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二次函数中根的分布问题

时间:2013-10-07


一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况
2

设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ,
2

方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下面各

表(每种情况对应的均是充要条件)

表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 布 情 况
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

f ?0? ? 0

a

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?

a ? f ?0? ? 0



表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k k k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ?a ? f ? k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ?a ? f ? k ? ? 0 ?

a ? f ?k ? ? 0



表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ?m, n? 内 两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? ? f ? n? ? 0 ? f ? m? f ? n? ? 0 或? ? ? ? f ? p? ? 0 ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ?q? ? 0 ?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? ? f ? n? ? 0 ? f ? m? f ? n? ? 0 或? ? ? ? f ? p? ? 0 ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ?q? ? 0 ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论

——————

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0 ?

a


根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 ?m, n? 外,即在区间两侧 x1 ? m, x2 ? n , (图形分别如下) 需满足的条件是

(1) a ? 0 时, ?

? f ? m? ? 0 ? ; ? f ? n? ? 0 ?

(2) a ? 0 时, ?

? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0 ?

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在 ?m, n? 内有以下特殊情况:

1?

若 f ? m? ? 0 或 f ? n ? ? 0 , 则此时 f ? m??f ? n ? ? 0 不成立, 但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n ,
2

可以求出另外一根, 然后可以根据另一根在区间 ?m, n? 内, 从而可以求出参数的值。 如方程 mx ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 在区间 ?1,3? 上有一根,因为 f ?1? ? 0 ,所以 mx2 ? ? m ? 2? x ? 2 ? ? x ?1?? mx ? 2? ,另一根为 得

2 2 ,由1 ? ? 3 m m

2 ? m ? 2 即为所求; 3
方程有且只有一根,且这个根在区间 ?m, n? 内,即 ? ? 0 ,此时由 ? ? 0 可以求出参数的值,然后再将参数

2?

的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程

x2 ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 有 且 一 根 在 区 间 ? ?3, 0 内 , 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 : ① 由 f ? ?3??f ? 0? ? 0 即 ?

?14m ?15?? m ? 3? ? 0 得 出 ?3 ? m ? ? 14 ; ② 由 ? ? 0 即 16m2 ? 4 ? 2m ? 6? ? 0 得 出 m ? ?1 或 m ? 2 , 当
m ? ?1 时,根 x ? ?2 ? ? ?3,0? ,即 m ? ?1 满足题意;当 m ?
综上分析,得出 ?3 ? m ? ?

15

3

3 3 时,根 x ? 3 ? ? ?3,0? ,故 m ? 不满足题意; 2 2

15 或 m ? ?1 14

例 1、已知二次方程 ? 2m ?1? x2 ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。 解:由

? 2m ?1??f ?0? ? 0



? 2m ? 1 m ? 1? ?? ?

1 ,从而得 ? ? m ? 1 即为所求的范围。 0 2

例 2、已知方程 2x2 ? ? m ?1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。 解:由

??0 ? ?? m ? 1?2 ? 8m ? 0 ? ?m ? 3 ? 2 2或m ? 3 ? 2 2 ? ? ? ? m ? 1? ? ?0 ? ? m ? ?1 ? ? ? ?? 2?2 m?0 ? ? ? ? m?0 ? ? f ?0? ? 0 ?

0 ? m ? 3 ? 2 2 或 m ? 3 ? 2 2 即为所求的范围。
例 3、已知二次函数 y ? ? m ? 2? x ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实
2

数 m 的取值范围。 解:由

? m ? 2??f ?1? ? 0
2



? m ? 2??? 2m ?1? ? 0

? ?2 ? m ?

1 即为所求的范围。 2

例 4、已知二次方程 mx ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围。 解:由题意有方程在区间 ? 0,1? 上只有一个正根,则 f ? 0??f ?1? ? 0 ? 4? 3m ? 1? ? 0 ? m ? ? ? 求范围。 (注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 ? 0,1? 内,由 ? ? 0 计算检验,均不复合题 意,计算量稍大)

1 即为所 3


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