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河北省邯郸市2018届高三1月教学质量检测数学(理)试题+Word版含答案

时间:2018-02-14


邯郸市 2018 届高三教学质量检测 数学(理科)试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? 2 ? 3i ,若 z 是复数 z 的共轭复数,则 z ? ( z ? 1) ? ( A. 15 ? 3i B. 15 ? 3i C. ?15 ? 3i )

D. ?15 ? 3i

2 2.已知集合 A ? ( x, y ) x ? 4 y , B ? ( x, y ) y ? x 则 A ? B 的真子集个数为(

?

?

?

?



A. 1

B. 3

C. 5

D. 7
^

3.已知变量 x , y 之间满足线性相关关系 y ? 1.3x ? 1 ,且 x , y 之间的相关数据如下表所示:

则 m?( A. 0.8

) B. 1.8 C. 0.6 ) D. 1.6

4.下列说法中,错误 的是( ..

A.若平面 ? / / 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? ? l ,平面 ? ? 平面 ? ? m ,则 l / / m B.若平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? ? l , m ? ? , m ? l ,则 m ? ? C.若直线 l ? ? ,平面 ? ? 平面 ? ,则 l / / ? D.若直线 l / / 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? ? m , l ? 平面 ? ,则 l / / m 5.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,抛物线上一点 M (2, m) 满足 MF ? 6 ,则 抛物线 C 的方程为( A. y ? 2 x
2

) B. y ? 4 x
2

C. y ? 8x
2

D. y ? 16 x
2

6.已知函数 f ( x ) ? ? 围为( )

?log a x, x ? 3 若 f (2) ? 4 ,且函数 f ( x ) 存在最小值,则实数 a 的取值范 ? mx ? 8, x ? 3

A. (1, 3]

B. (1, 2]

C. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ?

D. [ 3, ??)

7.已知 3 sin ? ? cos ? ?

4 ?? 5? ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? sin ? ? ? 3 3? 6 ? ?
C. ?

? ??( ?



A. 0

B.

4 3

4 3

D.

2 3


8.运行如图所示的程序框图,若输出的 S 的值为 250 ,则判断框中可以填(

A. n ? 5?

B. n ? 6 ?

C. n ? 7 ?

D. n ? 8?

9.现有 A , B , C , D , E , F 六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比 赛) ,第一周的比赛中, A , B 各踢了 3 场,C , D 各踢了 4 场, E 踢了 2 场,且 A 队与 C 队 未踢过, B 队与 D 队也未踢过,则在第一周的比赛中, F 队踢的比赛的场数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

10.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0b ? 0) 的左、右顶点分别为 A ,B ,点 F 为双曲线 C 的 a 2 b2

左焦点,过点 F 作垂直于 x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 C 于 P , Q 两点,连接

PB 交 y 轴于点 E ,连接 AE 交 QF 于点 M ,若 M 是线段 QF 的中点,则双曲线 C 的渐近
线方程为( ) B. y ? ? 5x C. y ? ?3x D. y ? ? 6 x

A. y ? ?2 2x

11.如图,网格纸上正方形的边长为 1 ,下图画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面 积为( )

A. 90 ? 36 2

B. 81 ? 36 2

C. 72 ? 45 2

D. 72 ? 36 2

12.已知函数 f ( x) ? x ln x ? 则实数 a 的取值范围为( A. [0, ??)

a ?1 ? ? 3 ,g ( x) ? x3 ? x2 , 若 ?x1 , x2 ? ? , 2 ? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , x ?3 ?
) C. [2, ??) 第Ⅱ卷(共 90 分) D. [3, ??)

B. [1, ??)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知向量 a , b 满足 a ? (3, ?) , b ? (? ?1, 2) ,若 a / / b ,则 ? ?

?

?

?

?

?

?



? x ? 2 y ? 0, y ?1 ? 14.已知实数 x , y 满足 ? x ? y , 则 的取值范围为 ? x ? 4 ? 3 y, x ? 3 ?
?
9m



? 1 ?2 15.已知 m ? ? 2? (cos x ? x 3 ? sin x) dx ,则 ? . ? x ? 的展开式中,常数项为 ? ?2 x ? 2 ? 16.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )( ? ? 0) ,若 f ( x ) 在区间 (? , 2? ) 上存在零点,则 w 的取值 4
范围为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

i n A? bs i n B (?c ? b )s i n 17.在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c , 且 as
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? 2sin C , a ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 18.已知数列 ?an ? 满足 an ? 0 , a1 ? 1 , n(an?1 ? 2an ) ? 2an . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

c

.

? an ? ? 3n ? 5? 的前 n 项和 Sn . ?n ?

? 19.如图所示,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC , ?CAB ? 45 , AB ? 2 2 ,点 E ,

F 分别是 AB1 AC 1 的中点.

(Ⅰ)求证: EF / / 平面 BB1C1C ; (Ⅱ)若二面角 C ? EF ? B1 的大小为 90 ,求直线 A1B1 与平面 B1EF 所成角的正弦值. 20.随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、 共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取 1000 人对共享产品对共享产品是否对 日常生活有益进行了问卷调查,并对参与调查的 1000 人中的性别以及意见进行了分类,得到 的数据如下表所示:
?

(Ⅰ)根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过 0.1% 的前提下,认为对共享产品的态度与 性别有关系? (Ⅱ)为了答谢参与问卷调查的人员,该公司对参与本次问卷调查的人员随机发放 1 张超市的 购物券,购物券金额以及发放的概率如下:

现有甲、乙两人领取了购物券,记两人领取的购物券的总金额为 Y ,求 Y 的分布列和数学期 望. 参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

临界值表:

21.已知椭圆 C :

? 1 14 ? x2 y 2 2 ? , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? , 且离心率为 .过点 ( 2, ? 2) ? 2 ? ? a b 2 ? 2 4 ?

的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 C 的右顶点,探究:kPM ? kPN 是否为定值,若是,求出该定值,若不是, 请说明理由.(其中, kPM , k PN 分别是直线 PM 、 PN 的斜率) 22.已知函数 f ( x) ? ln x ?

m . x

(Ⅰ)探究函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 f ( x) ? m ? 1 ? x 在 [1, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

邯郸市 2018 届高三教学质量检测 数学(理科) ·答案 一、选择题 1-5:ABBCD 二、填空题 13. ?2 或 3 三、解答题 17.(Ⅰ)由 a sin A ? b sin B ? (c ? b)sin C ,可得 a ? b ? c ? bc ,
2 2 2

6-10:ACBDA

11、12:DB

14. ? , ? 3 7

?1 9 ? ? ?

15. ?

21 16

16. ? ,

?1 1? ?5 ? ? ? ? , ?? ? ?8 4? ?8 ?

?b2 ? c2 ? a 2 ? bc ,? cos A ?
又? A ? (0, ? ) ,? A ?

b2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? , 2bc 2bc 2

?
3

.

(Ⅱ)若 sin B ? 2sin C ,则 b ? 2c ,由题意, A ? 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2 2

?
3

,a ? 3,

? c ? 1 ,? b ? 2 , ? S ?

1 1 ? 3 bc sin A ? ? 2 ?1? sin ? . 2 2 3 2

18.(Ⅰ)因为 n(an?1 ? 2an ) ? 2an ,故 an ?1 ? 设 bn ?

a a 2(n ? 1) an ,得 n ?1 ? 2 ? n ; n n ?1 n

an a b ,所以 bn?1 ? 2bn ,? a ? 0 ,? b ? 0 ,? n ?1 ? 2 又因为 b1 ? 1 ? 1 , n 1 bn
n ?1

所以数列 ?bn ? 是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列,故 bn ? 1 ? 2 故 an ? n ? 2
n?1

? 2n ?1 ?

an , n

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
n

an ? 3n ? 5 ? 2n ?1 ? 3n ? 5 , , n
1 n?1

故 Sn ? (2 ? 3?1 ? 5) ? (2 ? 3? 2 ? 5) ???? ? (2

? 3? n ? 5)

? (20 ? 21 ???? ? 2n?1 ) ? 3(1 ? 2 ???? ? n) ? 5n

? 2n ?

3n2 ? 7n ?1 . 2

19.(Ⅰ)连接 AC1 , BC1 ,则 F ? AC1 且 F 为 AC1 的中点, 又? E 为 AB 的中点,? EF //BC1 , 又 BC1 ? 平面 BB1C1C , EF ? 平面 BB1C1C ,故 EF / / 平面 BB1C1C . (Ⅱ)因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 CC1 ? 平面 ABC ,得 AC ? CC1 .因为

AC ? BC , ?CAB ? 45? ,

AB ? 2 2 ,故 AC ? BC ? 2 .以 C 为原点,分别以 CB ,CC1 ,CA 所在直线为 x 轴, y 轴,

z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设 CC1 ? 2? (? ? 0) ,则 E (1, 0,1) , F (0, ? ,1) , B1 (2, 2?,0) ,

???? ??? ? ??? ? CE ? (1,0,1) , EF ? (?1, ?,0) , FB1 ? (2, ?, ?1) .
取平面 CEF 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) ,

??

??? ? ?? ?? ? ?CE ? m ? 0 ? x ? z ? 0 由 ? ??? 得? :令 y ? 1 ,得 m ? (?,1, ?? ) , ? ?? ? ? EF ? m ? 0 ?? x ? ? y ? 0 ? 同理可得平面 B1EF 的一个法向量为 n ? (? ,1,3? ) ,

?? ? ? 二面角 C ? EF ? B1 的大小为 90? ,? m ? n ? ? 2 ? 1 ? 3? 2 ? 0 ,
解得 ? ?

? ? 2 3 2? ???? ? ??? ? 2 ,1, ,得 n ? ? ,又 A B ? AB ? (2,0, ?2) , ? 1 1 ? 2 2 ? 2 ? ?

? ???? ? n ? A1B1 ? ???? ? 6 设直线 A1B1 与平面 B1EF 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? n, A1 B1 ? ? ? ???? . ? ? 6 n A1B1
20.(Ⅰ)依题意,在本次的实验中, K 的观测值
2

k?

1000 ? (400 ? 200 ? 300 ?100) 2 ? 47.619 ? 10.828 , 700 ? 300 ? 500 ? 500

故可以在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为对共享产品的态度与性别有关系. (Ⅱ)依题意, Y 的可能取值为 40 , 70 , 100 , 且 P (Y ? 40) ?

3 3 9 3 1 3 1 1 1 ? ? , P(Y ? 70) ? 2 ? ? ? , P(Y ? 100) ? ? ? , 4 4 16 4 4 8 4 4 16

故 Y 的分布列为:

故所求的数学期望 E (Y ) ? 40 ?

9 3 1 ? 70 ? ? 100 ? ? 55 . 16 8 16

14 ? 1 ? 4a 2 ? 16b 2 ? 1 ? ? 21.(Ⅰ)依题意, ? a 2 ? b 2 ? c 2 解得 a ? 2 , b ? 1 , ? ?c ? 2 ? 2 ?a
x2 ? y 2 ? 1. 故椭圆 C的标准方程为 2
(Ⅱ)依题意, P( 2,0) .易知当直线 MN 的斜率不存在时,不合题意. 当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) , 代入 x ? 2 y ? 2 中,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4 2(k 2 ? k ) x ? 4k 2 ? 8k ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,由 ? ? 32(k ? k ) ? 4(1 ? 2k )(4 k ? 8k ? 2) ? 0 ,得 k ? ?

1 , 4

4k 2 ? 8k ? 2 4 2(k 2 ? k ) x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
故 kPM ? kPN ?

y1 y2 k ( x1 ? 2) ? 2 k ( x2 ? 2) ? 2 ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

4 2(k 2 ? k ) 2? ?4 2( x1 ? x2 ) ? 4 1 ? 2k 2 ?1 ? 2k ? 2 ? 2k ? 4k ? 8k ? 2 4 2(k 2 ? k ) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2? ?2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
综上所述, kPM ? kPN 为定值 1 . 22.(Ⅰ)依题意, x ? (0, ??) ,函数 f '( x) ?

1 m x?m ? ? 2 x x2 x ,

若 m ? 0 , f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; 若 m ? 0 ,当 x ? (0, m) 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? (m, ??) 时, f '( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 在 (0, m) 上单调递减,在 (m, ??) 上单调递增. (Ⅱ)依题意, f ( x) ? x ? m ? 1 ? 0 ,即 ln x ?

m ? x ? m ? 1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立. x

m 1 m x2 ? x ? m 令 g ( x) ? ln x ? ? m ? 1 ,则 g '( x ) ? ? 2 ? 1 ? , x x x x2
令 h( x) ? x2 ? x ? m ( x ? 1) ,则 h( x) 是 x ? [1, ??) 上的增函数,即 h( x) ? 2 ? m . ①当 m ? 2 时, h( x) ? 0 ,所以 g '( x) ? 0 ,因此 g ( x) 是 x ? [1, ??) 上的增函数, 则 g ( x) ? g (1) ? 0 ,因此 m ? 2 时, ln x ? ②当 m ? 2 时,令 g '( x) ?

m ? x ? m ? 1 ? 0 成立. x

x2 ? x ? m ? 0 ,得 h( x) ? x2 ? x ? m ? 0 , 2 x

求得 x1 ?

?1 ? 1 ? 4m ?1 ? 1 ? 4m , (由于 x ? 1 ,所以舍去 x2 ? ) 2 2
? 1 ? 4m ? 1 ? 1 ? 4m ? 1 ? 时, g '( x) ? 0 ,则 g ( x) 在 ?1, ? ? ? ? 上递减, 2 2 ? ? ?

当 x ? ?1,

? ?

当 x ??

? 1 ? 4m ? 1 ? ? 1 ? 4m ? 1 ? , ?? , ?? 时, g '( x) ? 0 ,则 g ( x) 在 ? ? ? ? ? ? ? 上递增, 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 4m ? 1 ? ? ? 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , 2 ?
m ? x ? m ? 1 ? 0 不可能恒成立. x

所以当 x ? ? 1,

因此 m ? 2 时, ln x ?

综合上述,实数 m 的取值范围是 ( ??, 2] .


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