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双曲线的几何性质


再长的路,一步步也能走完, 再短的路,不迈开双脚也无法到达

双曲线的几何性质
? 范围

? 对称性
? 顶点

? 离心率
? 渐近线

一、回顾旧知,夯实基础
请大家回忆椭圆的性质,回忆不起来的同学,请查看 教材,也可以同桌相互讨论,完成下表。

>标准方程 图 象 范围 对称性 顶点 长轴短轴 离心率
x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲 线,那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢?

1、范围: 2、对称性: 3、顶点: 4、离心率:

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

2

2

F1

o

F2

x

参照椭圆,请大家认真阅读课本完成下表

二、阅读交流,探索新知 认真阅读课本P40—P41,独立完成下表
性质 曲线 椭圆
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

双曲线

标准方程

图 形
范围 对称性
x ? a, y ? b
对称轴:x轴, y轴 中心:原点

顶点
离心率
e?

(?a,0), (0,?b)
0<e<1, e越小,椭圆越圆

c a

e越大,椭圆越扁

知识分解,消化吸收



x2 y2 研究双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的简单几何性质 a b
y (-x,y) -a (-x,-y) o a (x,-y) (x,y)

1、范围 2 x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ? a

x

2、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称。

x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是A1 (?a,0)、A2 (a,0)
( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 ( 3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
y b

B2
o a A2 x

A1 -a

-b B 1

x 2 ? y 2 ? m ( m ? 0)

4、渐近线
双曲线在第一象限内部 分的方程为 b 2 y? x ? a 2 ( x ? 0) a b 它与y ? x的位置关系 : a b 在y ? x的下方 a
b 它与y ? x的位置的变化趋势 : a
y b N(x,y’) Q M(x,y)

B2

A1

o

A2
a x

B1

慢慢靠近

b y?? x a

b y? x a

如果我是双曲线, 你就是那渐近线. 如果我是反比例函数, 你就是那坐标轴. 虽然我们有缘, 能够生在同一个平面. 然而我们又无缘, 慢慢长路无交点. 为何看不见, 等式成立要条件. 难到正如书上说的, 无限接近不能达到.

4、渐近线
2 2 x y 双曲线在第一象限内部 分的方程为 (1)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) b 2 a2 b y? x ? a ( x ? 0) b a 的渐近线为 y?? x a b

y b

N(x,y’) Q M(x,y)

y ? x的位置关系 : (它与 2)利用渐近线可以较准确的画 a A1 b 出双曲线的草图 在y ? x的下方 a (3)渐近线的求法 b 2 2 x y 它与y ? x的位置的变化趋势 : 令 a ? 2 ? 0即可求出 2 a b b 慢慢靠近 b y?? x 渐近线为y ? ? x a a

B2

o

A2
a x

B1

b y? x a

5、离心率
c 双曲线的焦距与实轴长的比e ? , 叫做 (1)定义: a 双曲线的离心率。

(2)e的范围:

? c>a>0 ?

e >1
y
B2 A1 O

(3)离心率e与双曲线的图形变化的联系?

c a 2 ? b2 b 2 e? ? ? 1? ( ) a a a
e越大,渐近线斜率越大, 倾斜角越大,张口越大 e越小,渐近线斜率越小, 倾斜角越小,张口越小

b A2 a
B1

x

二、阅读交流,探索新知 认真阅读课本P40—P41,独立完成下表
性质 曲线 椭圆
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

双曲线
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

标准方程

图 形
范围 对称性
x ? a, y ? b

B2
F1

A1

o

A2
B1

F2

x

x ? a, y ? R

对称轴:x轴, y轴 中心:原点 对称轴:x轴, y轴 中心:原点

顶点
离心率
e?

(?a,0), (0,?b)
0<e<1, e越小,椭圆越圆

(? a,0)
c e? e越大,开口越大 a
e>1, e越小,开口越小

c a

e越大,椭圆越扁



y2 x2 研究双曲线 a 2 ? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的简单几何性质

(1)范围:

y ? a, y ? ?a

y

(2)对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称 (3)顶点: (0,-a)、(0,a)
a (4)渐近线: y ? ? x b
-b

a
o b x

-a

(5)离心率:

e?

c a

知识整理,加深理解
标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

图形 焦点 范围 对称性 顶点

离心率
渐近线

知识整理,加深理解
标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

图形 焦点 范围 对称性 顶点

(c,0)

(-c,0)

(0,c)

(0,-c)

x ? a, y ? R
对称轴:x轴, y轴

y ? a, x ? R
对称中心:原点

(? a,0)
b y?? x a

(0,? a)
a y?? x b

离心率
渐近线

e>1, e越大,张口越大;e越小,张口越小

三、广泛应用,升华智能
例1 求下列双曲线的实轴和虚轴的长、焦距、离心率 和渐近线方程: (1)x 2 ? y 2 ? ?4
(2)9 x 2 ? y 2 ? 81

x2 y2 y2 x2 (3) ? ? 1 (4) ? ?1 16 25 25 9

例2 求双曲线的标准方程: (1)实轴长是10,虚轴长是8,焦点在x轴上; (2)离心率 e ? 2 ,经过点M(-5,3);
2 (3)渐近线方程为 y ? ? x ,经过点M 3
9 ( , ?1) 2

知识拓展:
“共渐近线”的双曲线的应用

x y 与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系 a b 2 2 x y 方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线; λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

2

2

4、渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为 b 2 y? x ? a 2 ( x ? a) a 设M ( x, y )是双曲线上的点, b 则y ? x 2 ? a 2 ( x ? a) A1 a b N ( x,y ')是直线y ? x a b 上的点,则y ' ? x a
y b N(x,y’) Q M(x,y)

B2

o

A2
a x

B1

b 2 b a 2 b 2 ?y ? x ? a ? x 1? ( ) ? x ? y ' a a x a

4、渐近线
b b 2 2 MN ? y '? y ? x ? x ?a ) a a b 2 2 ? (x ? x ? a ) a
y b
B2

N(x,y’) Q M(x,y)

b ( x ? x 2 ? a 2 )(x ? x 2 ? a 2 ) ? ? 2 2 a x? x ?a

A1

o
B1

A2
a x

?

ab x ? x2 ? a2

b y?? x a

b y? x a


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