nbhkdz.com冰点文库

常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题37 数列通项公式的求法


第 37 讲:数列通项的求法(归纳法、定义法、公式法、 累加法、累乘法)
【考纲要求】 1、 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) 。 2、掌握等差数列、等比数列的通项公式。 【基础知识】

2、定义法:若在已知数列中存在:错误!未找到引用源。的关系,可采用求等差数列、等 比数列的通项公式的求法,确定数列的通项 。 3、公式法:

若在已知数列中存在:错误!未找到引用源。的关系,可以利用错误!未找到 引用源。,求数列的通项。

[来源:学+科+网]

【方法 讲评】 方法一 使用情景 解题步骤 归纳法 已知数列的首项和递推公式 观察、归纳、猜想、证明。

例1 已 知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,求数列错误!未找到 引用源。的通项公式。

由此可猜测错误!未找到引用源。,往下用数学归纳法证明这个结论。 (1)当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,所以等式成立。 (2)假设当错误!未找到引用源。时等式成立,即错误!未找到引用源。,则当错误!未 找到引用源。时,

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 由此可知,当错误!未找到引用源。时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何错误!未找到引用源。都成立。

(1) 求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。

的通项公式,并证明你的结论 。 方法二 使用情景 解题步骤 公式法 已知数列是等差数列或等比数列 先求出等差(比)数列的基本量错误!未找到引用源。,再代入等差(比) 数列的通项公式。
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

例2 等差数列错误!未找到引用源。是递增数列,前 n 项和为错误!未找到引用源。, 且错误!未找到引用源。成等比数列,错误!未找到引用源。。 求数列错误!未找到引用源。的通项公式。

【点评】 :利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。 【变式演练 2】已知等比数列{an}中,a1=64,公比 q≠1,a2,a3,a4 又分别是某等差数列的第 7 项,第 3 项,第 1 项. (1)求 an; (2)设 bn=log2an ,求数列{|bn|}的前 n 项和 Tn. 方法三 使用情景 解题步骤 和差法 已知错误!未找到引用源。 利用公式错误!未找到引用源。求解。

例3 数列{错误!未找到引用源。}的前 n 项和为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引 用源。=1,错误!未找到引用源。 ( n∈错误!未找到引用源。),求{错误!未找到引用源。} 的通项 公式。 解:由错误!未找到引用源。=1,错误!未找到引用源。=2,当 n≥2 时错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。=3,因此{错 误!未找到引用源。}是首项为错误!未找到引用源。=2,q=3 的等比数列。故错误!未找 到引用源。=错误!未找到引用源。 (n≥2),而错误!未找到引用源。=1 不满足该式 所以错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。 。
[来源: 学_科_网 Z_X_X_K]

方法四 使用情景

累加法 在已知数列中相邻两项存在:错误!未找到引用源。的关系
[来源:学科网]

解题步骤

先给递推式错误!未找到引用源。中的错误!未找到引用源。从 2 开始赋值, 一直到错误!未找到引用源。,一共得到错误!未找到引用源。个式子,再 把这错误!未找到引用源。个式子左右两边对应相加化简,即得到数列的通 项。

例 4 在数列{错误!未找到引用源。}中,错误!未找到引用源。=1,错误!未找到引用 源。 (n= 2、3、4……) ,求{错误!未找到引用源。}的通项公式。 解:∵错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。这 n-1 个等式累加得:错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。 故错误!未找到引用源。 且错误!未找到引用源。也满足该式 ∴错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。).
[来源:学科网 ZXXK]

方法五

[来源:Zxxk.Com]

累乘法 若在已知数列中相邻两项存在:错误!未找到引用源。的关系 。 先给递推式错误!未找到引用源。中的错误!未找到引用源。从 2 开始赋值, 一直到错误!未找到引用源。,一共得到错误!未找到引用源。个式子,再把 这错误!未找到引用源。个式子左右两边对应相乘化简,即得到数列的通项。

使用情景 解题步骤

例 5 已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。 解:由条件知错误!未找到引用源。分别令 n=1,2,3, ……(n-1), 代入上式得(n-1) 个等式累乘之,即错误!未找到引用源。 又∵错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。
[来源:Z.xx.k.Com]

【高考精选传真】 1.【2012 高考真题辽宁理 14】已知等比数列{an}为递增数列,且错误!未找到引用源。 , 则数列{an}的通项公式 an =______________。

【反馈训练】 1.数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? an (n ? 2) ,而 a1 ? 1 ,则 an ? A. ( )

2 (n ? 1) 2

B.

2 (n ? 1)n

C.

2 2 ?1
n
*

D.

2 2n ? 1

2.数列{an } 中,a1=1,对于所有的 n ? 2 , n ? N 都有 a1 ? a2 ? a3 于 A.

an ? n2 ,则 a3 ? a5 ? 等
31 15

61 16

B.

25 9

C.

25 16

D.

3.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地, 称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成 为正方形数。下列数中及时三角形数又是 正方形数的是

A.289 4 .数列 {an } 中, a1 ? 1,

B.1024

C.1225

D.1378

an ?

an?1 (n ? 2) ,则数列{an}的通项公式是: 1 ? 3an?1
C.

A.

1 3n ? 2

B.

1 3n ? 2

1 2n ? 3

D.

1 2n ? 3

5.数列 {an } 中,若 S n ?

a1 (3n ? 1) (n ? N ? ) ,且 a4 ? 54 ,则 a1 的值是________. 2
2

6.数列 {an } 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ?

? 3n ?1 an ?
?

n ?1 (n ? N * ) ,则 an ? __________. 3

2 2 7.已 知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , ?n ? N , an ? 0 ,且 (n ? 1)an ? an an?1 ? nan ?1 ? 0 ,

则数列 {an } 的通项公式是 an ? ____ __。 8.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, an?2 ? 4an?1 ? 3an (n ? N * ). (1)求 a3 , a4 的值; (2)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (3)求数列 {an } 的通项公式; 9.已知数列{a n}的前 n 项 和为 S n ,且 Sn ? 2an ? 1 ,数列 {bn } 满足 b1 ? 2 , bn?1 ? an ? bn 求 an , bn 10.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 3n?1 ?1 (n ? N ? ) ,且 a4 ? 365 (1)求 a1 的值; (2)若数列 {

an ? t } 为等差 数列,求常数 t 的值; (3)求数列的 {an } 通项 3n

an 。
11.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n 都有 2Sn ? (n ? 2)an ?1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn ?
[来源:学,科,网]

1 1 ? ? a1 ? a3 a2 ? a4

?

1 ,求 Tn . an ? an? 2

求数列 {bn } 的通项公式; (3)求证: S n ?

1 4n ? 1 ? 1, n ? N * . 2

1 1 1 14.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, S3 与 S4 的等差中项与等 比中项分别为 1 与 S5,求 3 4 5 数列{an}的通项公式. 15.某人有人民币 1 万元,若存入银行,年利率为 6%;若购买某种股票,年分红利为 24%, 每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行. (1)问买股票多少年后,所 得红利才能和原来的投资款相等? (2)经过多少年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等?(精确到整年) (参考数据:lg 2≈0. 301 0 ,lg 3≈0.477 1,lg 1.06≈0.025 3)

用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1=2,b1=4,上述结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即:错误!未找到引用源。 , 那么,当 n=k+1 时,错误!未找到引用源。 . 所以当 n=k+1 时,结论也成立.由① ②,可知错误!未找到引用源。对一切正整数都成立. 【变式演练 2 详细解析】 (1)依题意有 a2-a4=3(a3-a4), 3 2 即 2a4-3a3+a 2=0,2a1q -3a1q +a1q=0, 2 即 2q -3q+1=0.∵q≠1,∴q=错误!未找到引用源。. n-1 故 an=64×(错误!未找到引用源。) ,

(2)bn=log2[64×(错误!未找到引用源。) ]=log22 =7-n, ∴|bn|=错误!未找到引用源。 n≤7 时,Tn=错误!未找到引用源。;n>7 时, Tn=T7+错误!未找到引用源。 =21 +错误!未找到引用源。, 故 Tn=错误!未找到引用源。 【变式演练 3 详细解析】 由错误!未找到引用源。 (n=1、2、3……)…①得错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。 所以错误! 未找到引用源。 =2 再错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 (n=2、 3…) … ② 将①和②相减得:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 整理得错误!未找到引用源。 (n=2、3…)因而数列{错误!未找到引用源。}是首项为错 误!未找到引用源。,q=4 的等比数列。即错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,因 而错误!未找到引用源。 。
[来源:Zxxk.Com]

n -1

7-n

因 为错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,故 错误!未找到引用源。 所以数列错误!未找到引用源。的通项公式为错误!未找到引用源。 【反馈训练详细解析】 1.【答案】B

4. 【答案】A 【解析】 法一:代入检验法,当 n ? 1 时,只有选项 A 满足 a1 ? 1 ,故选 A。 法二:由已知有 则

1 1 1 ? ? 3 ,则 { } 是首项为 1, 公差为 3 的等差数列, an an?1 an

1 ,即 an ? 1 ? 3n ? 2 3n ? 2 an

5. 【答案】2 【解析】因 a4 ? S 4 ? S3 ?

a1 (34 ? 1) a1 (33 ? 1) ? ? 27a1 ,则 27a1 ? 54 , 故 a1 ? 2 2 2

?2 n ?1 ? 6. 【答案】 an ? _ ? 3 ?3? n n ? 2 ?
【解析】错误!未找到引用源。(1) ,用已知的等式减去(1)得
[来源:学科网 ZXXK]

?2 n ?1 ? 错误!未找到引用源。,但是不适合错误!未找到引用源。所以 an ? _ ? 3 ?3? n n ? 2 ?
7. 【答案】 2 n 【解析】 错误!未找到引用源。

又 a1 ? 1适合上式,故 ?n ? N , an ?

?

3n ? 1 2

9. 【解析】解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ,得 a1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 , an ? 2an?1 ,则 故{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则 an ? 2n?1 由 bn?1 ? bn ? an ,得 bn?1 ? bn ? an ? 2n?1

an ?2 an ?1

?bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1
? 2 n ? 2 ? 2 n ?3 ? ? ? 2 0 ? 2 ? 1 ? 2n ?1 ? 2 ? 2n?1 ? 1,其中 n ? 2 1? 2
?

因为 b1 ? 2 适合上式,故 bn ? 2n?1 ? 1 ( n ? N ) 10. 【解析】 (1)? a4 ? 3a3 ? 80 ? 3(3a2 ? 26) ? 80 ? 27a1 ? 72 ? 78 ? 80 ? 27a1 ? 230

? 27a1 ? 230 ? 365,得 a1 ? 5
(2) 依题设 a1 ? 5 , a2 ? 3a1 ? 8 ? 23 , a3 ? 3a2 ? 26 ? 95 若数列 {

an ? t a ? t a1 ? t a3 ? t } 为等差数列,则 2 ? 2 ? ? , n 3 9 3 27

化简得: 4t ? 6a2 ? 9a1 ? a3 ? 138? 45 ? 95 ? ?2 ,则 t ? ? 经检验, t ? ?

a ?t 1 1 时, { n n } 为等差数列, 故 t ? ? 2 3 2

1 2

1 1. 【解析】 (Ⅰ) 在 2Sn=(n+2)an-1 中,令 n=1,求得 a1=1. ∵ 2Sn=(n+2)an-1,∴ 2Sn-1=(n+1)an-1-1. 当 n≥2 时,两式相减得:2(Sn-Sn-1)=(n+2)an-(n+1)an-1,
[来源:学科网]

即 2 an=(n+2)an-(n+1)an-1,整理得,

an n ?1 . ? an?1 n

12.【解析】 (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有

[来源:Z。xx。k.Com]

a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3
由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②
[来源:学科网]

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又

bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公 比为2的等比数列.
n?1

(II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2

,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列.[来源.网 .] ? 数列 { n n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 2 2 4 4 4

(2) 由 an ?

1 , 4n ? 3

Tn?1 T ? 2n ? 16n 2 ? 8n ? 3 2 an an?1

得 (4n ? 3)Tn?1 ? (4n ? 1)Tn ? (4n ? 3)(4n ? 1) ∴

Tn ?1 Tn ? ?1 4n ? 1 4n ? 3
Tn ? 1? n ?1 ? n 4n ? 3

则数列 {

Tn } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列。 4n ? 3



∴ Tn ? n(4n ? 3) ? 4n2 ? 3n 则 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? ∴ bn ? 8n ? 7 (3) a n ?

? 8n ? 7 ,又 b1 ? 1 适合此式

n?N *
∴ an ?

1 4n ? 3

2 2 4n ? 3

?

2 4n ? 3 ? 4n ? 1

?

4 n ? 1 ? 4n ? 3 2

∴ S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

1 ( 5 ? 1) ? ( 9 ? 5 ) 2 1 ? ? ? ( 4n ? 1 ? 4n ? 3 ) ? 4n ? 1 ? 1 2 1 ? 4n ? 1 ? 1 n? N * 2

14【解析】 设{an}的首项为 a1,公 差为 d. 1 1 1 ∵ S3 与 S4 的等差中项、等比中项分别为 1 与 S5, 3 4 5

1 1 (3a +3d)+ (4a +6d)=2, ? ?3 4 ∴? 1 1 (5a +10d) = (3a +3d)(4a +6d), ? ?25 12
1 1 2 1 1 1

[来源:Zxxk.Com]

? ?d=0, ∴? ?a1=1, ?

12 ? ?d=- , 5 或? ? ?a1=4.

12 32 n+ . 5 5 15. 【解析】 设该人将 1 万元购买股票,x 年后所得的总红利为 y 万元,则 2 x-1 y=24%+24%(1+6%)+24%(1+6%) +… +24%(1+6%) 2 x-1 x =24%(1+1.06+1.06 +…+1.06 )=4(1.06 -1). 5 x x (1)由题意,得 4(1.06 -1)=1,∴1.06 = . 4 两边取常用对数,得 5 xlg 1.06=lg =lg 5-lg 4=1-3lg 2. 4 1-3lg 2 1-3×0.301 0 ∴x= ≈ ≈4. lg 1.06 0.025 3 x x (2)由题意,得 4(1.06 -1)=(1+6%) , 4 x ∴1.06 = .解得 x≈5. 3 答 (1)买股票 4 年后所得的 红利才能和原来的投资款相等; (2)经 过大约 5 年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等. ∴数列{an}的通项公式为 an=1 或 an=-
[来源:Z*xx*k.Com]


常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题37 数列通项公式的求法

37 讲:数列通项的求法(归纳法、定义法、公式法、 累加法、累乘法)【考纲要求】 1、 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) 。 2、...

常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题38 数列通项的求法

常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析 专题38 数列通项的求法_数学_高中教育_教育专区。第 38 讲:数列通项的求法(构造法)【考纲要求 】 1、了解数列的概...

2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析_专题40_数列的求和方法

2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析_专题40_数列的...掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式 【基础知识】 1、数列的...

常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题01 集合的表示方法

常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析 专题01 集合的表示方法_数学_高中教育_教育专区。第 01 讲 :集合的表示方法【考纲 要求】 1、了解集合的含义、元素与...

2012-2013年高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题07 函数奇偶性的判断和证明

2012-2013年高中常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析 专题07 函数奇偶性的判断和证明_数学_高中教育_教育专区。非常好的一轮复习资料。2012-2013年高中常见题型...

高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题09 函数(一次函数等)模型及其应用

高中常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析 专题09 函数(一次函数等)模型及其应用 高考,数学高考,数学隐藏>> 第09 讲:函数模型及其应用【考纲要求】 1、了解指...

高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题19 二面角的求法

高中常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析 专题19 二面角的求法_高考_高中教育_教育专区。高考,数学第19 讲 :二面角的求法【考纲要求】 能用向量的方法解决二...

2012-2013年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题50 轨迹方程的求法

2012-2013年高中数学常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析 专题50 轨迹方程的求法_数学_高中教育_教育专区。大家网高考论坛 第 50 讲:轨迹方程的求法【考纲要...

2012-2013年高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题10 函数(指数函数等)模型及其应用

2012-2013年高中常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析 专题10 函数(指数函数等)模型及其应用_数学_高中教育_教育专区。非常好的一轮复习资料。2012-2013年高中...

2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题53 圆锥曲线常见题型解法

2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析 专题53 圆锥曲线常见题型解法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 53 讲:圆锥曲线常见题型解法【...