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2.1.2指数函数及其性质


情景设计

问题1 一尺之棰,日取其半,万世不竭
用x表示y的关系式是:
?1? y ? ? ? , x? N? ? 2?
x


设木棒原长为1个单位

截取次数x
剩余长度y


?1? ? ? ?2?
1

r />2
?1? ? ? ?2?
2


?1? ? ? ?2?
3


?1? ? ? ?2?
4




情景设计

问题2 细胞分裂问题
用x表示y的关系式是:

………… ………… ………… …………
分裂次数x 细胞个数y 1 2
1

3

4
3

2

2

2

2

2

4

… …

分析:

?1? y ? ? ? , x ? N? ? 2?

x

y ? 2 , x ? N?
x

这两个解析式的形式有什么共同特征?

1.等号左右两端:左端是因变量 y,
右端是幂的形式 2.自变量位置: 指数部分仅有自变量 x, 且幂的整体系数为 1

3.底数情况: 底数是正实数

指数函数的概念
函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫 做指数函数,其中x是自变量,函数的 定义域是R.
x

为什么要规定" a ? 0, 且a ? 1" 呢?

思考: 为什么要规定a>0,且 a≠1呢?
①若a=1, 则对于任何 x ? R, a x ? 1 是一个常量,没有研究的必要性.
x
?2

②若 a=0,则当x>0时,a 同 ①一样. 当x=-2时, a 无意义.
1 2 1 4 无意义.

③若a<0,如

a ,a

x f x ? a ( a ? 0, 且 a ? 1) ? ? 例1:已知指数函数 的

图象经过点 ? 3, ? ? ,求 f ? 0? , f ?1? , f ? ?3? 的 值. ? f ? x ? ? a x 的图象经过点 ? 3, ? ? 解:
? f ?3? ? ?
?a ? ? ,
1 3

即a ? ? ,
3

? f ? x? ? ?

x 3

? f ? 0 ? ? ? 0 ? 1, f ?1? ? ? ? 3 ? , f ? ?3? ? ?
?1

1 3

?

1

?

思考:
研究初等函数性质的基本方法和步骤:

1、画出函数图象
列表 描点 连线

图形计算 器绘图

2、研究函数性质

①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它

指数函数的图象和性质 ?1?
和 y ??
x
-3
-2

y ? 2 探究1:用描点法画出指数函数 x
? 的图象. ?2? y x y 探究1:用描点法画出指数函
14

x

y
8
4

-1
0 1 2 3

2
1 0.5 0.25 0.125
-10

-3 1 ? ? x -2 数 y ? 2 和 y ? ? ? 的图象. ?2? -1
12 10 8

x

0.125
0.25

0.5
1 2 4
10

?1? y ?? ? ?2?
-5

x

6

0

4

y?2
5

x
x

1 2 3

2

8

-2

探究2:在同一直角坐标系内作出若干个
底数不同的指数函数 y ? a 同特征?
x

? a ? 0且a ? 1?

的图象.观察图象,你能发现它们有哪些共

用图形计算器展示下列四个函数图象

(1) y ? 2 ,(2) y ? 3
x
x

x

?1? ?1? (3) y ? ? ? ,(4) y ? ? ? ?2? ? 3?

x

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1

1 1

0

x

0

0 x

x

指数函数 图 象
y=1 y

y?a
y=ax
(a>1)

x

的图象及性质
0<a<1
y=ax
(0<a<1) (0,1)

a>1

y

y=1

(0,1)

当 x > 0 时,y 0 > 1. 当 x < 0 时,. 0< y < 1

x

当 x < 00 时,y > 1;x 当 x > 0 时, 0< y < 1。

定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质

在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数

随堂练习 巩固提高
比较下列各题中两个值的大小 (1)1.72.5
(2)0.8-0.1 (3)1.70.3

< < >

1.73;
0.8-0.2; 0.93.1.

深入探究

观察图象特征与底数关系:
y

在第一象限当x取同 一个数值时,函数值 随底数的增大而增大

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x y ? 2x

底数互为倒数, 图象关于y轴对 称
1 0
?1? y?? ? ? 3?
x

?1? y?? ? ? 2?

x

x

3.指数函数的图象和性质

小结
a>1
y
1

0<a<1
y

? 1、指数函数的概念; x x o o ? 2、指数函数图象的作法; x 函数 y ? a (a ? 叫 0, 且 a ? 1) (1)定义域 R ? 3 、指数函数的图象和性质 . ( 0 , + ∞) (2) 值域 做指数函数, 其中 x是自变量 . 列表 描点 连线 过定点 ( 0 , 1 ),即x=0时,y=1 性 (3)定点 或使用图形计算器 质 (4)单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
1

图 象

(5)函数值 的分布情 况

当x>0时,y>1 当x<0时,0<y<1

当x>0时, 0<y<1 当x<0时, y>1

课后实践:
教材59页A组: 第7题,第8题

谢 谢 , 再 见!


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