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2010高三数学模拟试题

时间:2011-10-23


2010 高三数学模拟试题
(真题训练题) 丰县顺河中学刘素荣
2 1. 设 a ? b ? 0 , 那么 a ?

1 的最小值是 b( a ? b )

2.

.

2. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 向量 OB ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ? 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2

??? ?

. .

3. 函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ?x ? R ? 的最小值是

E 、 F 、G 4. 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 2, AA 1 ? AD ? 1 , 点
分别是棱 AA1 、 C1D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 5. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数 列,那么 x ? y ? z 的值为 . 6. 集合 A ? {x | x ? 3n, n ? N , 0 ? n ? 10} , 1 0.5 2 1

B ? { y | y ? 5m, m ? N , 0 ? m ? 6} ,则集
合 A ? B 的所有元素之和为 7. 设 cos 2? ? . .

x y z

2 4 4 ,则 cos ? ? sin ? 的值是 3

8. 等比数列 {an } 的首项为 a1 ? 2020 , 公比 q ? ? 则当 n ? 时, f ( n) 有最大值.

1 . 设 f ( n) 表示这个数列的前 n 项的积, 2

9. 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知 AB1 ? 4 , AD1 ? 3 ,则对角线 AC1 的取值范围是 10. 与圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为
2 2

.

11.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f (

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 2 x ? 2x ? 1

x 的取值范围为
A t aB n? 12 . 在 ?ABC 中 , 若 t a n ta An C t? an C tan, B t则 an

1

a 2 ? b2 ? _____________. c2
13.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= .

2 14..设集合 A ? x x ? [ x] ? 2 和 B ? x | x | ? 2 ,其中符号 [ x ] 表示不大于 x 的最大

?

?

?

?

整数,则 A ? B ?

.

15.已知函数 f ( x) ? ?2 x2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1 ,又 0 ? m ? n ,并且 x ?[m, n] 时, f ( x ) 的取值范围为 ? ,

?1 1 ? . 试求 m , n 的值. ?n m? ?

16. A 、 B 为双曲线

??? ? ??? ? x2 y 2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA ? OB ? 0 . 4 9

? (Ⅰ)求证: ???

??? ? ??? ? 1 1 ??? ? P AB 为定值; (Ⅱ)动点 在线段 上,满足 OP ? AB ? 0, ? | OA |2 | OB |2

求证:点 P 在定圆上. 17. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,?, xn , 当

? xi ? 0 时, 总有
i ?1

n

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn?1 ? x1 ).

18. 设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴 a 2 b2

垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , 使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的 取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. 19.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?3 ? an ? 3 , an? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 . 20. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,面 AAC 1 1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1 A1 ? AAC 1 1C , A 1B ? AB ? AC ? 1 .
ABC 的距离. 求证: (1) AA1 ? BC1 ; (2)求点 A 1 到平面
C A

B A1

B1

? x ? y ? 0, 21.设不等式组 ? 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0 ?x ? y ? 0

C1

2

和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 0) 的直线 l 与曲 线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.

2010 高三数学模拟试题(训练题)参考答案 11 23 1.4; 2.(- , ) ; 5 5 3. 2 ;解:令 t ?| cos x |? [0,1] ,则 y ? t ? | 2t 2 ?1| . 2 当

1 9 2 ? t ? 1 时, y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ,得 4 8 2

2 ? y ? 2; 2 2 9 ? y? . 2 8

当 0?t ?

1 2 9 2 2 时, y ? ?2t ? t ? 1 ? ?2(t ? ) ? ,得 4 8 2

又 y 可取到 4. VB1 ? EFG ?

2 2

, 故填

2 2



3 1 ;解:在 D1 A1 的延长线上取一点 H ,使 A1 H ? . 易证, HE || B1G , 8 4 9 HE || 平面 B1 FG . 故 VB1 ?EFG ? VE ?B1FG ? VH ?B1FG ? VG?B1FH .而 S ?B1FH ? ,G 到平面 8 3 B1FH 的距离为 1 . 故填 VB1 ? EFG ? . 8

5. 解 第一、二行后两个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5 ; 第三、四、五列中的 x ? 0.5 , y ? 6.225; 8.解: 7.

5 3 ,z ? ,则 x ? y ? z ? 1 . 16 16

11 18

前 n 项的积为 f ( n) ,注意到当 n ? 4k 或 4k ? 1 时, f (n) ? 0 ;

1 当 n ? 4k ? 2 或 4k ? 3 时,f (n) ? 0 .由 {an } 递减, a11 ? a1q10 ? 2020(? )10 ? 1 , | a12 |? 2

f (12) 1 1 1 1 ? a10 a11a12 ? (2020)3 ? (? )9 ? (? )10 ? (? )11 ? 1 , 所 ?| a1q11 |?| 2020(? )11 |? 1 . 又 2 2 2 2 f (9)
以 f (12) ? f (9) . 即当 n ? 12 时, f ( n) 有最大值.
2 2 2 2 9.解: 设 AB ? a , BC ? b , AA 1 ? c . 由题, a ? c ? 16 , b ? c ? 9 ,则

( AC1 )2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 16 ? 9 ? c2 ? 25 ? c2 . c2 ? (0,9) ,所以 ( AC1 )2 ? (16, 25) ,
3

AC1 ? (4,5) .
10. 解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以 (2, 0) 为焦点、 x ? ?2 为准线的抛物线上的

点;若切点是原点,则圆心在 x 轴负半轴上. 所以轨迹方程为 y 2 ? 8x ( x ? 0) ,或

y ? 0 ( x ? 0) .
11. x ?[?2, 1) ;解: 因为 lg x 2 ? 6 x ? 20 ? lg ( x ? 3) 2 ? 11 ? lg11 ? 1,所以

?

?

?

?

lg ? x 2 ? 6 x ? 20 ? ? 0 . 于是,由图象可知,

2x ?1 x?2 ? 1 ,即 ? 0 ,解得 x ?1 x ?1

?2 ? x ? 1 . 故 x 的取值范围为 x ?[?2, 1) .
12.解 切割化弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C ? ? , cos A cos B cos A cos C cos B cos C

亦即

sin A sin B sin( A ? B) sin A sin B cos C ab cos C ? ? 1 ,即 ? 1. ,即 2 sin C cos C sin C c2

所以,

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? 1 ?3. ,故 2c 2 c2

13. 解: 由于|sinα|≤1, |cosβ|≤1, 现 sinαcosβ=1, 故 sinα=1, cosβ=1 或 sinα =-1,cosβ=-1, ∴ α=2kπ+ ,β=2lπ 或 α=2kπ- ,β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+ 2 2

π

π

π
2

(k,l∈Z).∴ cos(α+β)=0.

14. ?1, 3 解

?

?

∵ | x | ? 2 , [ x ] 的值可取 ?2, ?1,0,1 .
2

当 [ x] ? ?2 ,则 x ? 0 无解; 当 [ x] ? 0 ,则 x ? 2 无解;
2

当 [ x] ? ?1 ,则 x ? 1 ,∴ x ? ?1 ;
2

当 [ x] ? 1 ,则 x ? 3 . ∴ x ? 3 .
2

所以 x ? ?1 或 3 . 15.解 由题

f ( x) ? ?2 ? x ? 1? ? 1 ,
2

1 ? 1 ,即 m ? 1 ,∴ f ( x) 在 [m, n] 上单调减, m 1 1 2 2 ∴ f (m) ? ?2 ? m ? 1? ? 1 ? 且 f ( n) ? ?2 ? n ? 1? ? 1 ? . m n
∴ f ( x) ? 1 ,∴
4

∴ m ,n 是方程 f ( x) ? ?2 ? x ? 1? ? 1 ?
2

1 2 的两个解, 方程即 ( x ? 1) ? 2 x ? 2 x ? 1? ? 0 , x
m ? 1, n ?

解方程,得解为 1 ,

1? 3 1? 3 , .∵ 1 ? m ? n , ∴ 2 2

1? 3 . 2

16 证 (Ⅰ)设点 A 的坐标为 ? r cos? , r sin ? ? , B 的坐标为 ? r 'cos? ', r 'sin ? '? , 则 r ?| OA | , r ' ?| OB | , A 在双曲线上,则 r ?
2

??? ?

??? ?

? cos 2 ? sin 2 ? ? 9 ? 4

? ? ?1. ?

所以,

1 cos 2 ? sin 2 ? ? ? . r2 4 9

由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 同理,

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

cos2 ? ' ? sin 2 ? , cos2 ? ? sin 2 ? ' .

1 cos 2 ? ' sin 2 ? ' sin 2 ? cos 2 ? ? ? ? ? , r '2 4 9 4 9

? 所以 ???

1 1 1 1 1 1 5 ?2 ? 2? 2? ? ? . ? ??? 2 r r' 4 9 36 | OA | | OB |

(Ⅱ)由三角形面积公式,得

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OP | ? | AB | ? | OA | ? | OB | ,所以

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OP |2 ? | AB |2 ? | OA |2 ? | OB |2 ,即 | OP |2 ? | OA |2 ? | OB |2

?

?

??? ? ??? ? ? | OA |2 ? | OB |2 .

2 ? 即 | OP | ? ? ???

??? ?

?

??? ? 2 ?1 1? ??? ? 2 ? 5 ? 1 1 ? ??? ? ? ? | OP | ? ? ? | OP | ? ? ? ? 1. ? ? ? 2 2 ?4 9? ? 36 ? ? | OA | | OB | ?
2

于是, | OP | ?

36 6 5 .即 P 在以 O 为圆心、 为半径的定圆上. 5 5

2 17.解: 当 n ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 0 ,得 x1x2 ? x2 x1 ? ?2x1 ? 0.

所以 n ? 2 时命题成立. 当 n ? 3 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,得

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ?

2 2 2 2 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 ) ?( x12 ? x2 ? x3 ) ? ? 0. 2 2

所以 n ? 3 时命题成立. 当 n ? 4 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ,得

x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ? ?( x2 ? x4 )2 ? 0 .
所以 n ? 4 时命题成立. 当 n ? 5 时, 令 x1 ? x2 ? 1,x4 ? ?2 ,x3 ? x5 ? ? ? xn ? 0 ,
5



? xi ? 0 .但是,
i ?1

n

?x x
n ?1

n

i i ?1

? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立.

综上可知,使命题成立的自然数是 n ? 2, 3, 4 . 18.解: 如图, 设线段 PQ 的中点为 M .过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则
R

y
Q

| MM ' |?

1 1 | PF | | QF | | PQ | (| PP ' | ? | QQ ' |) ? ( ? )? . 2 2 e e 2e

M‘ P’ P F

M O

x

假设存在点 R ,则 | RM |?

3 | PQ | , 2

且 | MM ' | ? | RM | , 即

| PQ | 3 3 . ? | PQ | ,所以, e ? 2e 2 3

于是, cos?RMM ' ?

1 | MM ' | | PQ | 2 1 , 故 cot ?RMM ' ? . ? ? ? | RM | 2e 3 | PQ | 3e 3e2 ? 1

若 | PF | ? | QF | (如图),则

k PQ ? tan?QFx ? tan?FMM ' ? cot ?RMM ' ?
3 时, 过点 F 作斜率为 3 1 3e 2 ? 1

1 3e 2 ? 1

.

当 e?

的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线

于 R , 由上述运算知, | RM |?

3 | PQ | . 故 ?PQR 为正三角形. 2 1 3e2 ? 1


若 | PF | ? | QF | ,则由对称性得 kPQ ? ?

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

e?(

3 1 ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ? . 3 3e 2 ? 1

19.解:由题设, an? 2 ? an ? 2 ,则

a2007 ? a2005 ? 2 ? a2003 ? 2 ? 2 ? ? ? a1 ? 2 ?1003 ? 2007 .

6



an?2 ? an ? 2 ,得 an ? an?2 ? 2 ,则 an?3 ? an ? 3 ? an?2 ? 2 ? 3 ? an?2 ? 1 (n ? 1) .

于是

a2007 ? a2006 ? 1 ? a2005 ? 1? 2 ? a2002 ? 3 ? 1? 2 ? a1999 ? 3? 2 ? 1? 2 ? ? ? a1 ? 3? 668 ? 1? 2 ? 2007 ,所以 a2007=2007.

易知数列 a1 ? 1 , a2 ? 2 , ? , an ? n 符合本题要求. 20. 证: (1)设 AA 1 B ? AB ,所以 BD ? AA 1 .因为面 1 中点为 D ,连 C 、 D . 因为 A

ABB1 A1 ? AA1C1C ,所以 BD ? 面 AA1C1C .
又 ?ACC1 为正三角形, AC1 ? C1 A1 ,所以 C1 D ? AA 1 . 从而 BC1 ? AA 1. (2) 由(1) ,有 BD ? C1D , BC1 ? CC1 , CC1 ? 面 C1DB .设 A1 到面 ABC 的 距离为 h ,则 hS ?ABC ? VB ?CAC1 ? VB ?CDC1 . 因为 VC ?C1DB ?

1 3

A E

S?C1DB 1 CC1 ? S ?C1DB ,所以 h ? . 又 C1D ? BD , 3 S?ABC B
2

C

且 2 S ?C1DB ? C1 D ? BD ? BD ?

3 .设 ?ABC 的高为 AE ,则 4
3 5 1 5 3 ? 1 ? , AE ? 1 ? ? ? , 2 2 4 2 8

BC 2 ? BC12 ? CC12 ? 2 BD 2 ? 1 ?

2S ?ABC ?

5 3 15 15 3 15 .于是有 h ? ,即 A1 到平面 ABC 的距离为 . ? ? ? 5 2 8 4 5 15 y

21. 解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示. 设动点为 P( x, y) ,则
2 2

x? y 2

?

x? y 2

? 2 ,即
O
2 2

x

x ? y ? 4 .由 P ? D 知 x ? y ? 0 , x ? y ? 0 ,即 x ? y ? 0 .

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? 0) . 所以 x ? y ? 4 ( x ? 0) ,即曲线 C 的方程为 4 4
2 2

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2 x ? x2 1 因 为 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 L 与 y 轴 相 切 , 所 以 半 径 r ? AB ? 1 ,即 2 2
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则以线段 AB 为直径的圆的圆心为 Q (
7

AB ? x1 ? x2 . 又曲线 C 的方程为
准线方程为 x ?

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? 0) ,则 F (2 2, 0) 为其焦点,相应的 4 4

2 ,离心率 e ? 2 .根据双曲线的定义可得,

AF x1 ? 2

?

BF x2 ? 2

? 2,


所以 AB ? AF ? BF ? 由①、②得

2( x1 ? 2) ? 2( x2 ? 2) ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 .

x1 ? x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 , 即 x1 ? x2 ? 4 ? 4 2 . 设 直 线 l 的 方 程 为

? x 2 ? y 2 ? 4, ? y ? k( x? 2 2 ,则有 ) ? ? ? y ? k ( x ? 2 2),
得 (1 ? k 2 ) x2 ? 4 2k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 . 此方程的判别式 ? ? 16(k 2 ? 1) ? 0 ,由题意知 此方程的两根恰为 x1 与 x2 ,且有 x1 ? x2 ? 得到 k ? 2 ? 1 ,因此 k ? ?
2

?4 2k 2 ?4 2k 2 ,所以 ? 4?4 2 , 1? k 2 1? k 2

2 ?1 .

8


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