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1.双曲线的简单几何性质PPt


双曲线的 简单几何性质(1)

一、复习回顾:
1.双曲线的标准方程:

形式一: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 -c,0)、F( (焦点在x轴上,( 2 c,0))
形式二: y 2
x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

r />F1 0,-c)、( (焦点在y轴上,( F2 0,c))
其中 c ? a ? b
2 2 2

2.椭圆的图像与性质:
标 准 方 程
范 围

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

Y
B2

|x|?a,|y|≤b
关于X,Y轴, 原点对称

对称性

顶点 焦 点
对称轴 离心率

(±a,0),(0,±b) (±c,0) X轴、Y轴
e? c a

A1

F1

o

A2

F2

X

B1

二、讲授新课:
x2 y 2 一、研究双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的简单几何性质 a b

1、范围

y
(-x,y) -a (-x,-y) (x,y)

x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ?a 2、对称性

2

o a
(x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称的. x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是A1 (?a,0)、A2 (a,0)
( 2) 如图,线段 A1A2叫做双曲线 的实轴,它的长等于2a,a叫做 双曲线实半轴长;线段 B1B2 , 叫做双曲线的虚轴,它的长为 2b,b叫做双曲线的虚半轴长
A1 -a

y b

B2
o a A2 x

-b B 1

1 思考:1.y ? 的图像是什么? 图像无限靠近x轴和y轴 x

1 x轴, y轴叫做y ? 的渐进线. x
想一想:以前还见过渐近线吗? 指数函数和对数函数及三角函数中有吗?

经过 A2、A1 作y轴的平行线x=±a,经过 B2、B1 作x轴的平行线y=±b, 四条直线围成一个矩形。 矩形的两条对角线所在直线的方程是
y?? b x a

x2 y 2 4、渐近线 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b

,图上可以看出,双曲线的各支向外延伸时,与这两条直

线逐渐接近。 下面我们来证明这个结论。取双曲线第一象限的部分, y b b 2 2 y? x N (x,Y) x ? a ( x>a) 这一部分的方程为:y ? a

a

设M(x,y)是它上面的点,N(x,Y)是直线

B2

M(x,y)

b y? x a


上与M有相同横坐标的点, b Y? x a

A1

O

A2

x
b y?? x a

B1

b 2 2 b a2 y? x ? a ? x 1? 2 < b x ? Y , a a x a

b ? MN ? Y ? y ? x ? x 2 ? a 2 a

b x? x ?a x? x ?a ? ? a x ? x2 ? a2 ab ? x ? x2 ? a2
2 2 2

?

?

?

??

?
2

?

?

?

设|MQ|是点M到直线 y ?

b x的距离,则|MQ|< |MN|, a

?

当x逐渐增大时, |MN|逐渐减小,|MN接近于0 ,|MQ|也接近于0

就是说,双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于 射线ON.在其他象限内,也可类似证明。 我们把两条直线

b y ? ? x 叫做双曲线的渐近线。 a

特殊地,

x2 y 2 在方程 2 ? 2 ? 1中,如果a=b,那么双曲线的方程为 a b

x2 ? y 2 ? a2

它的实轴和虚轴都是2a,

这时,四条直线x=±a, y=±a围成正方形,渐近线方程y=±x,
他们互相垂直,并且 平分双曲线实轴和虚轴所成的角。 我们把实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线。 双曲线(草图)的画法:⑴画出双曲线的渐近线 ⑵确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点 并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特 点画出双曲线的一部分。

⑶利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

? c>a>0 ?

e >1

(3) e是反映双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!
b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ? 1 ? e2 ? 1 a a a b b ?当e越大, 越大, 且e增大, 即渐近线y ? ? 的绝对值越大, a a 这时,双曲线的形状从扁狭逐渐开阔,即开口越大,

由此双曲线的离心率越大,它的开口越阔

双曲线的渐近线的求法:

x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b
b 直线y ? ? x叫做双曲线的渐进线. a
x2 y2 3 ? ? 1的渐进线为: y?? x 2 4 3 x2 y2 y ? ?x ? ? 1的渐进线为: 2 2

y

b y? x a

O

x
b y?? x a

等轴双曲线 e ? 2
反之,e= 2的双曲线一定是等轴双曲线吗?

焦点在x轴上的双曲线的几何性质
x2 y2 双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b

1、 范围: x≥a或x≤-a 2、对称性: 关于x轴,y轴,原点对称。 3、顶点: A1(-a,0),A2(a,0)
A1

Y
B2

X
A2

4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 b 5、渐近线方程: y ? ? x a c e= 6、离心率:

B1

a

B2

. .
B2 A2
2 2 2 2

图形
2

. .
F1(-c,0)
F1

y

y
F2

A1 A2
O

F2(0,c)
B1

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围

x ? a 或 x ? ?a,y ? R
A1(- a,0),A2(a,0)

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b y ? a 或 y ? ?a,x ? R

对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

离心率
渐进线

c e? a
b y?? x a

(e ? 1)

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

如何记忆双曲线的渐进线方程?

例1、求双曲线9x2-16y2=144的实半轴和虚 半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

例2、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕

其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径
13m,下口半径 双曲线的方程(精确到1m).

为20m,高55m.选择适当的坐标系,求出此

y
13 C′ 12 A′ 0 A x C

B′

20

B


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