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7.5.1正弦函数的图像与性质


函 函数 数 7.5.1 正弦函数的图象和性质

函数 函数

单位圆与正弦线
在单位圆中,如何作出一个角的正弦线?

y

1

P

o

M

1

x

正弦线

MP

三角问题

几何问题

一、正弦函数的图象
利用正弦线作出 y ? sin x,x ? 0, 2π 的图象.
y

?

?

作法: (1) 等分; (2) 作正弦线;
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移; (4) 连线.
π 3
π 2

o1

M -1 1

A

o
-1 -

π 6

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

π 2?

x

-

-

-

-

正 弦 曲 线
由终边相同的角三角函数值相同,所以 y=sin x 的图象在 ? ,[-4 ? ,-2 ?] , [-2 ? ,0] , [0,2 ?] , [2? ,4 ?] , ? 与 y=sin x,x?[0,2 ?] 的图象相同 , 于是平移得正弦曲线 .
y
1-

? 6π
-

? 4π
-

? 2?
-

o-1



4?
-

6?
-

x

-

-

观察 y = sin x ,x?[ 0,2 ?] 图象的最高点、最低 点和图象与 x 轴的交点?坐标分别是什么?
y
1-

o
-1 -

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7? 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

π 2?

x

π 1); 图象的最高点: ( , 2

0),( π,0),(2 π ,0); 与 x 轴的交点: (0, 3π 图象的最低点: ( ,? 1) . 2

-

五点 作图法

五 点 作 图 法
列表:列出对图象形状起关键作用的五点坐标.
描点:定出五个关键点.

连线:用光滑的曲线顺次连结五个点.

例1 画出函数 y=1+sin x , x?[0,2 ?] 的简图.

解 列表

x
sin x 1 ? sin x
y
21-

0 0

π 2

π
0

3π 2



1 2

?1

0

1

1

0

1

描点作图

y ? 1 ? sin x,x ?[0, 2 π]

?1 -

o

π 2

π

3π 2



x

y ? sin x,x ?[0, 2 π]

例2 画出函数 y=-sin x , x?[0,2 ?] 的简图. 解 列表: x

0 0
0 y 1 0
? 2

?
2

?
0
0

3? 2

2?

y=sin x
y=-sinx 描点得y=-sin x 的图象

1
-1

-1
1

0
0

y=sin x x∈[0,2π]
3? 2

2 . . π . . . -1

π x

y=-sin x x∈[0,2π]

用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]的图。 (1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1; (3)y=3sin x.
y 3 2 y=2+sin x x∈[0,2π]

1
2 . . π . . . 0
? 2
3? 2

π x

-1

y=sin x -1 x∈[0,2π]

y=sin 3x x∈[0,2π]

二、正弦函数的性质
观察正弦曲线,得出正弦函数的性质:
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

定义域

x?R

(1) 值域 [ -1, 1 ]
π x ? ? 2kπ(k ? Z ) 2
时,取最大值1;

π x ? ? ? 2kπ(k ? Z ) 时,取最小值-1; 2

周期的概念
一般地,对于函数 f (x),如果存在一个非零 常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f ( x+T )= f (x),那么函数 f (x) 就叫做周期 函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.

对于一个周期函数,如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期.

(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x+k · 2 ?)=sin x (k?Z) 可知:

正弦函数是一个周期函数,2? ,4? ,? ,-2? ,
-4? ,? , 2k ?(k?Z 且 k≠0)都是正弦函数的周期. 2 ? 是其最小正周期 .

(3) 正弦函数的奇偶性
由公式 sin(-x)=-sin x 正弦函数是奇函数.

图象关于原点成中心对称 .
y
1

-3?

?

5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

x
π 2

?

3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

(4) 正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x sinx
? π 2



0 0



π 2



? 0



3π 2

-1

1

-1

π? π π π, ?? ? ? ? ? ? ? 2 k π, ? 2 k π ?, k ? Z 上, 是增函数; ?2 2 2? 2 在闭区间 ? ? ? π 3π3 ? π π ? ? , ? ? ? ? 2 k π, ? 2 k π , k ? Z 上,是减函数. 在闭区间 ? ? 2 2 ? ? 2 y ? ?2
1

-3?

?

5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

π 2

x
?
3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

例 2 求使函数 y=2+sin x 取最大值、最小值 的 x 的集合,并求出这个函数的最大值, 最小值和周期 T .



y
2-

y ? 2 ? sin x,x ? [0,2 π]

1-

? 1-

o

y ? sin x,x ?[0, 2 π]

π 2

π

3π 2



x

π x ? ?x x ? ? 2kπ, k ? Z ?时,y max ? 2 ? (sin x) max ? 2 ? 1 ? 3, 2 π ? x ? x x ? ? ? 2kπ, k ? Z ?时,y min ? 2 ? (sin x) min ? 2 ? 1 ? 1. 2

T ? 2π.

例 3 不通过求值,比较下列各对函数值的大小: π π 3π 2π ? . (1) sin( ) 和sin(? ); (2) sin 和 sin 4 18 3 10 π π π π ? < ? < ? < , 解 (1) 因为 2 10 18 2
π π 且 y =sin x 在[ ? 2 ,2 ] 上是增函数.

所以 sin( ? (2) 因为

π 2π 3π < < <π , 2 3 4

π π )<sin( ? ) . 10 18

且 y =sin x 在 [ 所以 sin
2π 3

π ,π ] 上是减函数, 2
3π 4

> sin



1 . 正弦函数的图象. 2 .“五点法”作图.

3 . 正弦函数的性质.


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