨迹方程;

P

.

M

(3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C
求 ?ABC 面积的最大值。

过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆 +y =1 交于 P1,P2 两点,线段 P1P2 2 的中点为 P,设直线 m 的斜率为 k1(k1≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则

x2

2

k1k2 的值为

(

)

A.2

B.-2

解析:如图,设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),

1 C. 2

1 D.- 2

x1+x2 y1+y2 y1+y2 则 P1P2 的中点 P( , ),则 k2=kOP= , 2 2 x1+x2
2 x2 2 x2 2 x2 2 1 又因为 P1,P2 在椭圆 +y =1 上,所以有 +y1=1, +y2=1, 2 2 2 1

两式相减得 (x1+x2)(x1-x2)=-(y1+y2)(y1-y2), 2

y 1 - y2 1 x 1 + x2 即 =- · , x 1 - x2 2 y 1 + y2
1 1 则 k1=- ,即有 k1·k2=- , 2k2 2

x y 设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点. a b
若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意 一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时, 求证:kPM·kPN 是与点 P 位置无关的定值.

2

2

x2 y2 解析:设点 M(m,n)是椭圆 2+ 2=1①上的任一点, a b m2 n2 N(-m,-n)是 M 关于原点的中心对称点,则 2+ 2=1.② a b
又设 P(x,y)是椭圆上任一点,且 kPM·kPN 存在.

y-n y+n y - n y + n y 2 - n2 则 kPM= , kPN= ,∴kPM·kPN= · = 2 2. x-m x+m x-m x+m x -m

x2-m2 y2-n2 y2-n2 b2 ①-②,得 2 + 2 =0, 2 2=- 2, a b x -m a b2 ∴kPM·kPN=- 2. a
故 kPM·kPN 与 P 的位置无关.

(1)对归纳型问题,要通过观察、比较、分析、抽 象、概括、猜测来完成; (2)对存在性问题,从适合条件的结论存在入手, 找出一个正确结论即可.

已知椭圆 C 的两焦点 F1(-2 2,0)、F2(2 2,0). (1)当直线 l 过 F1 且与椭圆 C 交于 M、N 两点,且△MF2N 的周长 为 12 时,求 C 的方程; (2)在满足(1)的条件下,是否存在直线 m 过 P(0,2)点与椭圆 C 交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆过原点. 若存在,求直线 m 的方程;若不存在,说明理由.

解析:(1)由条件知 c=2 2,又△MF2N 的周长为 12, ∴12=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a.

x2 2 ∴a=3,b=1.∴椭圆的方程为 +y =1. 9

已知椭圆 C 的两焦点 F1(-2 2,0)、F2(2 2,0). (2)在满足(1)的条件下,是否存在直线 m 过 P(0,2)点与椭圆 C 交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆过原点. 若存在,求直线 m 的方程;若不存在,说明理由.

(2)设直线 m 的方程为 y=kx+2(k≠0 且 k 存在), ?y=kx+2, ? 2 联立方程组?x 解得 x2+9(kx+2)2=9, +y2=1, ?9 ? 即(1+9k2)x2+36kx+27=0.

∵直线 m 与椭圆交于 A、B 两点, 3 3 ∴Δ=(36k) -4×27(1+9k )>0,即 9k -3>0,∴k> 或 k<- .(*) 3 3
2 2 2

设 A、B 两点的坐标是 A(x1,y1),B(x2,y2), 36 27 则 x1+x2=- 2 ,x 1 ·x 2 = 2. 1+9k 1+9k 由于以 AB 为直径的圆过原点,∴x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0.

∴(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0, 27(1+k ) 72k2 31 即 2 - 2+4=0,解得 k=± 3 ,满足(*)式. 1+9k 1+9k ∴满足条件的直线 m 存在,且直线 m 的方程为: 31x-3y+6=0 或 31x+3y-6=0.
2

? 规律总结:探索性试题常见的题型有两类: 一是给出问题对象的一些特殊关系,要求解 题者探索出一般规律,并能论证所得规律的 正确性,通常要求对已知关系进行观察、比 较、分析,然后概括出一般规律.

?二是只给出条件,要求解题者论证在此条件下会不会出 ?现某个结论. ?这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、 ?“是否存在”等语句表述. ?解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在假设, ?然后由此肯定的假设出发,结合已知条件进行推理论证, ?若导致合理的结论,则存在性也随之解决;若导致矛盾, ?则否定了存在性.


直线与圆锥曲线的位置关系

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