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绵阳市高2012级第二次诊断性考试数学理科答案


绵阳市高 2012 级第二次诊断性考试

数学 ( 理工类 ) 参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CDADC BBADC 10 .提示:问题转化为 f ( x) max ? 1.由 f ?( x) ? 3ax 2 ? 3b ? 3(ax 2 ? b)(a ? 0 ,b ? 0) ,

/>b b 得 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? ? ,f ?( x) ? 0 ? x ? ? , a a
即 f ( x ) 在 (0 , ? ①当 ?

b b ) 递增,在 ( ? , ? ? ) 递减, a a

b ? 1 ,即 b ? ? a 时, f ( x) min ? f (0) ? 0,f ( x) max ? f (1) ? a ? 3b ? 1 , a

?3b ? 1 ? a, 1 即? ? 3b ? 1 ? b ? b ? . 2 ?? a ? b,
②当 ?

b ? 1 即 b ? ? a 时, a

? f (0) ? 0, ? ?4b 3 ? ?a, 3 3 b b 3 ? ,此时 a ? ? . f ( x ) ? f ( ? ) ? 2 b ? ? 1 , ? ?b? ? ? max 2 a a 2 ?? a ? 3b, ? ? f (1) ? a ? 3b ? 0, ?
3 3 3 ,b? 代入检验正确 . 2 2 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
将a?? 11 .

7 2

12 . - 160

13 . ?

3 2

14 .

5 6

15 .①③

15 .提 示: ③ 法 一: f ( x) ? 1 ? x 2 和 g ( x) ? ? x ? b(b ? 2 ) 是 (- 1 , 1 ) 上 的“ 接 近 函数”,
2 2 1) 使 ? x ? b ? 1 ? x ? 1 ? b ? ( 1 ? x ? x ? 1) max , 结合图形, ?x ? (?1,

令 h( x) ? 1 ? x 2 ? x ? 1 , (?1 ? x ? 1) , h?( x) ? 1 ? 即 x ? (?

x 1? x2

?0? x??

2 , 2

2 2 2 , ) 时, h?( x) ? 0 ; x ? ( , 1) 时, h ?( x) ? 0 . 2 2 2 2 ) ? 2 ?1. 2

所以 h( x) m a x ? h(

数学(理工类)答案第1页(共 7 页)

法 二 : 数 形 结 合 求 出 直 线 和 半 圆 相 切 时 切 点 P(

2 2 , ) ,当直线和圆在 2 2

P(

2 2 , ) 的“竖直距离”为 1 时, b ? 2 ? 1 . 2 2

ln x ? ?) 上的“远离函数”, ? 2ex 与 g ( x) ? x 2 ? a ? e 2 是 [1, x ? ?) , 即 ?x ? [1 ,
④若 f ( x) ?

ln x ln x ln x ? ( x ? e) 2 ? a ? ? 1. ? 2ex ? x 2 ? a ? e 2 ? x 2 ? a ? e 2 ? 2ex ? x x x
2 ? ? ) 递增, 令P 1 ( x ) 在 ( ?? ,e) 递减,在 (e, 1 ( x) ? ( x ? e) ? a ,则 P

∴ P 1 ( x) min ? P 1 (e) ? a ; 令 P2 ( x ) ?

ln x 1 ? ln x ? ?) 递 , P2? ( x ) ? , 易 得 P2 ( x ) 在 (??,e) 递 增 , 在 (e, x2 x
1 1 1 ,∴ a ? ? 1 ? a ? 1 ? . e e e

减,∴ P2 ( x) max ? P2 (e) ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16 . 解: ( Ⅰ) 设所选取的 2 人中至少有 1 人为“满意观众”的事件为 A ,则 A 为所 选取的人中没有 1 人为“满意观众”, ∴ P ( A )=1 - P ( A )=1 2 C4 2 C12

=1 -

1 10 = , 11 11

即至少有 1 人为“满意观众”的概率为

10 . ???????????? 4 分 11 8 2 (Ⅱ) 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为 ? ,即从观看此影 12 3 2 1 片的“满意观众”的概率为 ,同理,不是“满意观众”的概率为 .? 6 分 3 3
2 1 2 1 4 1 1 2 2 , P ( ξ =1)= C3 ? ? ( )2 = , P ( ξ =2)= C3 ? ( )2 ? = , 9 3 3 27 3 3 9 8 , 27
ξ P 0 1 2 3

由题意有 ξ =0 , 1 , 2 , 3 ,则

1 3 3 2 3 P ( ξ =3)= C3 ( ) = 3
0 P ( ξ =0)= C3 ( )3 =

∴ ξ 的分布列为

1 27

2 9

4 9

8 27

??????????????????????? 10 分 ∴ ξ 的数学期望 E ξ =0×

2 4 1 8 +1× +2× +3× =2 .????????? 12 分 9 9 27 27

数学(理工类)答案第2页(共 7 页)

17 . 解: ( Ⅰ) 如图,连结 AC 、 BD 交于 O ,连结 OE . 由 ABCD 是正方形,易得 O 为 AC 的中点,从而 OE 为△ PAC 的中位线, ∴ EO // PA . ∵ EO ? 面 EBD , PA ? 面 EBD , ∴ PA // 面 EBD .???????????????????????? 4 分 ( Ⅱ ) 由已知 PD ⊥底面 ABCD ,得 PD ⊥ AD , PD ⊥ CD . 如图,以 DA , DC , DP 所在直线为坐标轴, D 为原点建立空间直角坐标系. 设 AD =2 ,则 D (0 , 0 , 0) , A (2 , 0 , 0) , P (0 , 0 , 2) , E (0 , 1 , 1) , B (2 , 2 , 0) , PB = (2 , 2 , - 2) , DA ? (2 , 0 , 0) .????????????? 6 分 设 F ( x 0 , y 0 , z 0 ) , PF ? ? PB ,则由 PF =( x 0 , y 0 , z 0 - 2) ,
z P E F D O A B C y

? x0 ? 2?, ? 得 ( x 0 , y 0 , z 0 - 2)= λ (2 , 2 , - 2) ,即得 ? y0 ? 2?, ? z ? 2 ? 2?, ? 0
于是 F (2 λ , 2 λ , 2 - 2 λ ) . ∴ EF =(2 λ , 2 λ - 1 , 1 - 2 λ ) . 又 EF ⊥ PB , ∴ 2? ? 2 ? (2? ? 1) ? 2 ? (1 ? 2? ) ? (?2) ? 0 ,解得 ? ? ∴ F ( , , ) , DF ? ( , , ) .

1 . 3

x

2 3

2 3

4 3

2 3

2 3

4 3

??????????????? 8 分

设平面 DAF 的法向量是 n 1 =( x , y , z ) ,

? ? DA ? n1 ? 0, ?2 x ? 0, 则? 即? 令 z =1 ,得 n 1 =(0 , - 2 , 1) . ? ? DF ? n1 ? 0, ? x ? y ? 2 z ? 0,
又平面 PAD 的一个法向量为 n 2 =(0 , 1 , 0) , ???????????? 10 分 设二面角 P - AD - F 的平面角为 θ , 则 cos θ =

n1 ? n 2 2 2 5 ? ? , 5 n1 n 2 5
2 5 . ??????????????? 12 分 5

即二面角 P - AD - F 的余弦值为

1 bc b2 ? c2 ? a 2 2 1 ? ? , 18 . 解 : ( Ⅰ) 由余弦定理得 cos A ? 2bc 2bc 4
则 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

15 . ??????????????????? 4 分 4

(Ⅱ)由 A + B + C = π 有 C = π - ( A + B ) ,
数学(理工类)答案第3页(共 7 页)

于是由已知 sin B +sin C =

10 10 得 sin B ? (sin A ? B) ? , 2 2 10 , 2

即 sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 将 sin A ?

15 5 15 10 1 cos B ? , cos A ? 代入整理得 sin B ? .①??? 7 分 4 4 2 4 4

根据 sin2 B ? cos2 B ? 1 ,可得 cosB ? ? 1 ? sin2 B . 代入①中,整理得 8sin 2 B - 4 10 sin B +5=0 , 解得 sin B ?

10 . ??????????????????????? 10 分 4

∴ 由正弦定理

a sin B a b 有b? ? ? sin A sin A sin B

1?

10 4 ? 6 . ?????? 12 分 3 15 4

19 . 解 : ( Ⅰ) ∵二次函数 f ( x) ? ∴ an≠0, ?

1 1 an ? x 2 ? (2 ?n ? an?1 ) ? x 的对称轴为 x = , 2 2

2? n ? an ?1 1 1 1 ? ,整理得 an ?1 ? an ? n ,????????? 2 分 1 2 2 2 2 ? an 2
n ?1

左右两边同时乘以 2

,得 2n ?1 an ?1 ? 2n an ? 2 ,即 2 n?1 an?1 ? 2 n an ? 2 ( 常数 ) ,

∴ {2n an } 是以 2 为首项, 2 为公差的等差数列, ∴ 2n an ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ,

2n n ? n ?1 . ??????????????????????? 5 分 n 2 2 1 2 3 n ?1 n (Ⅱ)∵ Sn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 , ① 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n , ② 2 2 2 2 2 2 1 1? n n 1 1 1 1 1 n 2 ? n , ① - ②得: Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n ? 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
∴ an ?

n?2 .?????????????????????? 8 分 2n ?1 n?3 n ? 2 n ?1 ∵ Sn ?1 ? Sn ? 4 ? n ? (4 ? n ?1 ) = n >0 , 2 2 2
整理得 Sn ? 4 ?
数学(理工类)答案第4页(共 7 页)

∴ 数列 { S n } 是单调递增数列.?????????????????? 10 分 ∴ 要使 S n <3 成立,即使 4 ?

n?2 <3 ,整理得 n +2> 2 n ?1 , n ?1 2
x2 y2 ? ? 1 ,焦点坐标为 ( c , 0) , a2 b2

∴ n =1 , 2 , 3 .???????????????????????? 12 分 20 . 解 : ( Ⅰ ) 设椭圆的标准方程为

?c 3 , ? ? 由题知: ? a 结合 a 2 = b 2 + c 2 ,解得: a 2 =3 , b 2 =2 , 3 ? 2 2 ? a ?b ? 5,
∴ 椭圆 E 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 . ??????????????? 4 分 3 2

(Ⅱ) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0), 由已知直线 MN 的方程为 y = kx +3 k +4 ,

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6, 联立方程 ? ? y ? kx ? (3k ? 4),
消去 y ,得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k (3k ? 4) x ? (27k 2 ? 72k ? 42) ? 0 , 于是 x 1 + x 2 = ?

27k 2 ? 72k ? 42 6k (3k ? 4) , x x = .① ????????? 7 分 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

又 P , M , H , N 四点共线,将四点都投影到 x 轴上, 则

PM PN

?

MH HN

可转化为

x1 ? 3 x0 ? x1 ? , x2 ? 3 x2 ? x0
???????????????? 10 分

整理得: x0 ?

2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) . 6 ? ( x1 ? x2 )

将①代入可得 x0 ?

2?

27k 2 ? 72k ? 42 ? 6k (3k ? 4) ? 3? 2 6k ? 7 2 ? 3k 2 ? 3k 2 ? , ? 6k (3k ? 4) 1 ? 2k 6? 2 ? 3k 2

?? 12 分

6k ? 7 2k ? 4 , ? (3k ? 4) ? 1 ? 2k 1 ? 2k 消去参数 k 得 x0 ? 2 y0 ? 1 ? 0 ,即 H 点恒在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上. ??? 13 分
∴ y0 ? kx0 ? (3k ? 4) ? k 21 . 解 :(Ⅰ) ∵ f ?( x) ? ax ? ∴ a =2 时, f ?( x) ?

1 ? 1 , x ∈ (0 , + ∞ ) , x

????????? 1 分

2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? =0 , x x

数学(理工类)答案第5页(共 7 页)

∴ 解得 x =

1 , x = - 1( 舍 ) . 2 1 . ???????????????????? 3 分 2

即 f ( x) 的极值点为 x 0 = (Ⅱ)

f ?( x) ? ax ?

1 ax 2 ? x ? 1 ?1 ? . x x

( 1 ) a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (0,1) 上是增函数 ;

a ? 0 时, 对二次方程 ax 2 + x - 1=0 , Δ =1+4 a ,
( 2 )若 1+4 a ? 0 ,即 a ? ?

1 时, ax 2 + x - 1<0 ,而 x >0 ,故 f ?( x) <0 , 4

∴ f ( x) 在 (0 , + ∞ ) 上是减函数. ( 3 )若 1+4 a >0 ,即 a > ? ①若 ?

? 1 ? 1 ? 4a 1 时, ax 2 + x - 1=0 的根为 x1, , 2 ? 2a 4

1 ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ? a <0 ,则 > >0 , 2a 2a 4

∴ 当 x∈(

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a , ) 时, ax 2 + x - 1>0 ,即 f ?( x) >0 ,得 f ( x) 2a 2a ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a , + ∞ ) 时, ax 2 + x - 1<0 ,即 ), ( 2a 2a

是增函数; 当 x ∈ (0,

f ?( x) <0 ,得 f ( x) 是减函数.
②若 a >0 ,

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a <0< , 2a 2a
? 1 ? 1 ? 4a ) 时, ax 2 + x - 1<0 ,即 f ?( x) <0 , 得 f ( x) 是减函数; 2a

∴ 当 x ∈ (0 , 当 x∈(

? 1 ? 1 ? 4a , + ∞ ) 时, ax 2 + x - 1>0 ,即 f ?( x) >0 得 f ( x) 是增函数. 2a

∴ 综上所述, a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (0,1) 上是增函数 当a?? 当?

1 时, f ( x) 在 (0 , + ∞ ) 上是减函数; 4

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a 1 < a <0 时, f ( x) 在 ( , ) 上是增函数,在 2a 4 2a

(0,

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ), ( , + ∞ ) 上是减函数; 2a 2a
数学(理工类)答案第6页(共 7 页)

当 a >0 时, f ( x) 在 (

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a , + ∞ ) 上是增函数,在 (0 , ) 上是 2a 2a

减函数.???????????????????????????? 7 分 ( Ⅲ ) 令 h( x) ? g ( x) ? f ?( x) ? ae x ? 于是 h ?( x) ? ae x ?

a ?1 ? 2(a ? 1) , x >0 , x

a ? 1 ae x ? x 2 ? (a ? 1) ? . x2 x2

令 p( x) ? ae x ? x 2 ? (a ? 1) ,则 p?( x) ? ae x ? x( x ? 2) >0 , 即 p ( x ) 在 (0 , + ∞ ) 上是增函数. ∵ p ( x )= - ( a +1)<0 ,而当 x → + ∞时, p ( x ) → + ∞, ∴ ? x 0 ∈ (0 , + ∞ ) ,使得 p ( x 0 )=0 . ∴ 当 x ∈ (0 , x 0 ) 时, p ( x )<0 ,即 h ?( x) <0 ,此时, h ( x ) 单调递减; 当 x ∈ ( x 0 , + ∞ ) 时, p ( x )>0 ,即 h ?( x) >0 ,此时, h ( x ) 单调递增, ∴ h( x) min ? h( x0 ) = ae x0 ?
2

a ?1 ? 2(a ? 1) .① x0

由 p ( x 0 )=0 可得 ae x0 ? x0 ? (a ? 1) ? 0 ,整理得 ae x0 ? 代入①中,得 h( x 0 ) =

a ?1 x0
2

,②???? 10 分

a ?1 x0
2

?

a ?1 ? 2(a ? 1) , x0 a ?1 x0
2

由 ? x ∈ (0 , + ∞ ) ,恒有 g ( x) ≥ f ?( x) ,转化为 因为 a >0 ,③式可化为 解得 ?

?

a ?1 ? 2(a ? 1) ≥ 0 ,③ x0

1 x0
2

?

1 ? 2 ≥ 0 ,整理得 2 x0 2 ? x0 ? 1 ≤ 0 , x0

1 ≤x0≤1. 2
2

再由 x 0 >0 ,于是 0< x 0 ≤ 1 .??????????????????? 12 分 由②可得 e x0 ? x0 ?
2

a ?1 . a

1] 是增函数, 令 ? ( x 0 ) = e x0 ? x0 ,则根据 p ( x ) 的单调性易得 ? ( x 0 ) 在 (0 ,
∴ ? (0) < ? ( x 0 ) ≤ ? (1) ,

a ?1 ≤e, a 1 1 解得 a ≥ ,即 a 的最小值为 .?????????????? 14 分 e ?1 e ?1
即 0<

数学(理工类)答案第7页(共 7 页)


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