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2014-2015学年高二数学精品课件:《一元二次不等式的解法》2(北师大版必修五)

时间:2015-10-16


一元二次不等式的解法
y

o

x

问题: (1)如何解一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(2)二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是
2

什么曲线? (3)一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的
2

解与二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象
2

有什么联系?

一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)的解实
2

际上就是二次函数 y ? ax 与x轴交点的横坐标。

2

? bx ? c(a ? 0)

下面我们来研究如何应用二次函数的图象

来解一元二次不等式。

首先,我们可以把任何一个一元二次
不等式转化为下列四种形式中的一种:

(1)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(2)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(3)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(4)ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

以上四个不等式中我们规定了 a 数小于0,哪怎么办呢?

?0

如果题目中给出的不等式中二次项系

对了,我们只要在不等式两边同乘-1, 然后把不等式的方向改变一下,就可 化为以上四种形式中的一种。 下面我们就利用二次函数的图象来解 以上4个不等式。

设f(x)=ax2+bx+c (a>0),且设方程f(x)=0在

△>0时的两个根分别是x1、x2,且x1<x2。

下面我们一起来完成下表:

△=b2-4ac f(x)>0的解集 f(x)<0的解集 f(x) ≥0的解集

△>0

△=0
1

△<0

?x x ? x 或x ? x ?
2

? b? x ? R x ? ? ? ? 2 a ? ?

R ? R ?

?x x

1

? x ? x2 ?
2 1

? R

?x x ? x 或x ? x ?

f(x) ≤0的解集

?x x
y
O

1

? x ? x2 ?

y
x1 x2

? b ? x x ? ? ? ? 2 a ? ?

y
x=-b/2a

y=f(x)的图象

x

O

x

O

x

填写上表的依据是二次函数的图象,这实际上是一种数 形结合的思想。 由此我们可以得出解一元二次不等式的一般步骤: (1)把所给不等式化为四种标准形式之一; (2)判断所对应二次方程的根的情况;若

有根,则求出其根。
(3)画出所对应的二次函数的图象; (4)根据图象写出不等式的解集。

例1、求下列不等式的解集:

(1) ? 6x ? 5x ? 1 ? 0
2

(2)4x ? 4x ?15 ? 0
2

(3)5x ? 2x ? 3 2 (5)3x ? 5 ? 4x
2

(4)9x ? ?6x ?1
2

2 2 解:( 5 )将原不等式变形为 解:( 4 )将原不等式变形为 2 3 x ? 4 x ? 5 ? 0 ( 2 x 5 )(x 2? x1 ?? 3) 解:(2 9 2? ? 6 0? 0 1)将原不等式变形为 )将原不等式变形为:

?0 ? 2? x5 ?x 3? ?10 解:(3)将原不等式变形为 5x6 x 5 3? ∵ 所对应的二次方程的⊿=-44 <0, ∵所对应的二次方程的⊿ =0? , x? ? x? ? ∴ 原不等式的解集为 ( 6 2 x ? 1)(x ? 1) ? 0 ? 即 2 ⊿=-56 2 <0 ∵方程 所对应的
?? ?? 11 ? x ? ?x x xR ?1 或 x? ? ? ?? ∴ 原不等式的解集为 ? 36 ∴原不等式的解集为R。 ?? ??

5x ? 2 x ? 3 ? 0 ∴ 原不等式的解集为 ∴原不等式的解集为

?

?

?

例2、已知关于x的不等式 ax ? bx ? c ? 0
2

的解集是{x︱x<-2或x>
2

?

求 ax ? bx ? c ? 0 的解集。

1 } 2

1 1? 2 1 ? ?c ? 0 解法一: ? 1 ? x ? 2 ? 2 , ? 是方程 ax ? bx ? 解法二:由已知得 即(x-2)(2x-1)<0, 解得 ? ? x x ? ?2或x ? ? ? 2 ? ? x ( x ? 2)(x ? ) ? 0? 小结:两种解法都是先试图找出 a? 、 b c的 2? 2 4、 a? 2b c?0 ? ? ? 2 2?2 axax? 2 bx ? c ? 0 即为 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ? ∴ 不等式 ? bx ? c ? 0 ∴ 的两个根,且 不等式 a<0,∴ 的解集为 分析:本题主要强化一元二次方程、一元
? ? ? 1 2 ? ? 2 5 ? bx x ? 2? ? x且? ax ? c?? 0 的解集为 即不等式 由此可得 a? b c=(-2) ?(-5) ?(-2) a<0,

? ? ? x ?x?2 二次不等式与二次函数图象间的关系。
2?
?

?1 1 关系,再解出一元二次不等式的解集。 a? 2 2 b?c ?0 1 ? ? x 2∴ x ? 5x 2 x? ?42 x 2 ? 5x ? 2 ? 0 ? ??x1 ?? 2 0 ? {?

解得 b ? 2 a, c ? a ? 2 2 ∴所求解的不等式为:? 2 x ? 5x ? 2 ? 0

例3、不等式 (a ? 1) x 2 ? ax ? a ? m( x 2 ? x ? 1) 对任意x∈R恒成立,求a与m之间的关系。
a ? m ?1 ? 0 ① 当a-m+1≠0时, ? ? 分析:不等式对任意 解:将原不等式变形为 xm ∈ ) R ? 4恒成立,就是 (a ? m ? 1)(a ? m) ? 0 ② ?? ? (a ? 注意:二次项系数为 的情况一定要考虑, 由②得: 2 0 不等式的解集为 R 。对于二次不等式 (a ? m ? 1 ) x ? ( a(? mm )x a1 ? m0 )?0 (a ? m)[3 a? ?? 1)(? ]? 而这往往是容易忽略的,一定要引起大 2 ax ? bx ? c ? 0 的解集为R的条件为 以上不等式对x∈R恒成立。 家的高度重视。 ?m 0,则有a-m>0 ③ ? ∴ aa > 当a-m+1=0 ? 2 时,原不等式化为 –x-1>0, 4ac ?0 联立①③得 a> m。 ?? ? b ? 与x∈R不符,应舍去。
2

x ? ax ? 6a ? 0 解:原不等式可化为 ( x ? 3a)(x ? 2a) ? 0
例4、解关于x不等式
2 2

它所对应的二次方程的两 根为-2a,3a。 小结:解含有参数的不等式时,要利用分类讨论的思想,
确定分类的标准,对参数进行分类讨论。 当-2a>3a,即a<0时,

原不等式的解集为{x︱3a<x<-2a};

当-2a=3a,即a=0时,原不等式的解集为? ; 当-2a<3a,即a>0时,

原不等式的解集为{x︱-2a<x<3a}。

小结:
(1)根据数形结合的思想,利用二次 函数的图象解二次不等式。

(2)根据分类讨论的思想,正确选定 分类标准,解含参数的不等式。


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