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《导数及其应用》单元测试题(详细答案)


导数单元测试题 11.29
一、填空题 1.函数 f ( x) ? ?2?x? 的导数是_______
2

2.函数 f ( x) ? x ? e ? x 的一个单调递增区间是________ 3.若函数 f ( x) ? x 3 ? 3bx ? 3b 在 ?0,1? 内有极小值,则实数 b 的范围是_______ 4.若曲线 y ? x

4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为______ 5.曲线 y ? e x 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________ 6.设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是_______

2 7 .已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x ) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为________ f '(0)

x 2 ? ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 8.设 p : f ( x) ? e ? ln x ? 2x ? mx ? 1 在 (0,

______________条件 9. 函数 f ( x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( (A) 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2)
/ /



y

(B) 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2)
/ /

(C) 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2)
/ /

(D) 0 ? f (3) ? f (2) ? f (2) ? f (3)
/ /

O

1 2 3 4

x

10.函数 f ( x) ? x ln x 的单调递增区间是____.

11 .已知函数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在区间 [? 3, 3]上的最大值与最小值分别为 M , m ,则

M ? m ? __.
12.点 P 在曲线 y ? x ? x ?
3

2 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ? ,则 ? 的取值 3

范围是 13.设函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? x ? ? x2 ? 2 x ? f ? ?1? ,则 f ? ? 0 ? =_____ 14.已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为_______

二.解答题 15.已知 f ?x? ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。

16.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围. (2)若对于任意的 x ? [0,
2

17. 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 3. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围.

ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 4 x ? 1?a ? R ? 18.已知 f ( x) ? 3
(1)当 a ? ?1 时,求函数的单调区间。 (2)当 a ? R 时,讨论函数的单调增区间。 (3)是否存在负实数 a ,使 x ? ?? 1,0?,函数有最小值-3?

一、选择题
1. f ( x) ? ?2?x?2 ? 4? 2 x 2 ,? f ?( x) ? 2 ? 4? 2 x ? f ?( x) ? 8? 2 x ; 2. f ( x) ? x ? e ? x ?

x ? 1 ? x? ? e x 1? e x ? x ? e x , . ? ? 0,? x ? 1 选(A) f ?( x ) ? ? 2 ex ex ?e x ?2

? ?

3. f ?( x) ? 3x 2 ? 3b ? 3 x 2 ? b ,依题意,首先要求 b>0, 所以 f ?( x) ? 3 x ? b x ? b 由单调性分析, x ? b 有极小值,由 x ? b ? ?0,1? 得.

?

?

?

??

?

4.解:与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导数为 4,而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,

5.

e2 2

6.(D)

7. 2

8.必要不充分条件

9.B 设 x=2,x=3 时曲线上的点为 AB,点 A 处的切线为 AT 点 B 处的切线为 BQ,

T B A

f (3) ? f (2) ? k AB ? f (3) ? f (2) ? 3? 2

y

? f ?(3) ? k BQ , f ?(2) ? k AT ,
如图所示,切线 BQ 的倾斜角小于 直线 AB 的倾斜角小于 切线 AT 的倾斜角 Q O

?k BQ ? k AB ? k AT
10. ? , ?? ? 13, ?4 三、解答题 (1)

1 2 3 4

x

?1 ?e

? ?

11.32
14,a<-3 或 a>6

? ? ? 3? ? 12. ? ?0, ? ? ? , ? ?
? 2? ?4 ?

1? 8 ? 当 a ? ?3 时, f ?x ? ? ?3x ? 3x ? x ? 1 ? ?3? x ? ? ? 。 3? 9 ?
3 2

3

3 由函数 y ? x 在 R 上的单调性,可知当 a ? ?3 是,函数 f ?x ? 对 x ? R 为减函数。

(2) 当 a ? ?3 时,函数 f ?x ? 在 R 上存在增区间。所以,当 a ? ?3 时,函数 f ?x ? 在 R 上不是单调递减函数。 综合(1)(2)(3)可知 a ? ?3 。

16.解:(1) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b , 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .
1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (0, , 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1 3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (2,
所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以 解得

9 ? 8c ? c 2 ,
c ? ?1 或 c ? 9 ,

? 1) ? (9, ? ?) . 因此 c 的取值范围为 (??,
17.解(1) f ?( x) ? 6x ? 6x, f ?(2) ? 12, f (2) ? 7, ?????????2 分 17 ? 0 ;??4 分 ∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 ? 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ?
2

(2)记 g ( x) ? 2x ? 3x ? m ? 3, g ?( x) ? 6 x ? 6 x ? 6 x( x ?1)
3 2 2

令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1.

??????????????????????6 分

则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x (??, 0) 0 (0,1) (1, ??) 1 ? g ?( x ) 0 0 ? ? g ( x) 极大 极小 ? ? ? 当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . ? g (0) ? 0 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ? , ? g (1) ? 0

?????????10 分

?m ? 3 ? 0 , ? 3 ? m ? ?2 时, ?m ? 2 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .????14 分
即?

18.(1) x ? ?? ?,?2?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) 递减; x ? ?? 2,2?, f ( x ) 递增; (2)1、当 a ? 0,
2 ? x ? ?? ?,?2?, f ( x ) 递 增 ;2 、 当 a ? 0, x ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递 增 ;3 、 当 0 ? a ? 1, x ? ?? ?,2?, 或 ?a ?
2? ?2 ? ? x ? ? ,?? ?, f ( x ) 递增 ; 当 a ? 1, x ? ?? ?,???, f ( x ) 递增 ; 当 a ? 1, x ? ? ? ?, ?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) a a ? ? ? ?

递增; (3) 因 a ? 0, 由②分两类 (依据: 单调性, 极小值点是否在区间[-1,0]上是分类 “契机” : 3 2 ? 1、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, x ? ?? 1,0? ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递增, f ( x) min ? f (?1) ? ?3 ,解得 a ? ? ? ?2, 4 a a ? ? 2、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, 由单调性知: f ( x ) min ? f ( ) ? ?3 ,化简得: 3a 2 ? 3a ? 1 ? 0 ,解得 a a
a?

2

3 ? 3 ? 21 ? ?2, 不合要求;综上, a ? ? 为所求。 4 6


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