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湖北省黄冈中学、黄石二中、鄂州高中2014届高三11月联考数学文试题 Word版含答案

时间:2013-11-24


黄冈高中、黄石二中、鄂州高中 2014 届高三三校 11 月联考 数学试题(文科)
命题人:张俊勇
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.已知复数 z ? ?3 ? 2i(i 为虚数单位)是关于 x 的方程 2 x ? px ? q ? 0( p, q 为实数)的一
2

个根,则 p ? q 的值

为 A.22 B.36 C.38 D.42





2.已知 ? ∈( A. -7

3 ? ? ,? ) ,sin ? = ,则 tan( ? ? )等于 5 2 4 1 B. - C. 7 7
1 2 ?? ? x ? sin ? ? x ? , f ? ? x ? 为 4 ?2 ?

D.

1 7

3.已知 f ? x ? ?

f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图像是( )

4. 在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 的值为( A.20 B.22 C.24 D.28 5.某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示, 则该四棱锥的体积等于
13



A. 1 C. 3

B. 2 D. 4
正视图 1 侧视图 1

6.已知等比数列 {a n } 中,公比 q ? 1 ,且 a1 ? a6 ? 8 ,

2 俯视图

a3a 4 ? 12 ,则

a11 = a6





1

A.2

B. 3 或 6

C.6

D.3

7.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?
2013

?
2

) 的部分图像如图,



? f ( 6 ) ?(
n ?1

n?

) B.

A.

1 2

?1

C. 1

D. 0

8. 在 ?ABC 中, AB ? ?cos18?, cos 72?? , BC ? ?2 cos 63?,2 cos 27?? ,则 ?ABC 面积为

A.

2 4

B.

2 2

C.

3 2

D. 2

9.定义域是一切实数的函数 y ? f ( x) ,其图象是连续不断的,且存在常数 ? (? ? R) 使得

f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ? 0对任意实数 x 都成立,则称 f ( x) 是一个“ ? 的相关函数”.有下列关 于“ ? 的相关函数”的结论:① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个“ ? 的相关函数”;② 1 f ( x) ? x 2 是一个“ ? 的相关函数”;③ “ 的相关函数”至少有一个零点. 2
其中正确结论的个数是( .. A. 1 B. 2 10 . 设 函数 f ( x) ? ) C. 3 D. 0

e x ? x ? a ( a ? R , e 为 自 然 对数 的 底 数 ). 若曲 线 y ? sin x 上 存 在
) (C) [1, e ? 1] (D) [1, e]

( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是(
(A) [e -1, e ? 1]
?1

, (B) [e , -11]

?1

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 5 分, 共 35 分。

11. 已知向量 a , b 的夹角为 120 ? ,且 a ? 1 , b ? 2 ,则向量 a ? b 在向量 a 方向上的投 影是 ________. 12. 设关于 x 的不等式 2 | x ? 4 x ? m | ? x ? 4 的解集为 A ,且 0 ? A , 2 ? A ,则实数 m 的 取值范围是 .

?

?

?

13. 已知函数 f ( x) ? _____.

1 3 x ? ax 2 ? 3x 在(0, 1)上不是单调函数,则实数 a 的取值范围为 3

2

?a ? b ? 1 ? 0 2 ? 14. 已知实数 a, b 满足: ? 2a ? b ? 1 ? 0 , z ? ? a ? b ? 1? ,则 z 的取值范围是_ ? 2a ? 2b ? 1 ? 0 ?
15.若正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则 x ? 2 y 的最小值



xy
为 .

16.如图所示,O 点在△ ABC 内部,D、E 分别 是 AC,BC 边的中点,且有 OA ? 2OB ? 3OC = 0 , 则△ AEC 的面积与△ AOC 的面积的比为 17.已知函数 f ( x) ? 2 且 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,其中 g (x) 为奇函数, h(x ) 为偶函数,若
x

?

不等式 2a ? g ( x) ? h(2 x) ? 0 对任意 x ? [1,2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 12 分) 已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边, (1)求角 A 的大小; (2)求函数 y ? 3 sin B ? sin(C ?

2b ? c cos C . ? a cos A

?
6

) 的值域.

19. (本题满分 12 分)已知 ?ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 120 , D
?

为 AB 的中点, E, F 分别在线段 AC, BC 上的动点,且 EF // AB

C E G F B

EF 交 CD 于 G ,把 ?ADC 沿 CD 折起,如下图所示,
(1)求证: E1 F // 平面 A1 BD ; (2)当二面角 A1 ? CD ? B 为直二面角时,是否存在点 F , 使得直线 A1 F 与平面 BCD 所成的角为 60 ,若存在求 CF 的长, 若不存在说明理由。
?

A

C G E1 A1 D

D

F B

3

20. (本题满分 13 分)已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a n ?1 ? (1)求证: ?

an (n ? N * ) an ? 3

? 1 1? ? ? 是等比数列,并求 ?a n ?的通项公式 a n ; ? an 2 ?

(2)数列 ?bn ? 满足 bn ? (3 n ? 1) ?

n ? a n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式 2n

(?1) n ? ? Tn ?

n 2
n ?1

对一切 n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围。
*

21. (本题满分 14 分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 30 元,并且每件产 品须向总公司缴纳 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当 每件产品的售价为 x 元时,产品一年的销售量为

k (e 为自然对数的底数)万件,已 ex

知每件产品的售价为 40 元时,该产品一年的销售量为 500 万件.经物价部门核定每件 产品的售价 x 最低不低于 35 元,最高不超过 41 元. (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润 L(x)最大,并求出 L(x)的 最大值. 参考公式:

22 . 本 题 满 分 14 分 ) 若 函 数 f ? x ? 满 足 : 在 定 义 域 内 存 在 实 数 x 0 , 使 (

f ?x0 ? k ? ? f ?x0 ? ? f ?k ? (k 为常数),则称“f(x)关于 k 可线性分解”.
(Ⅰ)函数 f ?x ? ? 2 ? x 是否关于 1 可线性分解?请说明理由;
x 2

(Ⅱ)已知函数 g ?x ? ? ln x ? ax ? 1 ?a ? 0? 关于 a 可线性分解,求 a 的取值范围; (Ⅲ)证明不等式: ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? e
2 n ? n ?1?

?n ? N ? .
?

4

黄冈高中、黄石二中、鄂州高中三校 2013 十一月联考文科数学答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把答案填在答题卡上. 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 C 5 B 6 D 7 C 8 B 9 A 10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请把答案填在答题卡上. 11. 0 15. 3 12. 16.

[?4,? 2)

13. 17.

(??,?2)

14.

1 ?z?4 4

3 2

[?

17 ,??) 12

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请
把答案填在答题卡上. 18.解: (I)由正弦定理,得:

2sin B ? sin C cos C ? sin A cos A 即 2sin B cos A ? sin A cos C ? sin C cos A 故 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B ……………………4 分 1 ? sin B ? 0,? cos A ? 2
所以 A ?

?

(II)? A ?

?
3

3

…………………………………………6 分

2 2 ? B ? C ? ? 且B ? (0, ? ) 3 3

…………………………8 分

? y ? 3 sin B ? sin(C ? ) ? 3 sin B ? sin( ? B) 6 2 ? 3 sin B ? cos B ? 2sin( B ? ) 6
…………………10 分

?

?

?

2 ? ? 5 ? 1 ? B ? (0, ? ), B ? ? ( , ? ),? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 6 6 6 6 2 所以所求函数值域为 (1, 2] ………………12 分
19.【答案】 (本小题 12 分) 解(1)? AC ? BC ,又 D 为 AB 的中点 ? CD ? AB ,又 EF // AB ? EF ? CD ……2 分 在空间几何体 C ? A1 BD 中,

GE1 // DA1 ,则 GE1 // 平面 A1 BD

GF // DB ,则 GF // 平面 A1 BD

5

?平面 E1GF //平面 A1 BD
? E1 F // 平面 A1 BD ……6 分
(2)∵二面角 A1 ? CD ? B 为直二面角,?平面 A1CD ? 平面 BCD

? A1 D ? CD ,? A1 D ? 平面 BCD ,……8 分 A1 F 在平面 BCD 内的射影为 DF ,

A1 F 与平面 BCD 所成角为 ?A1 FD ,? ?A1 FD ? 60 ? ……10 分
由于 A1 D ?

3 , ? DF ? 1 ? CD ,? ?DCF ? 60 ?

?CF ? 1…………12 分
20. (1)

由a1 ? 1, an ?1 ?

an (n ? N * )知 an ? 3

? 1 1? 1 1 ? ? 3? ? ? an ?1 2 ? an 2 ? 1 1 3 ? 1 1? 3 ? ? ,? ? ? ? 是以 为首项, 3为公比的等比数列 a1 2 2 ? an 2 ? 2 1 1 3 3n 2 ? ? = ? 3n ?1 ? ,? an ? n an 2 2 2 3 ?1 又
---------------------------6 分 (2) bn ?

n

2 n?1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 0 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n?2 ? n ? n?1 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 两式相减得 ?    1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n?1 ? n ? n , 1? 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? n ? n ? 2 ? n 2 2 2 2 2 2 2 n?2 ? Tn ? 4 ? n?1 ---------------------------9 分 2 2 ? (?1) n ? ? 4 ? n ?1 2 2 若 n 为偶数,则? ? ? 4 ? n ?1 ,? ? ? 3 2

6

若 n 为奇数,则? ?? ? 4 ?

2 2 n?1

,? ?? ? 2,? ? ? ?2

? ?2 ? ? ? 3 ---------------------------13 分

6分

9分

12 分

---------------------------14 分 22.解: (Ⅰ)函数 f ?x ? ? 2 ? x 的定义域是 R,若是关于 1 可线性分解,
x 2

则定义域内存在实数 x 0 ,使得 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? . 构造函数 h?x ? ? f ?x ? 1? ? f ?x ? ? f ?1? ? 2
x ?1

? ?x ? 1? ? 2 x ? x 2 ? 2 ? 1
2

? 2 2 x ?1 ? x ? 1 .
∵ h?0? ? ?1 , h?1? ? 2 且 h ? x ? 在 ?? 1,1? 上是连续的, ∴ h ? x ? 在 ?? 1,1? 上至少存在一个零点. 即存在 x 0 ? ?? 1,1? ,使 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? . …………………………… 4 分

?

?

7

(Ⅱ) g ? x ? 的定义域为 ?0,??? . 由已知,存在 x0 ? 0 ,使 g ?x0 ? a ? ? g ?x0 ? ? g ?a ? . 即 ln ?x0 ? a ? ? a?x0 ? a ? ? 1 ? ln x0 ? ax0 ? 1 ? ln a ? a ? 1 .
2

整理,得 ln ?x0 ? a ? ? ln x0 ? ln a ? 1 ,即 ln ?x0 ? a ? ? ln(ax0 e) .

a . ae ? 1 a 1 由 x0 ? ? 0 且 a ? 0 ,得 a ? . ae ? 1 e
∴ a ? x0 ? ax0 e ,所以 x0 ? ∴a 的取值范围是 ? ,?? ? .

?1 ?e

? ?

………………………………………… 9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,a =1, g ?x ? ? ln x ? x ? 1 , g ?( x ) ?

1 1? x . ?1 ? x x

8


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