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福建省八县一中2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题


2015-2016 学年度第二学期八县(市)一中期末联考

高中一年数学试卷
完卷时间:120 分钟 满分:150 分
第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
(1)已知角 ? 的终边上一点 P 的坐标为 5π (A) 6 2π (B) 3
2

>?

3 , ?1 ,则角 ? 的最小正值为(
5π 3 (D) 11π 6 )

?

)

(C)

(2)半径为 10 cm,面积为 100 cm 的扇形中,弧所对的圆心角为( (A)10 (B)2π (C)2 (D)2°

(3)把函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把所得函数图像向 左平移 π 个单位,得到的函数图像的解析式是( 4 )

(A)y=cos 2x

(B)y=-sin 2x π? 4? ?

π? ? (D)y=sin?2x+ ? 4? ? ? ??? ? ??? ? (4)在平面直角坐标系 xOy 中,向量 OA =(1, 2), OB =(2, m) , 若 O, A, B 三点能构成三角形,则 ( ) (A) m ? 4 (5) (B) m

? (C)y=sin?2x-

?4
)

(C) m

? ?1

(D) m ? R

sin 70? sin 20? 的值为( cos 2 155? ? sin 2 155?
1 (B)2

→ → ? → (6) 已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC+CB= 0 ,则OC等于( → → (A)2OA-OB → → (B)-OA+2OB ) (B) cos 3 ? cos 2 (D) sin
12 17 ? ? sin ? 5 4

1 (A)-2

3 (C) 2

3 (D)- 2

)

2→ 1→ (C) OA- OB 3 3

1→ 2→ (D)- OA+ OB 3 3

(7)下列不等式中成立的是 ( (A) sin 3 ? sin 2 (C) cos( ? ?) ? cos(? ?)
2 5 1 4

(8)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 AB 在 CD 方向上的投影为( 3 2 (A) - 2 (9)已知平面向量 a, (B)- 3 15 2 (C) 3 2 2 (D) 3 15 2

??? ?

??? ?

)

?

? ? b, a ?1

? ? ? ? ? ? b ? 3 ? ,且 2a ? b ? 7 ,则向量 a 与 a ? b 的夹角为(

)

π (A) 2 (10)已知 sin(? ? 4 (A) 5

(B)

π 3

π (C) 6

(D)π

?
6

) ? cos ? ?
3 (B) 5

? 4 3 ,则 cos(? ? ) 的值为( 6 5
(C) 3 2 ( D) 3 5

)

? (11)已知 ω >0,函数 f(x)=cos?ω x+ ?
( ) (A)最小值 1 (B)最大值 1

π? π ?π ? 的一条对称轴为 x= ,一个对称中心为点? ,0?,则 ω 有 3? 3 ? ?12 ?

(C)最小值 2 (D)最大值 2 )

(12)在锐角?ABC 中已知 B= (A) ? ?1,6?

???? ???? ? ??? ? ??? ? ? , AB ? AC =2,则 AB ? AC 的取值范围是( 3 (B) ? 0, 4 ? (C) ? 0,6 ? (D) ? 0,12?

第 II 卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (13) sin 600? ? tan 240?的值为 ______. (14)已知 ? , ? 是锐角, tan ?,tan ? 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根,则 ? ? ? 的值为
2

.

(15)在 ?ABC 中, AB ? AC ? 10,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? BA ? BC ? 6 ,则 AB ?

.

(16)某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数

?? ? y ? a ? Acos ? ? x ? 6 ? ? (x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃, ?6 ?
12 月份的月平均气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温为 ℃.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) (17)(本题 10 分)已知 a ? 4, (Ⅰ )计算:① a ? b ,②

?

? b ? 8,

? ? a?b ? 4 3

? ?

? ? 4a ? 2b ;

(Ⅱ )若 (a ? 2b) ? (ka ? b) ,求实数 k 的值.

?

?

? ?

(18)(本题 12 分)已知 0 ? ? ?

? ? ? ? ?, 2

? 1 cos(? ? ) ? , 4 3

sin(? ? ?) ?

4 5

(Ⅰ )求 sin 2? 的值;

(Ⅱ )求 cos(? ?

? ) 的值. 4

(19)(本题 12 分)设函数 f ( x) ? cos(?x ? ?) ? ? ? 0, ? (Ⅰ )求 ? 和 ? 的值;

? ?

? 3 ? ? ? ? ? 0 ? 的最小正周期为 ? ,且 f ( ) ? 4 2 2 ?

(Ⅱ )在给定坐标系中作出函数 f ( x ) 在 ? 0, ?? 上的图像(要求列表作图) 。

(20)(本题 12 分)设函数 f ( x) ? sin(2 x ?

? 5? ) ? tan ? cos 2 x 3 6

(Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期及其图像的对称轴方程; (Ⅱ )求函数 f ( x ) 在区间 (0,

?
2

) 上的值域.

(21)(本题 12 分)已知 O 为坐标原点,向量 OA ? (sin ?, 1) , OB ? (cos ?, 0) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? OC ? (? sin ? , 2) ,点 P 是直线 AB 上的一点,且 AB ? BP .
(Ⅰ)若 O, P, C 三点共线,求 tan ? 的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下, 求

sin 2? ? sin ? ? sin 2? 的值. 2 cos 2? ? 2 sin 2 ? ? cos ?

(22)(本题 12 分)已知函数 a ? (2sin x,cos x ? sin x) , b ? (cos x,cos x ? sin x) , f ( x) ? a ? b (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 (m ? R) 在区间 (0,

?

?

? ?

?
2

) 内有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,记

t ? m cos( x1 ? x2 ) ,求实数 t 的取值范围.

2015—2016 学年度第二学期八县(市)一中期末联考

高中 一 年 数学 科参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 D C 2 A 3 B 4 B 5 A 6 C 7 C 8 B 9 10 A 11 C 12 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、_____

3 2 _______

14、_____

3? ______ 4

15、______4____

16、_____20.5____

17.解: (Ⅰ )①∵|a+b|2=a2+2a· b+b2=16+2 a· b+64=48, ∴ a· b=-16 ………………………………2 分 2 2 2 ②∵|4a-2b| =16a -16a· b+4b =16×16-16×(-16)+4×64=16×16×3, ∴|4a-2b|=16 3……………………………………………………5 分 (Ⅱ )∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)· (ka-b)=0, 2 2 ∴ka +(2k-1)a· b-2b =0 …………………………………8 分 即 16k-16(2k-1)-2×64=0.∴k=-7. 即 k=-7 时,a+2b 与 ka-b 垂直.. ……………………………..10 分
18. 解: (Ⅰ )法一:∵cos?β- ?=cos cos β+sin sin β=

? ?

π? 4?

π 4

π 4

2 2 1 2 cos β+ 2 sin β=3,

2 ∴cos β+sin β= 3 ............................................................................3 分 2 7 ∴1+sin 2β=9,∴sin 2β=-9. ................................................5 分 π? 7 ? ?π ? ? 法二:sin 2β=cos?2-2β?= 2 cos 2 ( ? ? ) ? 1 =2cos2?β-4?-1=-9........5 分 ? ? ? ? 4 π π π 3 π 3 (Ⅱ )∵0<α< <β<π,∴ <β- < π, <α+β< ? ...................................6 分 2 4 4 4 2 2 π? π? 1 π? 2 2 ? ? ? ∴sin?β-4?>0,. ∵cos?β-4?=3,∴sin?β-4?= 3 …………………7 分 ? ? ? ? ? ? 4 3 cos(α+β)<0,∵sin(α+β)=5,∴cos(α+β)=-5..................................8 分 π? ? ? ? π?? ∴cos?α+4?=cos??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ?? π? π? ? ? =cos(α+β)· cos?β-4?+sin(α+β)sin?β-4?......................11 分 ? ? ? ? 3 1 4 2 2 8 2-3 =-5×3+5× 3 = 15 ……………..........................12 分 2π 19. 解: (Ⅰ )最小正周期 T= =π,∴ω=2.......................................2 分 ω

π 3 3 ?π? ? ? ?π ? ∵f?4?=cos?2×4+φ?=cos?2+φ?=-sin φ= 2 ,∴sin φ=- 2 . ? ? ? ? ? ? π π ∵-2<φ<0,∴φ=-3. ..........................................................................5 分 π? ? (Ⅱ )由(1)得 f(x)=cos?2x- ?,列表: 3? ? π 5 2 11 x 0 π π π 6 12 3 12π π π π 3 5 0 π 2x-3 -3 2 2π 3π 1 1 f(x) 1 0 0 -1 2 2 ……………………………………………………………………………….9 分 图像如图所示.

………………………12 分 3 3 cos 2 x - 2 3 cos 2x π? 3 3 ? ?2x+6?............................3 分 6 cos 2x= 3 sin? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期为 T= 2 =π………………………………………..4 分 π π 令 2x+6=kπ+2(k∈Z), kπ π 得对称轴方程为 x= 2 +6(k∈Z).……………………………………….6 分 π? 3 ? ? ? ? 7? ) ……………8 分 (Ⅱ)f(x) = sin?2x+ ?, x ? (0, ) , 2 x ? (0, ? ) , 2 x ? ? ( , 6 3 ? ? 2 6 6 6 3 ? ? 3 3? ? ? 1 ? sin(2 x ? )?? ? , , s i n (x2 ? ?)? ? , 1 ? …………………..11 分 3 6 ? 6 ? 2 ? ? ? 6 3 ? ? 3 3? ? ? f ( x) 的值域为 ? ? 6 , 3 ? ……………………………………………………..12 分 ? ? 21. 解: (Ⅰ )设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,
20. 解: (Ⅰ )f(x)= sin 2x+ 则 AB ? (cos? ? sin ? ,?1) , BP ? ( x ? cos? , y) ∵ AB ? BP ,∴ x ? 2 cos? ? sin ? , y ? ?1 ∴点 P 的坐标为 (2 cos? ? sin ? ,?1) ……………………………………………………..3 分 由 O 、 P 、 C 三点共线知: OP / /OC , (?1) ? (? sin ? ) ? 2 ? (2 cos? ? sin ? ) ,

1 2 1 =2sin 2x+

??? ?

??? ?

∴ tan ? ? (Ⅱ)

4 , 3

……………………………………………………..6 分

sin 2? ?sin ? ? sin 2? 2 cos 2 ?? 2 sin 2 ? ? cos ? 2sin ? ? cos ? ? sin ? = ? sin 2? ……………………..7 分 2 2(cos ? ? sin 2 ?) ? 2sin 2 ? ? cos ? sin ?(2cos ? ? 1) 2sin ?? cos ? ? = …………………………………..9 分 ? 2 cos ?(2cos ? ? 1) sin ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? t a n? ? ……………………………………………..10 分 1? t a2 n? 4 2? 4 3 ?1 7 2 ……………………………………………………..12 分 ? ? 4 2 3 75 1? ( ) 3


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