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江苏省宿迁市马陵中学2015届高三数学复习课件:3.3 导数的综合应用


§3.3

导数的综合应用

基础知识 自主学习
要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 f′(x);(2)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0;(3)根据(2)的结果确定函数 f(x)的单 调区间. 2.求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2) 求导数

f′(x); (3)解方程 f′(x) =0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右负,那 么 f(x)在 x0 处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值.

3.求函数 f(x)在闭区间[a,b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 f(x)在闭区间[a,b]内连续、可导; (2)求函数 f(x)在开区间(a,b)内的极值; (3)求函数 f(x)在[a,b]端点处的函数值 f(a),f(b); (4)比较函数 f(x)的各极值与 f(a),f(b)的大小,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 4.利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问 题的数学模型,写出相应的函数关系式 y=f(x); (2)求导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)判断使 f′(x)=0 的点是极大值点还是极小值点; (4)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问题中 作答.一般地,对于实际问题,若函数在给定的定义 域内只有一个极值点,那么该点也是最值点.

[难点正本 疑点清源 ] 运用导数不仅可以求解曲线的斜率,研究函数的单调性,确 定函数的极值与最值,还可利用导数研究参数的取值范围, 来讨论方程根的分布与证明不等式. 用导数研究参数的取值范围,确定方程根的个数,证明不等 式,其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题, 运用导数进行研究.

基础自测 1.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3- 10x+ 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的

(-2,15). 切线斜率为 2,则点 P 的坐标为________
解析 设 P(x0,y0)(x0<0),由题意知:
2 y? |x?x0 ? 3x0 ?10 ? 2,

?x2 0=4.?x0=-2,?y0=15. ?P 点的坐标为(-2,15).
2.奇函数 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx 在 x=1 处有极值,则 3a+b +c 的值为 0 .

3.若函数 f(x)=x+asin x 在 R 上递增,则实数 a 的取值范 围为________ [-1,1] .

解析 ≧f′(x)=1+acos x, ?要使函数 f(x)=x+asin x 在 R 上递增,则 1+a cos x≥0 对任意实数 x 都成立. ≧-1≤cos x≤1, ①当 a>0 时,-a≤acos x≤a,?-a≥-1,?0<a≤1; ②当 a=0 时适合; ③当 a<0 时,a≤acos x≤-a,?a≥-1,?-1 ≤a<0. 综上,-1≤a≤1.

x2 4.经过点(3,0)的直线 l 与抛物线 y= 交于两点,且两个 2 交点处的切线相互垂直,则直线 l 的斜率 k=
1 -6

.

解析 设直线 l 的斜率为 k,则其方程为 y=k(x-3),设 直线 l 与抛物线的两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), x2 ? ?y= , 2 由? 得 x2-2kx+6k=0, ? ?y=k(x-3), 所以 x1x2=6k. ?x2? ≧y′=? 2 ?′=x, ? ? ?抛物线在 A、B 两点的切线的斜率分别为 x1,x2,于是 1 有 x1x2=6k=-1,故 k=-6.

5.若函数 f(x)=x3-3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的 取值范围是(-2,2) .
解析 由于函数 f(x)是连续的,故只需要两个极值异号

即可.f′(x)=3x2-3,令 3x2-3=0,则 x=±1,只需 f(-1)f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故 a∈(-2,2).

题型分类
题型一

深度剖析

利用导数的几何意义解题

例 1 设函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d (a、b、c、d∈R)的图 2 象关于原点对称,且当 x=1 时 f(x)有极小值- . 3 (1)求 a、b、c、d 的值; (2)当 x∈[-1,1]时,问图象上是否存在两点使过此两点 处的切线互相垂直?试证明你的结论.

思维启迪:函数图象关于原点对称,则函数 f(x)是一个 奇函数.又在 x=1 处有极小值,则说明 f′(1)=0.



(1)≧f(x)的图象关于原点对称,

? f(- x)=-f(x), ?- ax3+ bx2- cx+ d=-ax3-bx2- cx- d, ? bx2+ d= 0 恒成立, ? b= 0, d= 0.?f(x)= ax3+ cx, ? f′ (x)= 3ax2+ c. 2 ≧当 x= 1 时,f(x)有极小值为- , 3 ?3a+ c= 0, ? 1 ? ?a= , ?? 解得? 3 2 a+ c=- , ? ? 3 ? ?c=- 1. 1 ? a= , b= 0, c=- 1, d= 0. 3

(2)假设存在两点 A(x1, y1)、B(x2, y2),过此两点的切线互 相垂直.
2 由 f′ (x)= x2-1 得 k1= x2 - 1 , k = x 1 2 2- 1, 2 ? (x2 1- 1)(x2- 1)=- 1. 2 ≧- 1≤ x1≤1,-1≤ x2≤ 1,?x2 - 1 ≤ 0 , x 1 2- 1≤0, 2 2 2 ? (x2 1- 1)(x2- 1)≥ 0,这与(x1- 1)(x2- 1)=- 1 矛盾.

?不存在这样的两点使结论成立.

探究提高 探索性问题的求解应先假设要证的结论成立, 然后依据结论出发求解.若得到一个与已知条件或定理等 矛盾的结论,则该探究性问题不存在,否则是存在的.

变式训练 1 已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx+c 图象上的点 P(1,f(1))处的切线方程为 y=-3x+1,函数 g(x)=f(x) -ax2+3 是奇函数. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求函数 f(x)的极值.



(1)f′ (x)=-3x2+ 2ax+ b,

≧函数 f(x)在 x= 1 处的切线斜率为-3, ? f′ (1)=- 3+2a+b=-3,即 2a+b= 0, 又 f(1)=-1+ a+b+ c=-2,得 a+ b+c=-1,

又函数 g(x)=- x3+ bx+c+ 3 是奇函数, g(0)= 0, ? c=- 3. ? a=- 2, b= 4, c=-3,?f(x)=-x3- 2x2+ 4x- 3. (2)f′ (x)=- 3x2- 4x+ 4=-(3x- 2)(x+ 2), 2 令 f′ (x)=0,得 x= 或 x=- 2, 3 f′(x), f(x)随 x 的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-≦, - 2) - -2 0 极小值
? 2? ?- 2, ? 3? ?

2 3 0

?2 ? ? ,+≦ ? ?3 ?





极大值 ?2 ? 41 ? f(x)极小值= f(- 2)=-11, f(x)极大值 =f? ?=- . 27 ?3 ?

题型二

用导数研究函数的性质

例 2 已知 a 是实数,函数 f(x)= x(x-a). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设 g(a)为 f(x)在区间[0,2]上的最小值. (i)写出 g(a)的表达式; (ii)求 a 的取值范围,使得-6≤g(a)≤-2.
思维启迪(1)求导数 f′(x)→判断 f′(x)>0 或 f′(x)<0 →确定单调区间; (2) 根据单调性→求 f(x)在[0,2]上的最 小值→解不等式.



(1)函数的定义域为[0,+≦), x- a 3x- a f′ (x)= x+ = (x>0). 2 x 2 x

若 a≤ 0,则 f′(x)>0, f(x)有单调递增区间[0,+≦ ); a 若 a>0,令 f′(x)=0,得 x= . 3 a a 当 0<x< 时, f′(x)<0;当 x> 时, f′ (x)>0. 3 3 ? a? 所以 f(x)有单调递减区间?0, ?, 3? ? ?a ? 单调递增区间? ,+≦?. ?3 ?

(2)(i)若 a≤0,f(x)在[0,2]上单调递增, 所以 g(a)=f(0)=0.
? a? 若 0<a<6,f(x)在?0,3?上单调递减, ? ? ?a ? ?a? 2a 在?3,2?上单调递增,所以 g(a)=f?3?=- 3 ? ? ? ?

a . 3

若 a≥6,f(x)在[0,2]上单调递减, 所以 g(a)=f(2)= 2(2-a). ? ?0,a≤0, ? 2a a 综上所述,g(a)=?- ,0<a<6, 3 3 ? ? ? 2 (2-a),a≥6. (ii)令-6≤g(a)≤-2.若 a≤0,无解; 若 0<a<6,解得 3≤a<6;若 a≥6,解得 6 ≤a≤2+3 2. 所以 a 的取值范围为 3≤a≤2+3 2.

探究提高

解本题若采用研究初等函数的方法来讨论

函数的单调性、最值是十分繁杂的,而采用导数来求函 数的单调区间,通过“求导” 、 “解不等式” 、 “写单调区 间”这三步,简明有效.而直接借助函数的单调性,讨 论函数在定区间上的最值,也就水到渠成了.

变式训练 2 (a>0).

(2010· 江西)设函数 f(x)=ln x+ln(2-x)+ax

(1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 ? ? ? ? 0 , 1 (2)若 f(x)在? ?上的最大值为 ,求 a 的值. 2 1 1 解 函数 f(x)的定义域为(0,2),f′(x)= - +a. x 2-x -x2+2 (1)当 a=1 时,f′(x)= ,所以 f(x)的单调递增 x?2-x?
区间为(0, 2),单调递减区间为( 2,2). 2-2x (2)当 x∈(0,1]时, f′(x)= +a>0, 即 f(x)在(0,1] x?2-x? 上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a,因 1 此 a= . 2

题型三

恒成立及求参数范围问题 a 例3 已知函数f(x)=ln x-x. (1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性; 3 (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求a的值; 2 (3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
思维启迪 (1)求导数f′(x)→判断f′(x)>0或f′(x)<0→确定 单调性. (2)根据单调性→求f(x)在[1,e]上的最小值→列方程求解. (3)f (x)<x2→a>xln x-x3→求xln x-x3的最大值.



1 a (1)由题意f(x)的定义域为(0,+≦),且f′(x)= x + 2 = x

x+a . x2 ≧a>0,?f′(x)>0,故f(x)在(0,+≦)上是单调递增函数. x+a (2)由(1)可知,f′(x)= 2 . x ①若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立, 3 此时f(x)在[1,e]上为增函数,?f(x)min=f(1)=-a= , 2 3 ?a=- (舍去). 2 ②若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此 a 3 时f(x)在[1,e]上为减函数,?f(x)min=f(e)=1- = , e 2 e ?a=- (舍去). 2

③若- e<a<- 1,令 f′ (x)= 0 得 x=-a, 当 1<x<- a 时, f′ (x)<0,?f(x)在 (1,- a)上为减函数; 当- a<x<e 时, f′ (x)>0,?f(x)在 (- a, e)上为增函数, 3 ? f(x)min= f(- a)= ln(- a)+ 1= ,?a=- e. 2 综上所述, a=- e. a 2 (3)≧f(x)<x ,? ln x- <x .又 x>0,?a>xln x- x3. x
2

令 g(x)= xln x- x3, h(x)= g′ (x)= 1+ ln x- 3x2, 1- 6x2 1 h′ (x)= - 6x= . x x ≧ x∈ (1,+≦)时,h′(x)<0,? h(x)在 (1,+≦)上是减函数. ? h(x)<h(1)=- 2<0,即 g′(x)<0, ? g(x)在(1,+≦)上也是减函数.g(x)<g(1)=- 1, ?当 a≥-1 时, f(x)<x2 在 (1,+≦ )上恒成立.

探究提高

(1)求函数的单调区间,直接求导,然

后解不等式即可,注意函数的定义域;(2)转化为 函数在区间上的最小值问题,然后利用导数研究. 1 2 x 变式训练 3 设函数 f(x)= x +e -xex. 2
(1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围.



(1)函数 f(x)的定义域为(-≦,+≦ ),

≧ f′ (x)= x+ ex- (ex+ xex)= x(1- ex), 若 x<0,则 1-ex>0,所以 f′ (x)<0; 若 x>0,则 1-ex<0,所以 f′ (x)<0, ? f(x)在 (-≦,+≦)上为减函数, 即 f(x)的单调减区间为 (-≦,+≦). (2)由 (1)知, f(x)在 [- 2,2]上单调递减. ? [f(x)]min= f(2)= 2- e2, ? m<2- e2 时,不等式 f(x)>m 恒成立.

题型四

用导数证明不等式问题

例 4 已知函数 f(x)= x2+ln x. (1)求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; (2)求证:当 x∈(1,+∞ )时,函数 f(x)的图象在 g(x) 2 3 1 2 = x + x 的下方. 3 2
思维启迪 (1)求出f′(x),利用f′(x)判定函数的单调 区间;(2)的实质是证明x>1时,g(x)>f(x),因此可通过 构造函数证明.

1 (1)解 ≧f(x)=x +ln x,?f′(x)=2x+ . x
2

≧x>1 时,f′(x)>0,故 f(x)在[1,e]上是增函数, ?f(x)的最小值是 f(1)=1,最大值是 f(e)=1+e2.

1 2 2 3 (2)证明 令F(x)=f(x)-g(x)= x - x +ln x, 2 3 2 3 2 3 3 x - 2 x + 1 x - x - x +1 1 2 则F′(x)=x-2x +x= = x x (1-x)(2x2+x+1) = . x ≧x>1,?F′(x)<0,?F(x)在(1,+≦)上是减函数. 1 3 1 ?F(x)<F(1)= - =- <0,即f(x)<g(x). 2 2 6 ?当x∈(1,+≦)时,函数f(x)的图象总在g(x)的图象 的下方.

探究提高

证明 f(x)的图象在 g(x)图象的下方, 这等

价于证明 f(x)<g(x),等价于证明 f(x)- g(x)<0,即可 证明 F(x)=f(x)-g(x)的最大值小于 0,从而转化成 用导数求最值问题.可见等价转化是本题思维的核 心.本题易错点是:x2-2x3+1=x2- x3+1-x3 的变 形技巧不会用.

变式训练 4 已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a≠0)是 R 上 的奇函数,当 x=1 时, f(x)取得极值-2. (1)求 f(x)的单调区间和极大值; (2)证明: 对任意 x1, x2∈(- 1,1), 不等式|f(x1)-f(x2)|<4 恒成立.

(1)解 由奇函数的定义得 f(-x)=-f(x),x∈R,即 -ax3 -cx+d=-ax3 -cx-d,?d=0. ?f(x) =ax3 + cx,f′(x)=3ax2+c. 由条件 f(1)=-2 为 f(x)的极值,必有 f′(1)=0,故
? ?a+c=-2, ? ? ?3a+c=0. ? ?a=1, 解得? ? ?c=-3.

? f(x)= x3- 3x, f′ (x)= 3x2- 3= 3(x+ 1)(x- 1), f′ (- 1)=f′ (1)= 0. 当 x∈ (-≦,- 1)时, f′ (x)>0,故 f(x)在区间 (-≦,- 1)上是增函数; 当 x∈ (- 1,1)时,f′(x)<0,故 f(x)在区间 (- 1,1)上是减 函数; 当 x∈ (1,+≦ )时, f′ (x)>0,故 f(x)在区间 (1,+≦ ) 上是增函数. ? f(x)在 x=- 1 处取得极大值,极大值为 f(- 1)= 2.

(2) 证明

由 (1)知, f(x)= x3 - 3x (x ∈ [ - 1,1])是减函

数,且 f(x)在 [- 1,1]上的最大值 M= f(- 1)= 2,f(x)在 [- 1,1]上的最小值 m= f(1)=- 2. ?对任意的 x1, x2∈ (- 1,1),恒有 |f(x1)- f(x2)|<M- m = 2- (- 2)= 4.
点评 第(2)问中不等式|f(x1)-f(x2)|<4 恒成立, 转化为在区 间[-1,1]上的最大值与最小值的关系是解题的关键.

答题规范 4.在解题中列表及表格应用要规范 试题:(14 分)已知函数 f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex (x ∈R), 其中 a∈R.(1)当 a=0 时, 求曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率; 2 (2)当 a≠ 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. 3

审题视角

(1)已知切点(1,f(1)),求切线斜率,利

用导数的几何意义,斜率k=f′(1). (2)求导数f′(x)→求f′(x)=0的根→按零点分段列表 →确定单调区间与极值.

规范解答 解 (1)当 a= 0 时 ,f(x)=x2ex, f′ (x)=(x2+2x)ex,故 f′(1)=3e. [4 分] 所以曲线 y= f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 3e. (2)f′ (x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex. 令 f′ (x)=0,解得 x=-2a 或 x=a-2. 2 由 a≠ 知,-2a≠a-2. 3 [6 分]

以下分两种情况讨论: 2 ①若 a> ,则-2a<a-2.当 x 变化时,f′(x), f(x)的变化情况如 3 下表: x f′(x) f(x) (-≦, - 2a) + - 2a 0 极大值 (-2a, a-2) - a- 2 0 极小值 (a- 2, +≦) +

所以f(x)在(-≦,-2a),(a-2,+≦)内是增函数,在 (-2a,a-2)内是减函数. [8分]
- 2a

函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae 3a)ea-2.

.

函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4- [10分] 2 ②若a< ,则-2a>a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情 3 况如下表: x f′(x) f ( x) (-≦, a-2) + (a- a-2 0 极大值 2, -2a) - 0 极小值 -2a (-2a, +≦) +

所以f(x)在(-≦,a-2),(-2a,+≦)内是增函数,在 (a-2,-2a)内是减函数. 3a)ea-2. 函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)= 3ae-2a. [14分] [12分] 函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-

批阅笔记

(1)本小题主要考查导数的几何意义、导数的运

算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查 运算能力及分类讨论的思想方法.

2 (2)错因分析:学生出错主要是把 a 当成 a> 来做,没有对 a 3 进行分类讨论.另外弄错了-2a 与 a-2 之间的大小关系. (3)在规范答题方面,很多学生不会列表用表,解题过程紊 乱、不直观.对这类题目的规范答题一般要列出表格,根据表 格解答简捷直观.

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1.极值与最值的区别与联系.区别:极值是局部概念, 只对某个领域有效,最值是全局概念,对整个定义域 都有效.联系:最值一般是极值点、不可导点和端点 函数值(可取到的话)中的最大值或最小值.最值不一 定是极值,极值也不一定是最值. 2.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为 不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想 的应用. 3.要掌握将不等式的证明、方程根的个数的判定、求作 函数的图象等问题转化为函数的单调性、极值问题的 处理.

失误与防范 1.注意极大值未必大于极小值,极值仅仅体现在 x0 处附近函 数值的变化情况. 2.要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性,以及列 表的操作步骤与算法思想,能利用导数研究函数的极值与 最值.

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