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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第九篇 解析几何第9讲 曲线与方程)

时间:2012-06-19


第9讲 曲线与方程

【2013年高考会这样考】 1.考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 2.利用直接法或定义法求轨迹方程. 3.结合平面向量知识能确定动点轨迹,并会研究轨迹的有关 性质. 【复习指导】 正确理解曲线与方程的概念,会用解析几何的基本思想和坐标 法研究几何问题,用方程的观点实现几何问题的代数化解决, 并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨

迹方程,常用方 法有:直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等。

基础梳理 1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二 元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 .那么这个方 程叫做 曲线的方程 ,这条曲线叫做 方程的曲线 .

2.直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一 点M的坐标. (2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}. (3)用坐标表示条件p(M),列出方程 f(x,y)=0 . (4)化方程f(x,y)=0为最简形式. (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个 曲线方程的 公共解,即两个曲线方程组成的方程组的实数解; 反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几个交点,方程 组 无解 ,两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的 充要 条件是它们的方程所组成的方程组 有实数解.可见,求曲线的交点问题,就是求由它们的方程所 组成的方程组的实数解问题.

一个主题 通过坐标法,由已知条件求轨迹方程,通过对方程的研究,明 确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任 务,是解析几何的核心问题,也是高考的热点之一. 四个步骤 对于中点弦问题,常有的解题方法是点差法,其解题步骤为: ①设点:即设出弦的两端点坐标; ②代入:即代入圆锥曲线方程; ③作差:即两式相减,再用平方差公式把上式展开; ④整理:即转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解.

五种方法 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0; (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程——先根 据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数; (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再 由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

(4)代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化 而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代 数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程; (5)参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也 没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表 示,得参数方程,再消去参数得普通方程.

双基自测 1.f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系, 在曲线f(x,y)=0上,又P(x0, ).

∵f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)

y0)在曲线f(x,y)=0上时,有f(x0,y0)=0, ∴f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件. 答案 C

2.(2012· 泉州质检)方程x2+xy=x的曲线是( A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 解析 方程变为x(x+y-1)=0, ∴x=0或x+y-1=0. 故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0. 答案 C

).

3.(2012· 合肥月考)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动 点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|= |MQ|,则Q点的轨迹方程是( A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 解析 由题意知,M为PQ中点,设Q(x,y),则P为(-2-x,4 -y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0. 答案 D ).

4.(2012· 福州模拟)若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的 距离小1,则点P的轨迹为( A.圆 C.双曲线 B.椭圆 D.抛物线 ).

解析 依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距 离,故点P的轨迹是抛物线. 答案 D

5.(2011· 北京)曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的 距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论: ①曲线C过坐标原点; ②曲线C关于坐标原点对称; 1 2 ③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于2a . 其中,所有正确结论的序号是________.

解析 设动点M(x,y)到两定点F1,F2的距离的积等于a2,得 曲线C的方程为 ?x+1?2+y2· ?x-1?2+y2=a2, ∵a>1,故原点坐标不满足曲线C的方程,故①错误.以- x,-y分别代替曲线C的方程中的x、y,其方程不变,故曲线 1 C关于原点对称,即②正确.因为S△F1PF2= |PF1||PF2|sin∠ 2 1 1 2 1 2 F1PF2≤ |PF1||PF2|= a ,即面积不大于 a ,所以③正确. 2 2 2 答案 ②③

考向一

直接法求轨迹方程

【例1】?已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O′的方程是x2+ y2-8x+10=0,如图所示.由动点P向⊙O和⊙O′所引的切 线长相等,求动点P的轨迹方程. [审题视点] 由已知条件找出等量关系,直接写出P点坐标满足 的等式化简即得轨迹方程.

解 设P(x,y),由圆O′的方程为(x-4)2+y2=6,及已知|AP| =|BP|,故|OP|2-|AO|2=|O′P|2-|O′B|2,则|OP|2-2= |O′P|2-6. ∴x2+y2-2=(x-4)2+y2-6, 3 3 ∴x=2,故动点P的轨迹方程是x=2.

直接法求曲线方程的一般步骤: (1)建立恰当的坐标系,设动点坐标(x,y); (2)列出几何等量关系式; (3)用坐标条件变为方程f(x,y)=0; (4)变方程为最简方程; (5)检验,就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性.

【训练1】 如图所示,过点P(2,4)作互相 垂直的直线L1,L2.若L1交X轴于A,L2交Y 轴于B,求线段AB中点M的轨迹方程. 解 设点M的坐标为(X,Y),

∵M是线段AB的中点, ∴A点的坐标为(2X,0),B点的坐标为(0,2Y). → → ∴PA=(2X-2,-4),PB=(-2,2Y-4). → → 由已知PA· =0,∴-2(2X-2)-4(2Y-4)=0, PB 即X+2Y-5=0. ∴线段AB中点M的轨迹方程为X+2Y-5=0.

考向二

定义法求轨迹方程

【例2】?一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2- 6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么 曲线. [审题视点] 程. 由曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方

解 如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的 圆心分别为O1、O2,将圆的方程分别配方得:(x+3)2+y2= 4, (x-3)2+y2=100, 当动圆与圆O1相外切时, 有|O1M|=R+2.① 当动圆与圆O2相内切时,有|O2M|=10-R.② 将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|, ∴动圆圆心M(x,y)到点O1(-3,0)和O2(3,0)的距离和是常数 12,

所以点M的轨迹是焦点为O1(-3,0)、O2(3,0), 长轴长等于12的椭圆. ∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27, x2 y2 ∴圆心轨迹方程为36+27=1,轨迹为椭圆.

在利用圆锥曲线定义求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥 曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程,若所 求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹,则利用圆锥曲线的 定义列出等式,化简求得方程,同时注意变量范围.

【训练2】 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9, 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 解 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B, 根据两圆外切的充要条件,得 |MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|, 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2,且小于 |C1C2|=6.

根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的 距离大,到C1的距离小),这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的 y2 坐标为(x,y),其轨迹方程为x2- 8 =1(x≤-1).

考向三 参数法、相关点法求轨迹方程 【例3】?已知抛物线y2=4px(p>0),O为顶点,A,B为抛物线上 的两动点,且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M点,求点M的轨 迹方程. [审题视点] 设出m点的坐标(x,y)后,直接找x,y的关系式不好 求,故寻求其他变量建立x,y之间的联系.

解 设M(x,y),直线AB方程为y=kx+b. x 由OM⊥AB得k=-y. 由y2=4px及y=kx+b消去y,得 b2 k2x2+x(2kb-4p)+b2=0.所以x1x2=k2. 4pb 消去x,得ky -4py+4pb=0.所以y1y2= k .
2

由OA⊥OB,得y1y2=-x1x2, 4pb b2 所以 k =-k2,b=-4kp.

故y=kx+b=k(x-4p). x 把k=-y代入,得x2+y2-4px=0(x≠0). 即M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0).

在一些很难找到形成曲线的动点P(x,y)的坐标x,y所满足的 关系式的情况下,往往借助第三个变量t,建立t和x,t和y的关 系式x=φ(t),y=x(t),再通过一些条件消掉t就间接找到了x和y 所满足的方程,从而求出动点P(x,y)所形成的曲线的普通方 程.

【训练3】 如图所示,从双曲线x2-y2 =1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂 足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程. 解 设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则N点的 坐标为(2x-x1,2y-y1). ∵点N在直线x+y=2上, ∴2x-x1+2y-y1=2,① 又∵PQ垂直于直线x+y=2. y-y1 ∴ =1,即x-y+y1-x1=0,② x-x1

3 1 ? ?x1=2x+2y-1, 由①、②联立,解得? ?y1=1x+3y-1. 2 2 ? 又Q在双曲线x2-y2=1上,
2 ∴x1-y2=1, 1

?3 ? ?1 ? 1 3 2 即?2x+2y-1? -?2x+2y-1?2=1, ? ? ? ?

整理得2x2-2y2-2x+2y-1=0, 这就是所求动点P的轨迹方程.

规范解答18——如何解决求曲线的方程 【问题研究】 曲线与方程是解析几何的一条主线,虽然高考 对曲线与方程的要求不是很高,但在高考中也经常会有一些试 题是以建立曲线方程作为切入点命制的.从近几年的高考试题 中可以发现,无论客观题还是主观题都有曲线与方程的命题 点.

【解决方案】 首先,要深入理解求曲线的轨迹方程的各种方 法及其适用的基本题型,注意参数法和交轨法的应用.其次, 求出轨迹方程时要注意检验,多余的点要扣除,而遗漏的点要 补上,再次,要明确圆锥曲线的性质,选相应的解题策略和拟 定具体的解题方法,如参数的选取,相关点变化的规律及限制 条件等.

【示例】?(本小题满分12分)(2011· 天津)在平面直角坐标系xOy x2 y2 中,点P(a,b)(a>b>0) 为动点,F1、F2分别为椭圆 2+ 2=1 a b 的左、右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率e; (2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点, 满足AM · =-2,求点M的轨迹方程. BM

→ →

第(1)问设出焦点坐标,根据|PF2|=|F1F2|列出等式,解方程即 可求得;第(2)问根据题意设出A,B两点坐标,代入关系式 → → AM· =-2即可求得点M的轨迹方程. BM 解 (1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).

由题意,可得|PF2|=|F1F2|, 即 ?a-c?2+b2=2c,
?c? c ? ?2+ -1=0, 整理,得2 a a ? ?

c c 1 得 =-1(舍),或 = . a a 2 1 所以e= .(4分) 2

(2)由(1)知a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2, 直线PF2的方程为y= 3(x-c).
?3x2+4y2=12c2, ? A,B两点的坐标满足方程组? ?y= 3?x-c?. ?

8 消去y并整理,得5x -8cx=0,解得x1=0,x2= c. 5
2

8 ? ?x =0, ?x2=5c, ? 1 ? 得方程组的解? ?y1=- 3c, ? ?y2=3 3c. 5 ?
?8 3 3 ? ? ? ? 不妨设A? c, c?,B??0,- 5 ? ?5

(6分)

3c???.

→ ? 8 3 3 ? ? ? 设点M的坐标为(x,y),则AM=?x- c,y- c?, 5 5 ? ? → BM=(x,y+ 3c). 3 由y= 3(x-c),得c=x- y. 3
?8 3 → 3 8 3 3 ? ? ? 于是AM =? ,BM =(x, 15 y-5x,5y- 5 x? ? ?



3x).(8分)

18x2-16 3xy-15=0(x>0).(12分)

→ → 由AM· =-2, BM
?8 3 ?8 3 ? 3 3 ? ? ? ? ? 即? x+ y-5x?· ?5y- 5 x?· 3x=-2, ? 15 ? ? ?

化简得18x2-16 3xy-15=0.(10分) 18x2-15 10x2+5 3 将y= 代入c=x- 3 y,得c= 16x >0.所以x>0. 16 3 因此,点M的轨迹方程是 18x2-16 3xy-15=0(x>0).(12分)

代入法求曲线方程的难点是建立x,y,x0,y0所满足的两个关 系式,这需要根据问题的具体情况,充分利用已知条件列出关 系式,一般需要找到两个互相独立的条件建立两个方程,通过 这两个方程所组成的方程组用x,y表达x0,y0.

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