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3.4生活中的优化问题举例

时间:2017-07-01


3.4生活中的 优化问题举例
高二数学 选修1-1

第三章

导数及其应用

一、如何判断函数函数的单调性?
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导, f(x)为增函数 f(x)为减函数

二、如何求函数的极值与最值?
求函数极值的一般步骤
(1)确定定义

域 (2)求导数f’(x)

(3)求f’(x)=0的根 (4)列表 (5)判断

求f(x)在闭区间[a,b] 上的最值的步骤:

(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值; (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b) 比较,从而确定函数的最值。

生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、效率最高等问题,这 些问题通常称为优化问题.通过前 面的学习,我们知道,导数是求 函数最大(小)值的有力工具, 本节我们运用导数,解决一些生 活中的 优化问题.

例1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各 空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的 尺寸,才能使四周空白面积最小?

x

分析:已知版心的面 积,你能否设计出版心 的高,求出版心的宽, 从而列出海报四周的面 积来?

图3.4-1

解 : 设版心的高为xdm, 则版心的宽为

128 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 x 512 ? 2x ? ? 8, x ? 0 x
512 求导数,得S ( x) ? 2 ? 2 x
'

128 dm, 此时四周空白面积为 x
你还有其他解法 吗?例如用基本 不等式行不?

令:S ' ( x) ? 2 ?

512 ?0 2 x

解得:x ? 16,x ? ?16 (舍)

128 128 于是宽为: ? ?8 x 16

当x ? ? 0,16?时,s' ? x ? ? 0;

当x ??16, ???时,s' ? x ? ? 0.

因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以, 当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最 小。

解法二:由解法(一)得
512 512 S ( x) ? 2 x ? ? 8 ? 2 2x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72
512 当且仅当2x ? , 即x ? 16( x ? 0)时S 取最小值 x

128 此时y= ?8 16

答:应使用版心宽为8dm,长为 dm,四周空白面积最小 16

问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗? ? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本 是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出售1ml的 饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm,(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的 利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是 ∴每瓶饮料的利润:
4 3 y ? f (r ) ? 0.2 ? p r ? 0.8p r 2 3 3

令f ' (r ) = 0.8π r - 2r )? 0,得r = 2 (
r f '(r) f (r) (0,2)

r 2 = 0.8π( - r ) 3 2

(0 ? r ? 6)
2 0 -1.07p (2,6]

减函数↘

+
增函数↗

当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 即半径越大,利润越高; 当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低. 1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f (2) ? 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大

y
从图中,你 还能看出什 么吗?

r 2 f (r ) ? 0.8p ( ? r ) 3

3

2

o

3

r

从图中可以看出: 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0, 2、当半径为6cm时,利润最大。

问题3、磁盘的最大存储量问题 (1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的 吗? (2) 你知道磁盘的结构吗? (3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息?

例3:现有一张半径为R的磁盘, 它的存储区是半径介于r与R的 环行区域。 (1)是不是r越小,磁盘的存

R r

储量越大? (2) r为多少时,磁盘具有最大存储量

(最外面的磁道不存储任何信息)?

解:存储量=磁道数×每磁道的比特数
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m,且最外面的磁道不存储人何信息,所以 R?r 磁道最多可达 , 又由于每条磁道上的比特数相 m 同,为获得最大的存储量,最内一条磁道必须装满,即 2pr .所以,磁道总存储量 每条磁道上的比特数可达到 n

R ? r 2pr 2pr f ?r ? ? ? ? r ?R ? r ?. m n mn

(1)它是一个关于r的二次函数,从函数的解析式上可 以判断,不是r越小,磁盘的存储量越大.

(2)为求 f ?x ? 的最大值,计算
'

f ' ?r ? ? 0,

2p ?R ? r ?, f ?r ? ? mn



f

'

?r ? ? 0
R r? 2

解得

R R ' 当r ? 时, f ?r ? ? 0;当r ? 时, f ' ?r ? ? 0, 2 2
R 因此,当 r ? 时,磁道具有最大的存储量,最大 2

pR 2 存储量为

2m n

.

由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的 基本思路是:
优化问题 用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。

练习:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去
相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成 一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱 子容积最大?最大容积是多少?
x
x x
60

x

60

解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
3 2 令V ?( x ) ? 60x ? x ? 0 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 2 16000.

由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.

答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.

练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高与底半径,使得所用材料最省? 解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
V R 则h ? . pR 2 V ? S ( R ) ? 2pR ? 2 ? 2pR 2 ? 2V ? 2pR 2 . pR R 2V ?( R ) ? ? 2 ? 4pR ? 0. 解得R ? 3 V . 由S R 2p
h

又V=πR2h(定值),

V V 3 从而h ? ? 2? 2 pR 2p

即h=2R.

可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.

练习3 如图,在二次函数 y 2的图象与x轴所 f(x)=4x-x 围成的图形中有一个内接 矩形ABCD,求这 个矩形的 最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 ? 2 ? . S?( x) ? 6 x ? 24x ? 16. 令 S ?( x ) ? 0 ,得x1 ? 2 ?

? x1 ? (0,2), 所以当 x ? 2 ? 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 ? 2 9

2 3

3 32 3 ? . 9

3

练习4:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.
解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
1 设 x ? 1 ? cos? , y ? sin? ,由x,y为正实数得: 0 ? ? ? p . 2 1 ? xy ? (1 ? cos? ) si n? . 2 1 设 f (? ) ? (1 ? cos? ) si n? . 2

1 1 2 f ?(? ) ? [? sin ? ? (1 ? cos? ) cos? ] ? (cos? ? 1)(cos? ? ). 2 2 1 p f ?(? ) ? 0,得 cos? ? ?1, cos? ? ;又 0 ? ? ? p ,?? ? . 令 2 3 3 3 p 3 3 . ,又f(0)=f(π)=0,?[ f (? )]max ? f( )? 8 3 8 3 3 3 3 . 故当 x ? , y ? 时, ( xy)max ? 2 4 8

1 1 2 2 练习5:证明不等式: ln x ? ? ( x ? 1) ? 1 ? (1 ? x )3 ( x ? 0). x 2 3 1 1 2 2 f ( x ) ? ln x ? ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)3 ( x ? 0). 证:设 x 2 3 1 1 2 3 2x ? 1 则 f ?( x ) ? ? 2 ? ( x ? 1) ? 2( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 2 , x x x

令 f ?( x ) ? 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f ?( x ) ? 0 ;x>1时, f ?( x ) ? 0 ,所以x=1是f(x)的 极小值点. 所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
1 1 l n x ? ? ( x ? 1) 2 从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即: x 2

2 ? 1 ? (1 ? x )3 成立. 3


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