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【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件 理 新人教A版

时间:2014-06-17


第一节

任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.角的概念
? ?按旋转方向不同分为 正角 、 (1)分类? 象限角 ? ?按终边位置不同分为

负角 、 零角 . 和 轴线角 .

(2)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内, 可构成一个集合 S={β|β=α+k·

360° ,k∈Z}.

2.弧度的定义和公式 (1)定义:长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的

角,弧度记作 rad.
(2)公式:①弧度与角度的换算:360° =2π弧度;180° = π弧 1 1 2 度;②弧长公式:l= |α|r扇形面积公式:S 扇形= 2lr 和 2|α|r .

3.任意角的三角函数

(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 y P(x,y),则sin α= y ,cos α= x ,tan α= x (x≠0).

(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表 示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切 线的起点都是(1,0).
如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的 正弦线 ,

余弦线 和 正切线 .

1.易混概念:第一象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同 的三类角.第一类是象限角,第二、第三类是区间角.
2.利用 180° =π rad 进行互化时,易出现度量单位的混用.

3.三角函数的定义中,当 P(x,y)是单位圆上的点时有 sin α y =y,cos α=x,tan α=x,但若不是单位圆时,如圆的半径为 r, y x y 则 sin α=r,cos α= r ,tan α=x.

[试一试] 1.若α=k· 180° +45° (k∈Z),则α在

(

)

A.第一或第三象限 C.第二或第四象限

B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

答案:A
2.已知角α的终边经过点( 3,-1),则sin α=________.
1 答案:- 2

1.三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正 弦、三正切、四余弦;

2.对于利用三角函数定义解题的题目,如果含有参数,一 定要考虑运用分类讨论,而在求解简单的三角不等式时,可利 用单位圆及三角函数线,体现了数形结合的思想.

[练一练]
若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是 A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 ( )

解析:由 sin α<0,知 α 在第三、第四象限或 α 终边在 y 轴 的负半轴上,由 tan α>0,知 α 在第一或第三象限,因此 α 在第三象限.
答案:C

1.给出下列四个命题: 3π 4π ①- 是第二象限角;② 是第三象限角;③-400° 是 4 3 第四象限角;④-315° 是第一象限角.其中正确的命题 有 A.1 个 C.3 个 B. 2 个 D.4 个 ( )

3π 4π π 4π 解析:- 是第三象限角,故①错误; =π+ ,从而 是 4 3 3 3 第三象限角,故②正确;-400° =-360° -40° ,从而③正确; -315° =-360° +45° ,从而④正确.
答案:C

2.设集合

? ? ? k 180° +45° ,k∈Z? M=?x?x=2· ? ? ? ? ? ?,那么 ? ?

, ( )

? ? ? k ? ? 180° +45° ,k∈Z N= x x=4· ? ? ?

A.M=N C.N?M

B.M?N

D.M∩N=? ? ? ? k 180° +45° ,k∈Z? ={…, 解析: 法一: 由于 M=?x?x=2· -45° , ? ? ?

45° ,135° ,225° ,…},
? ? ? k 180° +45° ,k∈Z N= ?x?x=4· ? ? ? ? ? ? = {… ,- 45° , 0° , 45° , 90° , ? ?

135° ,180° ,225° ,…},显然有 M?N,故选 B .

k 法二:由于 M 中,x= · 180° +45° =k· 90° +45° =45° · (2k 2 k +1),2k+1 是奇数;而 N 中,x= · 180° +45° =k· 45° + 4 45° =(k+1)· 45° , k+1 是整数, 因此必有 M?N, 故选 B .

3.终边在直线y= 3x上的角的集合为________.
π 解析:终边在直线y= 3 x上的角的集合为{α|α=kπ+ ,k 3 ∈Z}.
π 答案:{α|α=kπ+ ,k∈Z} 3

4.在-720° ~0° 范围内找出所有与45° 终边相同的角为________.

解析:所有与45° 有相同终边的角可表示为: β=45° +k×360° (k∈Z), 则令-720° ≤45° +k×360° <0° , 765 45 得-765° ≤k×360° <-45° ,解得- ≤k<- , 360 360 从而k=-2或k=-1,代入得β=-675° 或β=-315° .
答案:-675° 或-315°

[类题通法]
1.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角,方法是 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中 的参数 k 赋值来求得所需角. 2.已知角 α 的终边位置,确定形如 kα,π±α 等形式的角终边

的方法:先表示角 α 的范围,再写出 kα,π±α 等形式的角范围, 然后就 k 的可能取值讨论所求角的终边位置.

[典 例 ] sin

(1) 已 知 角 α 的 终 边 上 一 点 P 的 坐 标 为 ( )

2π 2π ,cos 3 3 ,则角α 的最小正值为 怎样用α表 示点P坐标? A.

5π 2π 5π 11π B. C. D. 6 3 3 6 [ 解析] 由题意知点 P 在第四象限, 根据三角函数的定义得 cos α
2π 3 π 11π =sin = ,故α=2k π- (k ∈Z),所以α的最小正值为 . 3 2 6 6 误区:注意不到点P在第四 ? 象限会得出α=2kπ+ [ 答案] D
6

[ 典例] (2)(2013· 临川期末)已知α 是第二象限角,其终边上 x<0 π α+ 2 一点 P(x , 5),且 cos α= x ,则 sin 2 =________. 4 x 2 [解析] 由题意得 cos α= 2= 4 x,解得 x=0 或 x= 3或 5+ x x=- 3. 又 α 是第二象限角,∴x=- 3.
? π? 6 6 ? ? 即 cos α=- 4 ,sin α+2 =cos α=- 4 . ? ?

答案] - [

6 4

[类题通法]

用定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的 距离 r,然后用三角函数的定义求解;
(2)已知角 α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点 的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相 关问题.

[针对训练]
3 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α+ 的值. cos α
解:设α终边上任一点为P(k,-3k), 则r= k2+?-3k?2= 10|k|. 当k>0时,r= 10k, -3k 3 1 10 k ∴sin α= =- , = k = 10, cos α 10k 10 3 ∴10sin α+ =-3 10+3 10=0; cos α

当k<0时,r=- 10k, -3k 3 ∴sin α= = , - 10k 10 - 10k 1 = k =- 10, cos α 3 ∴10sin α+ =3 10-3 10=0. cos α 3 综上,10sin α+ =0. cos α

[典例] 角.

(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心

扇形的弧长公式是什么? 扇形的面积公式是什么?

l ??r

S ? lr

1 2

2r+rθ=10 [ 解] (1)设圆心角是θ ,半径是 r,则 1θ· r2=4 2 r=4, r=1, 1 1 ? (舍), θ= , 故扇形圆心角为 . θ =8 2 2

[ 典例] (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何 值时,才使扇形面积最大?
设变量,建联系

[解] 设圆心角是θ ,半径是 r,则 2r+rθ= 40. 1 1 S = θ· r2= r(40-2r)= r(20-r)=-(r-10)2+ 100≤100, 2 2 当且仅当 r=10 时,S max=100,θ =2. 所以当 r=10,θ =2 时,扇形面积最大.
得结论 建二次函数 模型求解

若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方 形的边长,则其圆心角的弧度数是________.

解析:设圆半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r, ∴正方形边长为 2r, 2r ∴圆心角的弧度数是 r = 2. 答案: 2

[类题通法]

弧度制应用的关注点
1 (1)弧度制下 l=|α|· r,S= lr,此时 α 为弧度.在角度制下, 2 n πr n π r2 弧长 l= ,扇形面积 S= ,此时 n 为角度,它们之间有着 180 360 必然的联系.

(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角 所在的三角形.

[针对训练]
已知扇形的圆心角是α=120° ,弦长AB=12 cm,求弧长l.

解:设扇形的半径为r cm, 如图. 6 由sin 60° =r, 得r=4 3 cm, 2π 8 3 ∴l=|α|· r= ×4 3= π(cm). 3 3

[课堂练通考点] 1.如图所示,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点
P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是 ( )

A.(cos θ,sin θ) C.(sin θ,cos θ)

B.(-cos θ,sin θ) D.(-sin θ,cos θ)

解析:由三角函数的定义知 P(cos θ,sin θ),选 A .

2.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧 度数是 A.1或4 B. 1 C.4 解析:设扇形的半径和弧长分别为 r,l,
l+2r=6, ? ? 则易得?1 lr=2, ? 2 ?
? ?l=4 解得? ? ? r= 1 ? ?l=2, 或? ? ?r=2.

( D.8

)

故扇形的圆心角的弧度数是 4 或 1. 答案:A

3.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0, 则实数a的取值范围是 A.(-2,3] C.[-2,3)
解析:∵cos α≤0,sin α>0, ∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上.
? ?3a-9≤0, ∴? ? ?a+2>0,

( B.(-2,3) D.[-2,3]

)

∴-2<a≤3.故选 A .

4.在与2 010° 终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为 .

67 5π 解析:2 010° = π=12π- , 6 6 5π ∴与2 010° 终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为 . 6

5π 答案: 6

5.(2014· 辽源模拟)若三角形的两个内角α,β满足sin αcos β <0,则此三角形为________.

解析:∵sin αcos β<0,且α,β是三角形的两个内角. ∴sin α>0,cos β<0,∴β为钝角. 故此三角形为钝角三角形.

答案:钝角三角形

6.已知角α的终边过点P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈
?π ? ? ,π?,求α的三角函数值. ?2 ?
?π ? 解:∵θ∈?2 ,π?,∴-1<cos ? ?

θ<0,

∴r= 9cos2θ+16cos2θ=-5cos θ, 4 3 4 故sin α=- ,cos α= ,tan α=- . 5 5 3


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