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2014-2015学年上学期高一期中联考数学题卷(二)

时间:2014-11-19


2014-2015 学年上学期高一期中联考数学题卷(二)
一、选择题:本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选项中,只有一项符 合题目要求。 1.设集合 M ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2}, N ? {n ? N | ?1 ? n ? 3} ,则 M B. {?1, 0,1} C. {0, 1, 2} D. {?1,

0, 1, 2}
N ?(

)A. {0,1}

2.已知集合 P ? {x 0 ? x ? 4} ,集合 N ? {y 0 ? y ? 2} ,下列从 P 到 Q 的各对应关系 f 不是函数的是 A. f : x ? y ? 3.已知点 M ( A. f ( x) ? x 2
1

(
1 1 2 x B. f : x ? y ? x C. f : x ? y ? x D. f : x ? y ? x 2 3 3

)

3 ,3) 在幂函数 f ( x) 的图象上,则 f ( x) 的表达式为 3





B. f ( x) ? x

?

1 2

C. f ( x) ? x2

D. f ( x) ? x?2 ( D. c ? b ? a ( D. (1, 2) ( ) ) )

4.设 a ? 70.3 , b ? log7 0.3, c ? 0.37 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b

5. 函数 f ( x) ? ex ? x ? 2 的零点所在的一个区间是 A. (?2, ?1) B.
(?1, 0)

C. (0,1)

6.函数 y ? log 1 ?4 x ? 3? 的定义域为
2

3 +?) A. ( , 4

B. [1 , +?)

3 C. ( ,1) 4

3 D. ( ,1] 4

7.函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ?1? x ? 2 在 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 8.函数 f ? x ? ? A. (??,1)
x



B. a ? ?3
1 的值域是 3 ?1 B. (0,1)

C. a ? 5

D. a ? 3 ( )

C. (1, ??)

D. (??,1) ? (1, ??) )

9.若函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a,3a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值为( A. 3 B.
3 9

C. 3 或

3 3

D. 3 或

3 9

10.已知函数 y ? x2 ? 2x ? 3 在区间 ?0, m? 上的最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值
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范围是 A. ?0, 2? B. ?1, 2? C.





? ??,2?

D. ?1, ?? ? ( )

11.函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 g ( x) ? 2? x?1 在同一直角坐标系下的图象大致是

12.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [0, ??) 上为增函数,若 f (log2 x) ? f (1) ,则 x 的取值范 围是 A. (2, ??) ( )

1 1 B. ( , 2) C. (0, ) ? (2, ??) D. (0,1) ? (2, ??) 2 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡中对应题号后

的横线上。

? ? 1 ?? ?lnx, x ? 0 13. 已知函数 f ? x ? ? ? x ,则 f ? f ? ? ? 的值是 ? ? e ?? ?3 ,x ?0

. .

14.函数 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 1 (a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 P ,则 P 点的坐标是 15.设奇函数 f ( x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ? [0,5] 时,
f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解集为



16 . 若 函 数 f ?x ? 同 时 满 足 : ① 对 于 定 义 域 上 的 任 意 x , 恒 有

f ?x ? ? f ?? x ? ? 0
②对于定义域上的任意 x1 , x 2 , 当 x1 ? x 2 时, 恒有 则称函数 f ?x ? 为“理想函数” 。 给出下列四个函数中:① f ?x ? ?
?? x 2 ④ f ?x ? ? ? 2 ? x

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0, x1 ? x2

2x ?1 1 ;② f ?x? ? x 2 ; ③ f ?x ? ? x ; x 2 ?1

x?0 ,能被称为“理想函数”的有_ x?0

_ (填相应的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (12 分)计算下列各式
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3

(1)

xy 2
4

6

x5

y3

(x>0,y>0) (结果用指数表示)

(2) log8 4 ? log 2 6 ? log 2 3 + log36?log69-lg100+

2

?

log 23

18. (本题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | a ?1 ? x ? 2a ? 3} , B ? {x | ?2 ? x ? 4} ,全集 U ? R (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 A ? B 和 (CR A) ? B ; (Ⅱ)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) x 已知函数 f ( x ) ? , x ?1 (1)用函数单调性定义证明: f ( x) 在 (?1, ??) 是增函数; (2)试求 f ( x) ?
2x 在区间 [1, 2] 上的最大值与最小值. 2x ? 1

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x? ?a ? 0, a ? 1? . (1)判断函数 f ?x ? 的奇偶性,并说明理由; (2)求使 f ?x ? ? 0 的 x 的取值范围.

21. (本题满分 12 分)

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某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投 资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) .

(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系; (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最 大收益为多少万元?

22.(本题满分 14 分) 设 a ∈R,函数 f ( x) ? x x ? a ? 2x . (1)若 a =2,求函数 f ( x) 在区间[0,3]上的最大值; (2)若 a >2,写出函数 f ( x) 的单调区间(不必证明) ; (3)若存在 a ∈[3,6],使得关于 x 的方程 f ( x) ? t ? 2a 有三个不相等的实数解,求实数 t 的取值范 围.

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参考答案

18.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, A ? {x |1 ? x ? 5} A ? B ? {x | ?2 ? x ? 5} , CR A ? {x | x ? ?1或x ? 5}

(CR A) ? B ? {x | ?2 ? x ? ?1} A ? B ? A ,? A ? B (Ⅱ) ①若 A ? ? ,则 a ? 1 ? 2a ? 3 解得 a ? ?4 ;
? a ? 1 ? 2a ? 3 ? A ? B 则 ? a ? 1 ? ?2 ? 2a ? 3 ? 4 ?

??6 分 ??8 分

②若 A ? ? ,

解得 ?1 ? a ?

1 2

1 综上: a 的取值范围是 (??, ?4] ? [ ?1, ] 2

??12 分

19. 证明: (1)任取 x1 , x2 ? (?1, ??), 且 x1 ? x2 , 则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ? x1 ? x2 1 1 1 1 ) ? (1 ? )? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) x1 , x2 ? (?1, ??), 且 x1 ? x2 , ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) 为 (?1, ??) 上的增函数。
(2)令 t ? 2x , 则 t ? [2, 4], 由(1)可知 g (t ) ?
2 则 f min ? g (2) ? , 3 4 f max ? g (4) ? . 5 t 在 [2, 4] 上为增函数, t ?1

??6 分

??12 分

?1 ? x ? 0 20.解: (1)? ? ,? ?1 ? x ? 1 , ?1 ? x ? 0
函数的定义域为 ?? 1,1? . ? f ( x) 的定义域关于原点对称 又 f ?? x? ? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x? ? ? f ?x? , (2)? f ?x? ? 0,? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x?
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??2 分 ??6 分

? f ?x ? 为奇函数.

当 0 ? a ? 1 时, 1 ? x ? 1 ? x,? ?1 ? x ? 0; 当 a ? 1 时, 1 ? x ? 1 ? x,? 0 ? x ? 1 . 综上可知:当 0 ? a ? 1 时, x 都范围是 (?1,0 ;当 a ? 1 时, x 都范围是 (0,1 ??12 分 ) ) 21. 解: (1)f(x)=k1x, , (x≥0) (2)设:投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 20﹣x 万元. (0≤x≤20) 令 ,则 = = , , (x≥0) ,

所以当 t=2,即 x=16 万元时,收益最大,ymax=3 万元

22.解: (1)当 a=2,x∈[0,3]时, 作函数图象,

可知函数 f(x)在区间[0,3]上是增函数. 所以 f(x)在区间[0,3]上的最大值为 f(3)=9. (2)

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①当 x≥a 时, 因为 a>2,所以 .



所以 f(x)在[a,+∞)上单调递增. ②当 x<a 时, 因为 a>2,所以 所以 f(x)在 . 上单调递增,在 上单调递减. 和[a,+∞) ,递减区间是[ ,a]. .

综上所述,函数 f(x)的递增区间是 (3) 当 3≤a≤6 时, 由 (1) 知f (x) 在 上是减函数, 当且仅当

和[a, +∞) 上分别是增函数, 在

? a ? 2? 2a ? t ? 2a ?
4
2

2

时,方程 f(x)=t+2a 有三个不相等的实数解.

即0?t ?

? a ? 2?
4



? a ? 2? g (a) ?
4

2

,g(a)在 a∈[3,6]时是增函数,

故 g(a)max=4. ∴实数 t 的取值范围是(0,4).

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