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指数函数对数函数专练习题(含答案)


指数函数及其性质
1.指数函数概念 一般地,函数 数的定义域为 . 2.指数函数函数性质: 函数名称 定义 函数 指数函数 且 叫做指数函数 叫做指数函数,其中 是自变量,函

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 变化对 在第一象限内,从逆时针方向看图象, 逐渐增大;在第二象限 在 上是增函数 图象过

定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

图象的影 内,从逆时针方向看图象, 逐渐减小. 响

对数函数及其性质
1.对数函数定义 一般地,函数 函数的定义域 2.对数函数性质: 函数名称 定义 函数 对数函数 且 叫做对数函数 . 叫做对数函数,其中 是自变量,

图象

定义域 值域

过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 变化对 在

图象过定点

,即当 非奇非偶

时,

.

上是增函数



上是减函数

在第一象限内,从顺时针方向看图象, 逐渐增大;在第四象限 图象的影 内,从顺时针方向看图象, 逐渐减小. 响

指数函数习题
一、选择题 1.定义运算 a?b=? ( )
?a ?

?a≤b?

? ?b?a>b?

,则函数 f(x)=1?2x 的图象大致为

2. 函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3, 则 f(bx) 与 f(cx)的大小关系是( )

A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)>f(cx) D.大小关系随 x 的不同而不同 3.函数 y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则 k 的取值范围 是( ) B.(-∞,1) D.(0,2)

A.(-1,+∞) C.(-1,1)

4 . 设 函 数 f(x) = ln[(x - 1)(2 - x)] 的 定 义 域 是 A ,函数 g(x) = lg( ax-2x-1)的定义域是 B,若 A?B,则正数 a 的取值范围( A.a>3 C.a> 5 B.a≥3 D.a≥ 5 若数列 {an} 满足 an = ) )

? ??3-a?x-3,x≤7, 5 .已知函数 f(x) = ? x-6 ?a ,x>7. ?

f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数 a 的取值范围是(
9 A.[ ,3) 4 C.(2,3) 9 B.( ,3) 4 D.(1,3)

1 6.已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x2-ax,当 x∈(-1,1)时,均有 f(x)< , 2 则实数 a 的取值范围是( 1 A.(0, ]∪[2,+∞) 2 1 C.[ ,1)∪(1,2] 2 ) 1 B.[ ,1)∪(1,4] 4 1 D.(0, )∪[4,+∞) 4

二、填空题 7.函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 2 的值是________. 8.若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是 ________. 9.(2011·滨州模拟)定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知 函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,2],则区间[a,b]的长度的 最大值与最小值的差为________.

a

三、解答题 10.求函数 y= 2?
? x2 ? 3 x ? 4

的定义域、值域和单调区间.

11.(2011·银川模拟)若函数 y=a2x+2ax-1(a>0 且 a≠1)在 x∈[- 1,1]上的最大值为 14,求 a 的值.

12.已知函数 f(x)=3x,f(a+2)=18,g(x)=λ·3ax-4x 的定义域为

[0,1]. (1)求 a 的值; (2)若函数 g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数, 求实数 λ 的取值范围.

? ?a ?a≤b? 1.解析:由 a?b=? ?b?a>b? ?

x ? ?2 ?x≤0?, 得 f(x)=1?2 =? ?1 ?x>0?. ? x

答案:A 2. 解析:∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为直线 x=1,由此 得 b=2. 又 f(0)=3,∴c=3.∴f(x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递 增. 若 x≥0,则 3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x). 若 x<0,则 3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x). ∴f(3x)≥f(2x). 答案:A 3.解析:由于函数 y=|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞) 内单调递增,而函数在区间(k-1,k+1)内不单调,所以有 k-1<0<k +1,解得-1<k<1. 答案:C

4. 解析:由题意得:A=(1,2),ax-2x>1 且 a>2,由 A?B 知 ax-2x>1 在(1,2)上恒成立,即 ax-2x-1>0 在(1,2)上恒成立,令 u(x)=ax- 2x-1,则 u′(x)=axlna-2xln2>0,所以函数 u(x)在(1,2)上单调递 增,则 u(x)>u(1)=a-3,即 a≥3. 答案:B 5. 解析:数列{an}满足 an=f(n)(n∈N*),则函数 f(n)为增函数,

a>1 ? ? 注意 a >(3-a)×7-3,所以?3-a>0 ? ?a >?3-a?×7-3
8-6 8-6

,解得 2<a<3.

答案:C 1 1 1 1 6. 解析: f(x)< ?x2-ax< ?x2- <ax, 考查函数 y=ax 与 y=x2- 的 2 2 2 2 图象,

1 当 a>1 时,必有 a-1≥ ,即 1<a≤2, 2 1 1 当 0<a<1 时,必有 a≥ ,即 ≤a<1, 2 2 1 综上, ≤a<1 或 1<a≤2. 2 答案:C

a 3 7. 解析: 当 a>1 时, y=ax 在[1,2]上单调递增, 故 a2-a= , 得 a= . 2 2

a 1 当 0<a<1 时,y=ax 在[1,2]上单调递减,故 a-a2= ,得 a= .故 a= 2 2
1 3 或 . 2 2 1 3 答案: 或 2 2 8. 解析:分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参 数的取值范围.

曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可得:如果|y| =2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1]. 答案:[-1,1] 9. 解析:如图满足条件的区间[a,b],当 a=-1,b=0 或 a=0,

b=1 时区间长度最小,最小值为 1,当 a=-1,b=1 时区间长度最
大,最大值为 2,故其差为 1. 答案:1 10. 解: 要使函数有意义,则只需-x2-3x+4≥0,即 x2+3x-4≤0, 解得-4≤x≤1. ∴函数的定义域为{x|-4≤x≤1}. 3 25 令 t=-x2-3x+4,则 t=-x2-3x+4=-(x+ )2+ , 2 4 ∴当-4≤x≤1 时,tmax= 25 3 ,此时 x=- ,tmin=0,此时 x=-4 或 4 2

x=1.
25 5 ∴0≤t≤ .∴0≤ -x2-3x+4≤ . 4 2 ∴函数 y= ( )?
1 2
? x2 ? 3 x ? 4

的值域为[

2 ,1]. 8

3 25 由 t=-x2-3x+4=-(x+ )2+ (-4≤x≤1)可知, 2 4 3 当-4≤x≤- 时,t 是增函数, 2 3 当- ≤x≤1 时,t 是减函数. 2 根据复合函数的单调性知:

y= ( )?

1 2

? x2 ? 3 x ? 4

3 3 在[-4,- ]上是减函数,在[- ,1]上是增函数. 2 2

3 3 ∴函数的单调增区间是[- ,1],单调减区间是[-4,- ]. 2 2 11. 解:令 ax=t,∴t>0,则 y=t2+2t-1=(t+1)2-2,其对称轴 为 t=-1.该二次函数在[-1,+∞)上是增函数. 1 ①若 a>1,∵x∈[-1,1],∴t=ax∈[ ,a],故当 t=a,即 x=1 时,

a

ymax=a2+2a-1=14,解得 a=3(a=-5 舍去).
②若 0<a<1,∵x∈[-1,1], 1 1 ∴t=ax∈[a, ],故当 t= ,即 x=-1 时,

a

a

ymax=( +1)2-2=14. a
1 1 ∴a= 或- (舍去). 3 5

1

1 综上可得 a=3 或 . 3 12. 解:法一:(1)由已知得 3a+2=18?3a=2?a=log32. (2)此时 g(x)=λ·2x-4x, 设 0≤x1<x2≤1, 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, 所以 g(x1)-g(x2)=(2x1-2x2)(λ-2x2-2x1)>0 恒成立,即 λ<2x2+ 2x1 恒成立. 由于 2x2+2x1>20+20=2, 所以实数 λ 的取值范围是 λ≤2. 法二:(1)同法一. (2)此时 g(x)=λ·2x-4x, 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, 所以有 g′(x)=λln2·2x-ln4·4x=ln2[-2· (2x)2+λ· 2x]≤0 成立. 设 2x=u∈[1,2],上式成立等价于-2u2+λu≤0 恒成立. 因为 u∈[1,2],只需 λ≤2u 恒成立, 所以实数 λ 的取值范围是 λ≤2.

对数与对数函数同步练习

一、选择题 1、已知 3
A、 a ? 2
3a ? a 2
a

? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是(

) D、

B 、 5a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)2

2、 2log (M ? 2N ) ? log
a

a

M ? loga N ,则

M N

的值为(

) C、1

A、 1

4

B、4
? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0 ,且 loga (1? x )? m , log a

D、4 或 1 3 、已知 x 于( A、 m? n
1 ?m ? n? 2
2

1 y ?n则 , log a 等 1? x

) B、 m?n
1 C、 ?m ? n? 2

D、

4、 如果方程 lg 的值是( A 、 lg 5 lg 7 D、
1 35
7

2

x ? (lg5 ? lg 7)lg x ? lg5 lg 7 ? 0 的两根是 ? , ?

, 则? ? C 、 35

) B 、 lg 35
2 x)] ? 0 ,那么 x
? 1 2

5、已知 log [log (log
3

等于(

) C、
1 2 2

A、 1 D、
1

3

B、

1 2 3

3 3

6、函数 y ? lg ? ? A、 x 轴对称

2 ? ? 1? 的图像关于( ? 1? x ?

) C、原点对称

B、 y 轴对称

D、直线 y ? x 对称 7、函数 y ? log
? ?
(2 x ?1)

3x ? 2 的定义域是(
?


1 ? B、 ? ? ,1? ?1, ?? ? 2 ? 1 ? D、 ? ? , ?? ? ?2 ?

2 ? A、 ? ? ,1? ?1, ?? ? 3 2 ? C、 ? ? , ?? ? ?3 ?
1 2

8、函数 y ? log A、 R D、 ?3, ??? 9、若 log
m

( x2 ? 6 x ? 17) 的值域是(

) C 、 ? ??, ?3? ) D、

B 、 ?8, ???

9 ? logn 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是(

A、 m ? n ? 1
0 ? m ? n ?1

B、 n ? m ? 1

C、 0 ? n ? m ? 1 )
2 ? C、? ? ,1? ?3 ?

10、 log
?

a

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3

2? A、? ? 0, ? ?1, ?? ? 3 ? ? 2? ?2 ? ? 0, ? ? , ?? ? ? 3? ?3 ?

2 ? B、? ? , ?? ? ?3 ?

D、

11、下列函数中,在 ? 0, 2? 上为增函数的是( A、 y ? log C、 y ? log
1 2


2

( x ? 1)
1 x

B、 y ? log D、 y ? log
l oag x + 1a ? ( 且0 a?

x2 ?1

2

1 2

( x2 ? 4x ? 5)

12 、 已 知 g( x)?
f ( x) ? a
x ?1

在 1) ? ?1 , 0? 上 有 g ( x ) ? 0 , 则 B、在 ? ??,0? 上是

是(



A、在 ? ??,0? 上是增加的

减少的 C、在 ? ??, ?1? 上是增加的 少的 二、填空题 13、若 log
a

D、在 ? ??,0? 上是减

2 ? m,loga 3 ? n, a2m?n ?
( x-1)

。 。 。 (奇、偶)函

14、函数 y ? log

(3- x) 的定义域是
2

15、 lg 25 ? lg 2 lg50 ? (lg 2) 16、函数 f ( x) ? lg? 数。

?

x2 ? 1 ? x

?是

三、解答题: (本题共 3 小题,共 36 分,解答应写出 文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、 已知函数 f ( x) ? 10 18、已知函数 f ( x
2

? 10? x 10 x ? 10? x
x

, 判断 f ( x) 的奇偶性和单调性。

? 3) ? lg

x2 , x2 ? 6

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性。 19 、已知函数 f ( x) ? log
?0, 2? ,求 m, n 的值。
mx 2 ? 8 x ? n 3 x2 ? 1

的定义域为 R ,值域为

对数与对数函数同步练习参考答 案
一、选择题 题号 1 答案 A 2 B 3 D 4 D 5 C 6 C 7 A 8 C 9 10 11 12 C A D C

二、填空题 13 、 12
1? x ? 3 且x ? 2

14 、 ? x 1 ? x ? 3且x ? 2? 15、2 、
1 x ?1 ? x
2



?3 ? x ? 0 ? ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 1 ?

解得

16





? x ? R且f (? x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? lg

? ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? ? f ( x),? f ( x)

为奇函数。 三、解答题 17
f ( ? x) ?

、 (

1



10 x ? 10? x 102 x ? 1 f ( x) ? x ? , x?R 10 ? 10? x 102 x ? 1



10? x ? 10 x 102 x ? 1 ? ? ? ? f ( x), x ? R 10? x ? 10 x 102 x ? 1

∴ f ( x) 是奇函数 (2) f ( x) ? 10
1 2

?1 , x ? R.设x1 , x2 ? (??, ??) ,且 x1 ? x2 , 10 ? 1
2x 2x

则 f ( x ) ? f ( x ) ? 10

? 1 102 x2 ? 1 2(102 x1 ? 102 x2 ) ? ? ? 0 , ( 102 x1 ? 102 x2 ) 2 x1 2 x2 2 x1 2 x2 10 ? 1 10 ? 1 (10 ? 1)(10 ? 1)
2 x1

∴ f ( x) 为增函数。 18、 (1)∵ 由
x 2 ? 3? ? 3 ? x2 ,∴ f ( x) ? lg x ? 3 ,又 f ( x ? 3) ? lg 2 ? lg 2 x ?3 x ?6 ? x ? 3? ? 3
2

x2 ? 0 得 x2 ? 3 ? 3 , x2 ? 6



f ( x) 的定义域为 ? 3, ??? 。

(2) ∵ f ( x) 的定义域不关于原点对称, ∴ f ( x) 为非奇非 偶函数。 19 、 由
f (x ? )
y

m 2x ?8 ? x l o 2g 3 x ?1
0

, 得

n

3y ?

m 2x ?8 ? x x2 ? 1

, 即

n

?3

y

? m ? x 2 ? x8?

?3 n?
y

∵ x ? R,?? ? 64 ? 4(3

? m)(3y ? n) ≥ 0 ,即 32 y ? (m ? n) 3y ? mn ?16 ≤ 0
y

由0≤ y ≤ 2, 得1≤3 解得 m ? n ? 5 。

≤ 9

m ? n ? 1? 9 , 由根与系数的关系得 ? , ? ?mn ? 16 ? 1 9


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