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山东省青岛市2015年高三统一质量检测数学文试题 Word版含答案


青岛市高三统一质量检测

数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填 涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑

;如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不 能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按 以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题
2i 等于 1? i
C. 1 ? i

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,复数 A. ? 1 ? i

B. ? 1 ? i

D. 1 ? i

2.设全集 I ? R ,集合 A ? { y | y ? log2 x, x ? 2}, B ? {x | y ? x ? 1} ,则 A. A ? B B. A

B?A

C. A

B??

D. A (?I B) ? ?
7 8 9 9 4 4 4 6 7 3 第 3 题图

3.在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后,所 剩数据的平均数和方差分别为 A. 5 和 1.6 B. 85 和 1.6 C. 85 和 0.4

D. 5 和 0.4

4.“ ?n ? N* ,2an?1 ? an ? an? 2 ”是“数列 {an } 为等差数列”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2
正视图

x
1
侧视图

5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3 ,则 正视图中的 x 的值是

1

俯视图 9 3 C. D. 3 第 5 题图 2 2 x2 y 2 6.已知双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 ,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则 a b

A. 2

B.

双曲线的方程为

-1-

A.

x2 y2 ? ?1 20 5

B.

x2 y2 ? ?1 5 20

C.

3x 2 3 y 2 ? ?1 25 100

D.

3x 2 3 y 2 ? ?1 100 25

7.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ? ? B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ?

8.函数 y ? 4cos x ? e ( e 为自然对数的底数)的图象可能是
x

y

y

y

y

O

O

x

O

x
C

x

O

x

A

B

D

9.已知 ?ABC 的三边分别为 4,5, 6 ,则 ?ABC 的面积为 A.

15 7 2

B.

15 7 4

C.

15 7 8

D.

15 7 16

10.已知点 G 是 ?ABC 的外心,GA, GB, GC 是三个单位向量,且 2GA ? AB ? AC ? 0 ,如图所示,?ABC 的顶点 B, C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动,则 G 点的轨迹为

y

A.一条线段 C.椭圆的一部分

B.一段圆弧 D.抛物线的一部分

C

A

O
第 10 题图

B

x

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知函数 f ( x) ? tan x ? sin x ? 2015 ,若 f (m) ? 2 , 则 f ( ? m) ? ; ; ;

共 100 分)
开始

i ? 12, s ? 1
i ? 11?
是 否 输出 s 结束 第 12 题图

12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 的长,则该矩形面积大于 20 平方厘米的概率为

13.在长为 12 厘米的线段 AB 上任取一点 C , 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC , CB

s ? s ?i
i ? i ?1

?x ? 2 y ? 0 ? 14. 设 z ? x ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 6 ,则 z 的最小值 ?0 ? y ? k ?
为 ;

15. 若 X 是一个集合, ? 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:① X 属于 ? ,空集 ? 属于 ? ;② ? 中任 意多个元素的并集属于 ? ; ③ ? 中任意多个元素的交集属于 ? . 则称 ? 是集合 X 上的一个拓扑. 已知集合 X ? {a, b, c} ,
-2-

对于下面给出的四个集合 ? : ① ? ? {?,{a},{c},{a, b, c}} ; ③ ? ? {?,{a},{a, b},{a, c}} ; ② ? ? {?,{b},{c},{b, c},{a, b, c}} ; ④ ? ? {?,{a, c},{b, c},{c},{a, b, c}} . .

其中是集合 X 上的一个拓扑的集合 ? 的所有序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演,甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目,其 中甲社区表演队中表演跳舞的有 1 人,表演笛子演奏的有 2 人,表演唱歌的有 3 人. (Ⅰ)若从甲、乙社区各选一个表演项目,求选出的两个表演项目相同的概率; (Ⅱ)若从甲社区表演队中选 2 人表演节目,求至少有一位表演笛子演奏的概率.

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4cos ? x ? sin(? x ? 为? . (Ⅰ)求 a 和 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递减区间.

?
6

) ? a (? ? 0) 图象上最高点的纵坐标为 2 ,且图象上相邻两个最高点的距离

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 侧 棱 AA1 ? 底 面 A B C D ,底面 ABCD 是直角梯形,
AD // BC , ?BAD ? 90? , BC ? 1 , AB ? 3 , AD ? AA1 ? 3 , E1 为 A1 B1 中点.

(Ⅰ)证明: B1D // 平面 AD1E1 ; (Ⅱ)证明:平面 ACD1 ? 平面 BDD1 B1 .

E1

A1
C1

D1

B1

A B
19. (本小题满分 12 分)
C

D

已知数列 {an } 是等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,且 a10 ? 28 , S8 ? 92 ;数列 {bn } 对任意 n ? N? ,总有

b1 ? b2 ? b 3 bn? 1? bn ? 3n ? 1 成立.
(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ?

an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 2n

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 上顶点为 A ,右顶点为 B ,离心率 e ? ,O 为坐标原点,圆 O : x2 ? y 2 ? a 2 b2 2 3
-3-

与直线 AB 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l : y ? k ( x ? 2) (k ? 0) 与椭圆 C 相交于 E 、 F 两不同点,若椭圆 C 上一点 P 满足 OP // l .求 ?EPF 面积的 最大值及此时的 k 2 .

21. (本小题满分 14 分)

1 f (ln x) ,其中 a ? R , e ? 2.71828 为自然对数的底数. 2 (Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (2, f (2)) 处的切线过坐标原点,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在 [ ?1,1] 上为单调递增函数,求实数 a 的取值范围. g ( x1 ) ? g ( x2 ) (Ⅲ)当 a ? 0 时, 对于满足 0 ? x1 ? x2 的两个实数 x1 , x2 , 若存在 x0 ? 0 ,使得 g ?( x0 ) ? 成立,试比较 x 0 x1 ? x2
已知函数 f ( x) ? (ax 2 ? 2 x ? a)e x , g ( x) ? 与 x1 的大小.

青岛市高三统一质量检测

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. DABCD ACABB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 4028 12. 132 13.

2 3

14. ?3

15.②④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)记甲、乙两社区的表演项目:跳舞、笛子演奏、唱歌分别为 A1 , B1 , C1 ; A2 , B2 , C2 则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有 ( A 1 , A2 ),( A 1 , B2 ),( A 1 , C2 ), ( B 1 , A2 ),

( B1 , B2 ), ( B1 , C2 ), (C1 , A2 ),(C1, B2 ),(C1, C2 ) 共 9 种
其中选出的两个表演项目相同的事件 3 种,所以 P ?

……………………………4 分

3 1 ? 9 3

………………………6 分

(Ⅱ)记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为 a1 , b1 , b2 , c1 , c2 , c3 则从甲社区表演队中选 2 人的基本事件有 (a1 , b1 ),(a1 , b2 ),(a1 , c1 ),(a1, c2 ),(a1, c3 ),

(b1 , b2 ),(b1 , c1 ), (b1, c2 ),(b1, c3 ),(b2 , c1 ),(b2 , c2 ),(b2 , c3 ),(c1, c2 ),(c1, c3 ),(c2 , c3 ) 共 15 种
-4-

…………………………10 分 其中至少有一位表演笛子演奏的事件有 9 种,所以 P ? 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 4cos ? x ? sin(? x ?

9 3 ? ………………………12 分 15 5

?
6

) ? a ? 4cos ? x ? (

3 1 sin ? x ? cos ? x) ? a 2 2

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2cos2 ? x ?1 ? 1 ? a ? 3 sin 2? x ? cos 2? x ?1 ? a
? 2sin(2? x ? ) ? 1 ? a. 6
当 sin(2? x ?

?

…………………………………………………………… 4 分

?

6

) ? 1 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 1 ? a ? 3 ? a

又 f ( x ) 最高点的纵坐标为 2 , ? 3 ? a ? 2 ,即 a ? ?1. ………………………………6 分 又 f ( x ) 图象上相邻两个最高点的距离为 ? ,? f ( x ) 的最小正周期为 T ? ? 所以 2? ?

2? ? 2 , ? ?1 T

…………………………………………………………8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 2sin(2 x ? 由

?
6

)

?
?
2

6 2? ? k? , k ? Z. 得 ? k? ? x ? 6 3
令 k ? 0 ,得:

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

3? ? 2k? , k ? Z. 2
……………………………………………………10 分

?
6

?x?

2? . 3

所以函数 f ( x ) 在 [ ?? , ? ] 上的单调递减区间为 [ 18. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连结 A1D 交 AD1 于 G , 因为 ABCD ? A1B1C1D1 为四棱柱, 所以四边形 ADD1 A1 为平行四边形, 所以 G 为 A1D 的中点,

? 2?
6 , 3

] ………………………………12 分

E1
B1

A1

D1

C1

G

又 E1 为 A1B1 中点,所以 E1G 为 ?A 1B 1D 的中位线, 所以 B1D / / E1G

B

A H

D

C

……………………………………………………………………………4 分

又因为 B1D ? 平面 AD1E1 , E1G ? 平面 AD1E1 , 所以 B1D / / 平面 AD1E1 . (Ⅱ)设 AC …………………………………………………………………6 分

BD ? H ,
-5-

因为 AD / / BC ,所以 ?BHC

?DHA AH DH AD ? ? ?3 又 BC ? 1 , AD ? 3 ,所以 CH BH BC AD // BC , ?BAD ? 900 ,所以 ?ABC ? 900

? AC ? 1 ? 3 ? 2 , BD ? 9 ? 3 ? 2 3
从而 CH ?

1 3 , BH ? , 2 2

2 2 2 所以 CH ? BH ? BC , CH ? BH ,即 AC ? BD ……………………………………9 分

因为 ABCD ? A1B1C1D1 为四棱柱, AA1 ? 底面 ABCD 所以侧棱 BB1 ? 底面 ABCD ,又 AC ? 底面 ABCD ,所以 BB1 ? AC ………………10 分 因为 BB1

BD ? B ,所以 AC ? 平面 BDD1B1 …………………………………………11 分

因为 AC ? 平面 ACD1 ,所以平面 ACD1 ? 平面 BDD1B1 .……………………………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,

8? 7 ? d ? 92 2 解得 a1 ? 1, d ? 3 ,所以 an ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2 …………………………………………4 分
则 a10 ? a1 ? 9d ? 28, S8 ? 8a1 ? 又因为 b1 ? b2 ? b3

bn?1 ? bn ? 3n ? 1 , 所以 b1 ? b2 ? b3 bn?1 ? 3n ? 2(n ? 2) 3n ? 1 (n ? 2) 两式相除得 bn ? 3n ? 2
因为当 n ? 1 时 b1 ? 4 适合上式,所以 bn ? (Ⅱ)由已知 cn ?

an ? bn 3n ? 1 ? n , 2n 2 4 7 10 3n ? 1 则 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2n 1 4 7 3n ? 2 3n ? 1 Tn ? ? 3? ? ? n ?1 2 2 2 2 2n 2 1 3 3 3 3n ? 1 所以 Tn ? 2 +( 2 ? 3 ? ? n ) ? n ?1 ……………………………………………10 分 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( )n ?1 ] 3n ? 7 1 3n ? 1 2 从而 Tn ? 2 +3 ? 4 (本小题满分 13 分) ? n ?1 ,即 Tn ? 7 ? n …………………………12 分 20. 1 2 2 2 1? 2 x y 解: (Ⅰ)由题意,直线 AB 的方程为: ? ? 1 ,即为 bx ? ay ? ab ? 0 a b a 2b 2 2 | ab | 2 ? 因为圆 O 与直线 AB 相切,所以 , 2 …… ①……………2 分 ? 2 3 3 b ?a b2 ? a 2

3n ? 1 ( n ? N ? ) ………………………………8 分 3n ? 2

-6-

设椭圆的半焦距为 c ,因为 b ? c ? a
2 2

2

,e ?

c 2 , ? a 2

a 2 ? b2 1 ? …… ② …………………………………………………………………3 分 a2 2 2 由①②得: a ? 2, b2 ? 1
所以 所以椭圆 C 的标准方程为:

x2 ? y 2 ? 1……………………………………………………5 分 2

? x2 ? ? y2 ? 1 (Ⅱ)由 ? 2 可得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ? y ? k ( x ? 2) ? 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 )
则 x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 x x ? , ………………………………………………………7 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以 EF ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 又点 O 到直线 EF 的距离 d ?

8 ? 16k 2 ( 1 ? 2k 2 ) 2

2k 1? k 2

1 k 2 (1 ? 2k 2 ) EF d ? 2 2 …………………………10 分 2 ( 1 ? 2k 2 ) 2 1 1 2 2 2 又因为 ? ? 8 ? 16k ? 0 ? k ? ,又 k ? 0 ,? 0 ? k ? 2 2 2 2 k (1 ? 2k ) 1 1 3 1 3 1 令 t ? 1 ? 2k 2 ? (1, 2) ,则 ? ? ? 2 ? ? ?( ? )2 ? , 2 2 ( 1 ? 2k ) 2 t 2t t 4 16
OP // l ,? S ?EPF ? S ?EOF ?
所以当 t ?
2

4 2 1 1 k 2 (1 ? 2k 2 ) , k ? 时, 最大值为 2 2 3 6 16 ( 1 ? 2k ) 1 2 时, ?EPF 的面积的最大值为 ………………………………………13 分 6 2

所以当 k ?

21. (本小题满分 14 分)

f ( x) ? (ax2 ? 2x ? a)ex ,? f ?( x) ? [ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2 ? a]e x 则 f ?(2) ? (7a ? 6)e2 , f (2) ? (3a ? 4)e2 ? 函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (2, f (2)) 处的切线为: y ? f (2) ? (7a ? 6)e2 ( x ? 2)
解: (Ⅰ) 切线过坐标原点, 0 ? f (2) ? (7a ? 6)e2 (0 ? 2) ,即 (3a ? 4)e2 ? 2(7a ? 6)e2

?a ? ?

8 ………………………………………………………………………………3分 11 (Ⅱ) f ?( x) ? [ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2 ? a]e x 要使 f ( x ) 在 [?1,1] 上为单调递增函数,只要 ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2 ? a ? 0
令 ?( x) ? ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2 ? a ①当 a ? 0 时, ?( x) ? 2 x ? 2 ,在 [?1,1] 内 ?( x) ? ?(?1) ? 0 ,? f ?( x) ? 0 函数 f ( x ) 在 [?1,1] 上为单调递增函数………………………………………………………4分 ②当 a ? 0 时, ?( x) ? ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2 ? a 是开口向上的二次函数,

1 a ?( x ) ?? ? ( 1 ?)? a ? 2 ?0a ? 0 mi n 而此时 a ? 0 ,产生矛盾

(1 ? ) ? ? 1 其对称轴为 x? ? , ? ?( x) 在 [?1,1] 上 递 增 , 为 使 f ( x ) 在 [?1,1] 上 单 调 递 增 , 必 须

-7-

? 此种情况不符合题意 ………………………………………………………6分 2 ③当 a ? 0 时, ?( x) ? ax ? 2(a ? 1) x ? 2 ? a 是开口向下的二次函数, 为使 f ( x ) 在 [?1,1] 上单调递增,必须 f ?( x) ? 0 ,即 ?( x) ? 0 在 [?1,1] 上恒成立, ? ?(1) ? 0 ?2a ? 4 ? 0 ?? ?? ??(?1) ? 0 ? ?2a ? 0
又 a ? 0 ,??2 ? a ? 0 综合①②③得实数 a 的取值范围为 [?2, 0] (Ⅲ) g ( x) ? ………………………………………………8分

1 f (ln x) ? x ln x , g ?( x) ? ln x ? 1. 2

因为对满足 0 ? x1 ? x2 的实数 x1 , x2 ,存在 x0 ? 0 ,使得 g ?( x0 ) ? 所以 ln x0 ? 1 ?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, x1 ? x2

g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ln x1 ? x2 ln x2 ,即 ln x0 ? 1 ? 1 , x1 ? x2 x1 ? x2 x ln x1 ? x2 ln x2 从而 ln x0 ? ln x1 ? 1 ? 1 ? ln x1 x1 ? x2 x x ln 1 ? 1 ? 1 x2 x2 x ln x1 ? x2 ln x2 ? x2 ? x1 ? .…………………………………………11 分 ? 2 x x1 ? x2 1 ?1 x2 1 设 ? (t ) ? ln t ? 1 ? t ,其中 0 ? t ? 1 ,则 ? ?(t ) ? ? 1 ? 0 ,因而 ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调递增, ? (t ) ? ? (1) ? 0 , t x x x x x 0 ? x1 ? x2 ,? 0 ? 1 ? 1 ,从而 ? ( 1 ) ? ln 1 ?1 ? 1 ? 0 ,又 1 ? 1 ? 0 x2 x2 x2 x2 x2 所以 ln x0 ? ln x1 ? 0 ,即 x0 ? x1 …………………………………………………………14 分

-8-


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