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吉林省东北师范大学附属高中数学人教A版必修一学案:1.3.5函数及基本性质小结(2)


1.3.5 函数及基本性质小结(2)
一、知识点记要 4、函数的奇偶性: (1)奇函数: (2)偶函数:

f ? ?x ? ? ? f ? x ? f ? ?x ? ? f ? x ? ? f ( x ) ? f (? x )

注意:①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 ②由于任意 x 和 ?x 均要在定义域内,故奇(偶)

函数的定义域一定关于原点对称.所以 我们在判定函数的奇偶性时,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称 ③若奇函数的定义域中有零,则其函数图象必过原点,即 f (0) ? 0 . ④函数的单调性是对区间而言,它是“局部”性质;而函数的奇偶性是对整个定义域而言 的,它是“整体”性质 ⑤偶函数在对称区间上的单调性相反,奇函数在对称区间上的单调性相同。 (3)证明和判断函数奇偶性的方法步骤: 利用定义判断函数奇偶性的一般步骤: ① 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ② ②确定 f (? x)与f ( x)的关系 ; ③作出相应结论: 若 f (? x) ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0, 则f ( x)是偶函数 ; 若 f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0, 则f ( x)是奇函数 . (4)奇偶函数图象的性质特点:偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对 称. (5)函数 f ( x ? a) 为奇函数可推得: (6)函数 f ( x ? a) 为偶函数可推得: (7)两个函数的定义域的交集非空,则有奇函数与偶函数的乘积是奇函数,奇函数与奇 函数的成绩是偶函数,偶函数与偶函数的乘积是偶函数。 5、函数的图象及其变换 (1)函数的轴对称:

定理 1: 如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? , 则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直 线x?

a?b 对称. 2

推论 1:如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直 线 x ? a 对称. 推论 2: 如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? ?x ? , 则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 0 (y 轴)对称.特别地,推论 2 就是偶函数的定义和性质.它是上述定理 1 的简化. (2)函数的点对称: 【实验班】 定理 2:如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ? 2b ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关 于点 ? a, b ? 对称. 推论 3:如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于 点 ? a, 0 ? 对称. 推论 4:如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于原点

? 0, 0 ? 对称.特别地,推论 4 就是奇函数的定义和性质.它是上述定理 2 的简化.
二、针对练习: (重点练习函数的图象) 1.已知 f ? x ? 是定义 ? ??, ??? 上的奇函数,且 f ? x ? 在 ?0, ??? 上是减函数.下列关系式 中正确的是 ( ) B. f ? 4? ? f ?3? D. f ? ?8? ? f ?8?

A. f ?5? ? f ? ?5? C. f ? ?2? ? f ? 2?

2. 如果奇函数 f ? x ? 在区间[3, 7]上是增函数且最小值为 5, 那么 f ? x ? 在区间 ? ?7, ?3? 上是 ( ) B.增函数且最大值为 ?5 D.减函数且最大值为 ?5 ( ) D. y ? A.增函数且最小值为 ?5 C.减函数且最小值为 ?5 3.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 A. y ? ? x ? 1 B. y ?

x

C. y ? x 2 ? 4 x ? 5 ( )

2 x

4.对于定义域是 R 的任意奇函数 f ? x ? 有 A. f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 C. f ? x ? f ? ? x ? ? 0 5.求函数 y ? x ? x
2

B. f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 D. f ? x ? f ? ? x ? ? 0

? ?1 ? x ? 1? 的最大值,最小值.

6.将长度为 l 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆,要使正方形与圆的面 积之和最小,正方形的周长应为__________. 7.函数 f ? x ? ? kx ? b ? k ? 0? 的单调性是____________.

8.函数 f ? x ? 是偶函数,而且在 ? 0, ??? 上是减函数,判断 f ? x ? 在 ? ??,0? 上是增 函数还是减函数,并加以证明.

9.如果二次函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 1? x ? 5 在区间 ?
2

?1 ? ,1? 上是增函数,求 f ? 2 ? 的取 ?2 ?

值范围.

10.求函数 y ? 3 ? 2 ? 2 x ? x 2 的最大值.

11.已知函数 f ? x ? ? x ? 由.

1 .判断 f ? x ? 在区间(0,1]和[1,+∞)上的单调性,说明理 x

13.作出函数 y ? x ? 2 ? x ? 1? 的图象,并根据函数的图象找出函数的单调区间.


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