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8.5 - 直线、平面垂直的判定与性质


§ 8.5
2014 高考会这样考 想. 复习备考要这样做

直线、平面垂直的判定与性质

1.考查垂直关系的命题的判定;2.考查线线、线面、面面垂直关系的

判定和性质;3.考查平行和垂直的综合问题;4.考查空间想象能力,逻辑思维能力和转化思 1.熟记、 理解线面垂直关系的判定与性质定理; 2.解题中规范使用

数学

语言,严格证题过程;3.重视转化思想的应用,解题中要以寻找线线垂直作为突破.

1

[难点正本 疑点清源] 1.两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直的性质定理, 即如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据,要过平面外一点 P 作平面的垂线, 通常是先作(找)一个过点 P 并且和 α 垂直的平面 β,设 β∩α=l,在 β 内作直线 a⊥l, 则 a⊥α. 2.两平面垂直的判定 (1)两个平面所成的二面角是直角; (2)一个平面经过另一平面的垂线.

1.一平面垂直于另一平面的一条平行线,则这两个平面的位置关系是__________. 2.△ABC 中,∠ABC=90° ,PA⊥平面 ABC,则图中直角三角形的个数是________.

3.α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同的直线,给出四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α,以其中三个论断作为条件,剩余的一个论断作为 结论,写出你认为正确的一个命题____________________________. 4. 设 a, b, c 是三条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 则 a⊥b 的一个充分条件是( A.a⊥c,b⊥c C.a⊥α,b∥α B.α⊥β,a?α,b?β D.a⊥α,b⊥α )

5.(2011· 辽宁)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中 不正 确的是 ( ) ..

A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

2

题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例1

3

探究提高 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质, 注意平面图形中 的一些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础.由于“线线垂直”、“线 面垂直”、 “面面垂直”之间可以相互转化, 因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而 展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在. (2012· 陕西)(1)如图所示,证明命题“a 是平面 π 内的一条直线,b 是 π 外的 一条直线(b 不垂直于 π),c 是直线 b 在 π 上的投影,若 a⊥b,则 a⊥c”为真;

(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).

如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD, AC⊥CD,∠ABC =60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE.

题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 (2012· 江苏)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC, CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.

求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

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(2011· 江苏)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平 面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

题型三 线面、面面垂直的综合应用 例3 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥DC, △PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

5

如图所示,已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正 方形,E 为线段 AD1 的中点,F 为线段 BD1 的中点, (1)求证:EF∥平面 ABCD; D1D (2)设 M 为线段 C1C 的中点,当 的比值为多少时,DF⊥平面 D1MB? AD 并说明理由.

6

题型四 线面角、二面角的求法 例4 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° , (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (2)证明 AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正弦值. PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.

探究提高

(1)求直线与平面所成的角的一般步骤:

①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的投影来完成; ②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解. (2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行,在一个半平面内找一点作另一个半平面的 垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可 得二面角的平面角. 2 3 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( 3 2 6 B. C. D. 3 3 3 解答过程要规范 典例:(12 分)如图所示,M,N,K 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的 中点. 求证:(1)AN∥平面 A1MK; (2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 审题视角 规范解答 证明 (1)如图所示,连接 NK. (1)要证线面平行,需证线线平行.(2)要证面面垂直,需证 线面垂直,要证线面垂直,需证线线垂直. )

A.

在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∵四边形 AA1D1D,DD1C1C 都为正方形,
7

∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD.[2 分] ∵N,K 分别为 CD,C1D1 的中点, ∴DN∥D1K,DN=D1K, ∴四边形 DD1KN 为平行四边形.[3 分] ∴KN∥DD1,KN=DD1, ∴AA1∥KN,AA1=KN. ∴四边形 AA1KN 为平行四边形.∴AN∥A1K.[4 分] ∵A1K?平面 A1MK,AN ∴AN∥平面 A1MK.[6 分] (2)如图所示,连接 BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB∥C1D1,AB=C1D1. ∵M,K 分别为 AB,C1D1 的中点,∴BM∥C1K,BM=C1K. ∴四边形 BC1KM 为平行四边形.∴MK∥BC1.[8 分] 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1B1⊥平面 BB1C1C, BC1?平面 BB1C1C,∴A1B1⊥BC1. ∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK. ∵四边形 BB1C1C 为正方形,∴BC1⊥B1C.[10 分] ∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面 A1B1C, B1C?平面 A1B1C, A1B1∩B1C=B1, ∴MK⊥平面 A1B1C. 又∵MK?平面 A1MK, ∴平面 A1MK⊥平面 A1B1C.[12 分] 温馨提醒 的流畅性. (2)本题证明常犯错误: ①定理应用不严谨.如:要证 AN∥平面 A1MK,必须强调 AN? 平面 A1MK. ②解题过程不完整, 缺少关键步骤, 如第(1)问中, 应先证四边形 ANKA1 为平行四边形. 第 (2)问中,缺少必要的条件,使思维不严谨,过程不流畅. (1)步骤规范是答题得满分的最后保证,包括使用定理的严谨性,书写过程 平面 A1MK,

方法与技巧 1.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α; m、n?α,m∩n=A? ? ??l⊥α; (2)判定定理 1: ? l⊥m,l⊥n ? (3)判定定理 2:a∥b,a⊥α?b⊥α; (4)面面平行的性质:α∥β,a⊥α?a⊥β; (5)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. 2.证明线线垂直的方法

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(1)定义:两条直线所成的角为 90° ; (2)平面几何中证明线线垂直的方法; (3)线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b; (4)线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b. 3.证明面面垂直的方法 (1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; (2)判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β. 4.转化思想:垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存 在,则可通过作辅助线来解决. 失误与防范 1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定 理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常 是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m 2.已知平面 α 与平面 β 相交,直线 m⊥α,则 A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 3.已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能出 现的是 A.l∥m,l⊥α
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)

(

)

( B.l⊥m,l⊥α

)

C.l⊥m,l∥α A.A′C′ B.BD

D.l∥m,l∥α ) C.A′D′ D.AA′

4.正方体 ABCD—A′B′C′D′中,E 为 A′C′的中点,则直线 CE 垂直于( 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

5. 如图,∠BAC=90° ,PC⊥平面 ABC,则在△ABC,△PAC 的边所在的直线中:与 PC 垂直的直线有________________;与 AP 垂直的直线有____________.

6 . 如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB; ③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 7.已知平面 α,β 和直线 m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m?α; ④α∥β.当满足条件________时,有 m⊥β.(填所选条件的序号) 三、解答题(共 22 分) 8.(10 分)如图所示,在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中,底面是等腰三角形, A1B1=A1C1,侧面 BB1C1C⊥底面 A1B1C1. (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM=MA1,求 证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.

9.(12 分)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CD、A1D1 的中点.

(1)求证:AB1⊥BF;

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(2)求证:AE⊥BF; (3)棱 CC1 上是否存在点 P,使 BF⊥平面 AEP?若存在,确定点 P 的位置,若不存在, 说明理由.

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.已知 l,m 是不同的两条直线,α,β 是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是 ( ) A.若 l⊥α,α⊥β,则 l∥β B.若 l∥α,α⊥β,则 l∥β C.若 l⊥m,α∥β,m?β,则 l⊥α D.若 l⊥α,α∥β,m?β,则 l⊥m 2.(2012· 浙江)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2,将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直 线进行翻折,在翻折过程中 A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 3.已知三棱锥 S-ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA 垂直于底面 ABC, SA=3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 3 5 7 3 A. B. C. D. 4 4 4 4 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两垂直,则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正确的个数是________. 5.在正四棱锥 P—ABCD 中,PA= 3 AB,M 是 BC 的中点,G 是△PAD 的重心,则在平 2 ( ) ( )

面 PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的直线有________条. 6.已知 a、b、l 表示三条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面,有下列四个命题: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 a∥b,则 α∥γ;

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②若 a、b 相交,且都在 α、β 外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=a,b?β,a⊥b,则 b⊥α; ④若 a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,l? α,则 l⊥α. 其中正确命题的序号是________.

9.(13 分)如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥BC,∠A1AC=60° ,A1A=AC=BC=1, A1B= 2.

(1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 中点,求证:BC1∥平面 A1CD.

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