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辽宁省沈阳市东北育才学校2016届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题


高三假期复习质量检测(文)
答题时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知非空集合 M 和 N ,规定 M ? N ? x x ? M 且x ? N ,那么 M ? ? M ? N ? 等于 B A. M ? N B

. M ? N C. M D. N 2. 全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2,4},B={3,4,5},则图中的阴影部分表示的集

?

?

合为(

).

A . {5}

B . {4}

C . {1,2}

D . {3,5} 解析

由题图可知阴影部分为集合 ( ? D

UA)∩B,∵?UA={3,5,6},∴(?UA)∩B={3,5}.答案

3.下列有关命题的说法正确的是(

).

A.命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为“若 xy=0,则 x≠0” B.“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题为真命题 C.命题“?x∈R,使得 2x2-1<0”的否定是“?x∈R,均有 2x2-1<0” D.命题“若 cos x=cos y,则 x=y”的逆否命题为真命题 [审题视点] (1)根据四种命题的定义判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题表达格式的 正误. (2)判断一个命题的真假时, 若命题简单可直接判断; 否则, 利用其逆否命题进行真假判断. 解析 命题“若 xy=0, 则 x=0”的否命题为“若 xy≠0, 则 x≠0”, 所以 A 错; 命题“? x∈R,使得 2x2-1<0”的否定是“?x∈R,均有 2x2-1≥0”,所以 C 错;命题“若 cos x =cos y,则 x=y”为假命题,故其逆否命题也假,故 D 错;“若 x+y=0,则 x,y 互为相 反数”的逆命题为“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”显然正确.所以应选 B. 4.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是 A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x ( ).

解析 因为 f(x)=kx 与 f(x)=k|x|均满足 f(2x)=2f(x),所以 A,B,D 满足条件;对于 C,若 f(x)=x+1,则 f(2x)=2x+1≠2f(x)=2x+2. 答案 C 2⊕x 5. 定义两种运算:a⊕b= a2-b2,a?b= ?a-b?2,则函数 f(x)= 的解析式为 ?x?2?-2 ( ).

A.f(x)=

4-x2 x2-4 ,x∈[-2,0)∪(0,2]B.f(x)= ,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) x x x2-4 4-x2 ,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)D.f(x)=- ,x∈[-2,0)∪(0,2] x x

C.f(x)=-

解析 ∵2⊕x= 4-x2,x?2= ?x-2?2=|x-2|, 4-x2 ∴f(x)= . |x-2|-2
?4-x2≥0, ?-2≤x≤2, ? ? 4-x2 注意到定义域:? ?? ?x∈[-2,0)∪(0,2],∴f(x)=- ,x x ? ? ?|x-2|≠2 ?x≠0且x≠4

∈[-2,0)∪(0,2]. 答案 D 6.已知函数 f ( x) ? ?

a ? ( x ? 1) ? ? x 2 ? ax ? , ( ? ?, ? ?) , 若 y ? f ( x) 在 上单调递增,则实 4 x ? ( x ? 1) ?a ,
(2,??) C.
D. [2,??)

数 a 的取值范围是 A

4] A. [2,
7.有下列命题:

4) B. [ 2,

? ? ①在函数 y ? cos(x ? ) cos(x ? ) 的图象中,相邻两个对称中心的距离为 ? ; 4 4
x?3 的图象关于点 ( ?1,1) 对称; x ?1 ③“ a ? 5 且 b ? ?5 ”是“ a ? b ? 0 ”的必要不充分条件;

②函数 y ?

④已知命题 p:对任意的 x ? R,都有 sin x ? 1 ,则 ? p 是:存在 x ? R,使得 sin x ? 1 ; ⑤在△ABC 中,若 3 sin A ? 4 cos B ? 6 , 4 sin B ? 3 cos A ? 1 ,则角 C 等于 30? 或 150? . 其中所有真命题的个数是( )A A.1 B.2 C.3 D.4 8. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f (? x) ? ? f ( x), f ( x? 2)? f (x? 2), 且 x ? (?1, 0) 时 ,

f ( x ) ? 2x ?
(A) 1

1 , 则 f (log2 20) ? C 5 4 (B) 5

(C) ?1

(D) ?

4 5

9.设 f(x)=x3+log2(x+ x2+1),则对任意实数 a,b,a+b≥0 是 f(a)+f(b)≥0 的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 A C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 10.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称.若对任 意的 x,y∈R,不等式 f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0 恒成立,则当 x>3 时,x2+y2 的取值范围 是 ( ).

A.(3,7)

B.(9,25)

C.(13,49)

D.(9,49)

解析 函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, ∴函数 y=f(x) 关于点(0,0)对称,即函数为奇函数,且在 R 上是增函数,故 有 f(x2-6x+21)<-f(y2-8y)恒成立,即 f(x2-6x+21)<f(-y2 +8y)恒成立,即(x-3)2+(y-4)2<4 恒成立,故以(x,y)为坐 标的点在以(3,4)为圆心,以 2 为半径的圆内,且直线 x=3 右边的部分,而 x2+y2 的几何意义恰好是圆内的点到原点(0,0)的距离的平方,故最大值是 原点到圆心的距离加上半径的长的平方 49,最小值是原点到(3,2)的距离的平方 13,故选 C. 答案 C π? ? π? 11 已知 f(x)=sin? ?x+2?,g(x)=cos?x-2?,则下列结论中正确的是 A.函数 y=f(x)· g(x)的周期为 2 B.函数 y=f(x)· g(x)的最大值为 1 π C.将 f(x)的图象向左平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 π D.将 f(x)的图象向右平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 π x+ ?=cos x, 解析 ∵f(x)=sin? ? 2? π π x- ?=cos? -x?=sin x, g(x)=cos? ? 2? ?2 ? 1 ∴y=f(x)· g(x)=cos x· sin x= sin 2x. 2 2π 1 T= =π,最大值为 ,∴选项 A,B 错误. 2 2 ( ).

12、设 x , x 是函数 f ? x ? ? ? a ?1? x3 ? bx2 ? x ( a ? 0 , b ? 0 )的两个极值点,且 1 2

x1 ? x2 ? 2 2
A. 4 6

,则实数 b 的最小值为( B.

)C C.

3 2

15

D. 2 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) π ? ?2cos 3x,x≤2 000, 13. 已知函数 f(x)=? 则 f(f(2 013))=________. ? ?x-100,x>2 000,

解析

f(2 013)=2 013-100=1 913,

π ? ∴f(f(2 013))=f(1 913)=2cos? ?3×1 913? 2π? =2cos? ?π+ 3 ?=1. 答案 1 14. 若 f(x)=1+lg x,g(x)=x2,那么使 2f[g(x)]=g[f(x)]的 x 的值是________. 解析 ∵2f[g(x)]=g[f(x)], ∴2(1+lg x2)=(1+lg x)2, ∴(lg x)2-2lg x-1=0, ∴lg x=1± 2, x=101± 2. 答案 101±
2

?x+1,x≤0, ? 15. 函数 f(x)=? 则函数 y=f[f(x)]+1 的所有零点所构成的集合为________. ? ?log2x,x>0, ? ?t≤0, 解析 本题即求方程 f[f(x)]=-1 的所有根的集合,先解方程 f(t)=-1,即? 或 ?t+1=-1 ? ? ?t>0, 1 1 ? 得 t=-2 或 t= .再解方程 f(x)=-2 和 f(x)= . 2 2 ?log2t=-1, ?

? ? ? ? ?x≤0, ?x>0, 即? 或? 和? 1 ?x+1=-2 ? ? ?log2x=-2 ?x+1=
x≤0,

?

x>0, ? ? 或? 1 ?log2x=2. 2 ?

1 1 得 x=-3 或 x= 和 x=- 或 x= 2. 4 2 1 1 ? ? 答案 ?-3,-2,4, 2?
? ?

16.若不等式 x ?

y ? k 2x ? y ,对任意正实数 x 、 y 均成立,则实数 k 的取值
2

范围__________. (1 , e e ) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 设 命 题 p : 函 数 f ? x ? ? lg ? ax 2 ? x ?

? ?

1 ? a? 的 定 义 域 为 R ; 命 题 q : 不 等 式 16 ?

2 x ? 1 ? 1 ? ax 对一切正实数均成立。如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求
实数 a 的取值范围。

a?0 ? ? ?a?2 或? a2 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 4
所以命题 p 为真等价于 a ? 2 命题 q 为真等价于 a ?

2x ?1 ?1 2 对一切正实数 x 均成立。 ? x 2x ?1 ?1

由于 x ? 0 ,所以 2 x ? 1 ? 1 ,所以 2 x ? 1 ? 1 ? 2 ,所以

2 ?1 2x ?1 ?1

所以命题 q 为真等价于 a ? 1 。 因为命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,所以 p 、 q 一真一假。 若 p 为真命题, q 为假命题,无解; 若 p 为假命题, q 为真命题,则 1 ? a ? 2 所以 a 的取值范围是 ?1, 2?

18. 已 知 ?ABC 是 斜 三 角 形 , 内 角 A、B、C 所 对 的 边 的 长 分 别 为 a、b、c . 若

c sin A ? 3a cos C . (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)若 c = 21 ,且 sin C ? sin( B ? A) ? 5sin 2 A, 求 ?ABC 的面积. a c ? 18.解: (I)根据正弦定理 ,可得 csin A ? asinC , sinA sinC

?c sinA ? 3a cos C,?a sin C ? 3a cos C ,可得 sin C ? 3 cos C ,得
tanC ? sinC ? ? 3 ,? C ? (0,?), ?C ? cosC 3
????6 分

(II)? sin C ? sin(B? A) ? 5sin 2 A, C ?

?

3

?sin C ? sin( A ? B)

?sin(A? B) ? sin(B? A) ? 5sin 2 A ,? 2sin B cosA ? 2 ? 5sin A cos A
? A、B、C 为斜三角形,? cos A ? 0 ,? sinB ? 5sinA , 由正弦定理可知 b ? 5a ……(1) 1 2 2 2 2 2 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 21 ? a ? b ? 2ab ? …..(2) 2
由(1) (2)解得 a ? 5, b ? 1? S? ABC ?

1 1 3 5 3 ab sin C ? ?1? 5 ? ? . ????12 分 2 2 2 4

19.请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分 所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中 的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角 三角形斜边的两个端点. 设 AE=FB=x(cm).

(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大, 试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面 边长的比值. [教你审题] 解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成 x 的函数,然后根据二次函 数的最值求法和导数法求解. [规范解答] 设包装盒的高为 h cm,底面边长为 a cm. 60-2x 由已知得 a= 2x,h= = 2(30-x)(0<x<30).(2 分) 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,(4 分) 所以当 x=15 时,S 取得最大值.(6 分) (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),(8 分) V′=6 2x(20-x). 由 V′=0 得 x=0(舍)或 x=20.(9 分) 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值.(11 分) h 1 1 此时 = ,即包装盒的高与底面边长的比值为 .(12 分) a 2 2 1 ? 2 ? π? sin?x-π?. 20,已知 f(x)=? ?1+tan x?sin x-2sin?x+4?· ? 4? (1)若 tan α=2,求 f(α)的值; π π? (2)若 x∈? 12 ? ,2?,求 f(x)的取值范围. [审题视点] (1)化简 f(x),由 tan α=2 代入求 f(α);(2)化成 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式,求 f(x)的取值范围. 解 π? (1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin? ?x+4?·

π? 1-cos 2x 1 π? cos? + sin 2x+sin? ?x+4?= ?2x+2? 2 2 1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 2 2 2sin αcos α 2tan α 4 由 tan α=2,得 sin 2α= 2 = = . sin α+cos2α tan2α+1 5

cos2α-sin2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 2 = 2 =- . 5 sin α+cos α 1+tan α 1 1 3 所以,f(α)= (sin 2α+cos 2α)+ = . 2 2 5 1 1 (2)由(1),得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2 = π 1 2 ? sin?2x+4? ?+2. 2

π π? 5π π 5 由 x∈? ?12,2?,得12≤2x+4≤4π. ∴- π? 2+1 2 ≤sin? ?2x+4?≤1,0≤f(x)≤ 2 , 2

所以 f(x)的取值范围是?0, 21,已知函数 g(x)= m∈R. (1)求 θ 的值;

? ?

2+1? ?. 2 ?

m-1 1 +ln x 在[1,+∞)上为增函数,且 θ∈(0,π),f(x)=mx- -ln x, x· sin θ x

(2)若 f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围. 解 sin θ· x-1 1 1 (1)由题意得,g′(x)=- ≥0. 2+ ≥0 在[1,+∞)上恒成立,即 sin θ· x x sin θ· x2

∵θ∈(0,π),∴sin θ>0, 故 sin θ· x-1≥0 在[1,+∞)上恒成立,只需 sin θ· 1-1≥0, π 即 sin θ≥1,只有 sin θ=1.结合 θ∈(0,π),得 θ= . 2 m (2)由(1),得 f(x)-g(x)=mx- -2ln x, x mx2-2x+m ∴(f?x?-g?x?)′= . x2 ∵f(x)-g(x)在其定义域内为单调函数,∴mx2-2x+m≥0 或者 mx2-2x+m≤0 在[1,+∞) 恒成立. 2x mx2-2x+m≥0 等价于 m(1+x2)≥2x,即 m≥ , 1+x2 而 2x 2 = ≤1,∴m≥1. 1 x2+1 x+ x

mx2-2x+m≤0 等价于 m(1+x2)≤2x, 2x 即 m≤ 在[1,+∞)上恒成立. 1+x2



2x ∈(0,1],∴m≤0. x2+1

综上,m 的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞). 22.已知函数 fn ( x) ? axn ? bx ? c(a, b, c ? R) , (Ⅰ)若 f1 ( x) ? 3x ? 1 , f 2 ( x) 为偶函数,求 a, b, c 的值; (Ⅱ)若对任意实数 x ,不等式 2 x ? f 2 ( x) ?

1 ( x ? 1) 2 恒成立,求 f 2 (?1) 的取值范围; 2

(Ⅲ)当 a ? 1 时,对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,恒有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求实数 b 的取值范围. 解:(Ⅰ)由

f1 ( x)? 3x ? , 1 f 2 ( x) 为偶函数得
?a ? b ? 3 ? ? a ? 3, b ? 0, c ? 1 . ?c ? 1 ?b ? 0 ?

(Ⅱ)由题意可知 f 2 (1) ? 2 , f 2 (1) ? 2 ? f 2 (1)=2 ,

?a ? b ? c ? 2 ,

? 对任意实数 x 都有 f 2 ( x) ? 2 x ,即 ax2 ? (b ? 2) x ? c ? 0 恒成立,
∴?

?a ? 0
2 ?(b ? 2) ? 4ac ? 0

,由 a ? b ? c ? 2, ? a ? c, b ? 2 ? 2a

此时 f 2 ( x ) ?

1 1 1 ( x ? 1) 2 ? ( a ? )( x ? 1) 2 ,? 对任意实数 x 都有 f 2 ( x ) ? ( x ? 1) 2 成立, 2 2 2

?0 ? a ?

1 , ? f 2 (?1) ? a ? b ? c ? 4a ? 2 的取值范围是 ? ?2,0? . 2

( Ⅲ ) 对任意 x1, x2 ?[?1,1] 都有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) | ? 4等价于在 ? ?1,1? 上的最大值与最小 值之差 M ? 4 ,据此分类讨论如下:

b |? 1, 即 b ? 2 时, M ?| f 2 (1) ? f 2 (-1) |? 2 | b |? 4 ,与题设矛盾. 2 b b b 2 (ⅱ) 当 -1 ? - ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, M ? f 2 (1) ? f 2 (- ) ? ( ? 1) ? 4 恒成立. 2 2 2 b b b 2 (ⅲ)当 0 ? - ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, M ? f 2 (-1) ? f 2 (- ) ? ( -1) ? 4 恒成立. 2 2 2 综上可知, ?2 ? b ? 2 .
(ⅰ)当 |

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