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2011全国高中数学联赛决赛模拟题1


2011 全国高中数学联赛决赛模拟题 1

2011 年全国高中数学联赛 一 试

(10 月 16 日 8:00-9:20)
一、
1.

填空题( 填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分)
2

对 一 切 实 数 x, 若 二 次 函 数 f ( x) = ax

+ bx + c( a < b) 的 值 恒 为 非 负 数 , 则

2. 3.

a+b+c 的最小值为 b?a 3 2 1 π 4 设 f ( x ) = x ? x ? x + 1 ,则 f (cos ) = 4 8 7 M= (1 + x + x 2 + ? + x p ?1 ) p +1 展开式为 a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ? + a p 2 ?1 x p
不小于 3 的素数.则 a 0 + a p + a 2 p + ? + a p 2 ? p 的值为
2

?1

.其中 p 是一个

4.

已知

sin( β + γ )sin(γ + α ) 4 sin( β + γ ) sin(γ + α ) = ,则 = cos α cos β 9 cos(α + β + γ ) cos γ

5.

已知 ?ABC 的三边长分别为 a、b、c 且 b > max{a,c},有 3 个非零实数 x 0,y 0,z 0 满 足直线 ax + by + c = 0 过点 (

z 0 2 y0 z x y2 , ) ,且有点 ( 0 , 0 ) 在椭圆 x 2 + = 1 上,则函数 x0 x0 y0 y0 4

f ( B,C ) = tan B ? cot C 的最大值是
6. 考虑复平面内由所有满足下述条件的点 Z 构成的区域 A : 于 0 和 1 之间(包括 0 和 1 ),那么 A 的面积为___________ 7. 棱长为 2 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 在空间移动,但始终保持 A、B 分别在 x 轴、 y 轴 上移动,则点 C1 到原点 O 的最远距离为______________. 8. 设 a 为方程 x - 3 x + 1 = 0 的最大正根,则 [a 2011 ] 被 17 除的余数为_________
3 2

z 40 和 的实部和虚部都介 40 z

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2011 全国高中数学联赛决赛模拟题 1

二、

解答题(本题满分 56 分,其中 9 题 16 分,10 题、11 题 20 分) 解答题(本题满分 x2 y 2 + = 1 任意不同两点,动点 P 在以线段 P P2 为 1 a 2 b2

9.

设 a > b > 0 , P 、 2 分别为曲线 C : 1 P 直径的圆上.求 OP 的最大值

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10. 设 曲 线 C 为 y = x - 3 x , 直 线 l1 : y = 1 与 曲 线 C 三 个 交 点 的 横 坐 标 分 别 为

3

a1 , a2 , a3 (a1 < a2 < a3 ) 直 线 l2 : y =

3 与曲线 C 三个交点的横坐标分别为

b1 , b2 , b3 (b1 < b2 < b3 ) .求代数式 a1 - a2 + a3 - b12 - b2 2 + b32 的值.

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n

11. 已知 a 为正实数,实数 x1 , x2 ,...xn 满足
n

? x = 1 ,且满足
i i= 1

邋(a
i= 1 n

xi

n a+1 鬃 xi ) + n ? 2 xi a i= 1

 a
i= 1

n

xi



?
i= 1

xi 2 的取值范围.

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2011 年全国高中数学联赛 加 试

(10 月 16 日 9:40-12:10)
1.设 V ABC 的三条边 BC = a, CA = b, AB = c 满足 a 吵b

c , BE 、 CF 为

A

V ABC 的两条内角平分线. P 为 V AEF 内一点,R 、Q 分别为点 P 在 AB
R
和 AC 上的投影. 求证: PR + PQ + RQ < b .

Q F P E

B

C

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2.设正整数 n > 3 ,非负实数 a1 , a2 ,..., an 满足

a1 + a2 + ... + an = 2 ,
求代数式

a a1 a + 2 2 + ... + 2 n 的最小值. a2 + 1 a3 + 1 a1 + 1
2

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3.已知整数数列 {a0 , a1 , a2 ,...} 满足条件: (1) an+ 1 = 3an - 3an- 1 + an- 2 , n = 2,3,... . (2) 2a1 = a0 + a2 - 2 . (3)对任意的自然数 m ,存在自然数 k ,使得 ak , ak + 1 , ak + 2 ,...ak + m- 1 都为完全平方数. 试证:数列 {a0 , a1 , a2 ,...} 的所有项都是完全平方数.

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4. n 为 正 整 数 , S n = {( a1 , a2 ,..., a2n ) | ai = 0或1, #i 1

2 n } , 对 于 Sn 中 任 意 两 个 元 素

a = (a1 , a2 ,..., a2n ) 和 b = (b1 , b2 ,..., b2n ) ,令
2n

d ( a, b) =

?
i= 1

ai - bi .

若 A ? S n ,满足对 A 中任何两个不同的元素 a 、 b ,都有

d ( a , b ) ? 2 n- 1 ,
则称 A 为分散子集.求 Sn 的分散子集的元素个数的最大值.

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