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河北省邯郸市2018届高三1月教学质量检测数学(文)试题+Word版含答案

时间:2018-02-14


邯郸市 2018 届三教学质量检测 数学(文科)试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1..已知复数 z ? 2 ? 3i ,若 z 是复数 z 的共轭复数,则 z ? ( z ? 1) ? ( A. 15 ? 3i B. 15 ? 3i C. ?15 ? 3i )

D. ?15 ? 3i

2 2.已知集合 A ? ( x, y ) x ? 4 y , B ? ( x, y ) y ? x 则 A ? B 的真子集个数为(

?

?

?

?



A. 1

B. 3

C. 5

D. 7
^

3.已知变量 x , y 之间满足线性相关关系 y ? 1.3x ? 1 ,且 x , y 之间的相关数据如下表所示:

则 m?( A. 0.8

) B. 1.8 C. 0.6 ) D. 1.6

4.下列说法中,错误 的是( ..

A.若平面 ? / / 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? ? l ,平面 ? ? 平面 ? ? m ,则 l / / m B.若平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? ? l , m ? ? , m ? l ,则 m ? ? C.若直线 l ? ? ,平面 ? ? 平面 ? ,则 l / / ? D.若直线 l / / 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? ? m , l ? 平面 ? ,则 l / / m 5.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,抛物线上一点 M (2, m) 满足 MF ? 6 ,则 抛物线 C 的方程为( A. y ? 2 x
2

) B. y ? 4 x
2

C. y ? 8x
2

D. y ? 16 x
2

6.运行如图所示的程序框图,输出的 S ? (



A. 4

B. 11

1 3

C. 27

1 3

D. 58

2 3

7.已知函数 f ( x ) ? ? 围为( )

?log a x, x ? 3 若 f (2) ? 4 ,且函数 f ( x ) 存在最小值,则实数 a 的取值范 ? mx ? 8, x ? 3

A. (1, 3]

B. (1, 2]

C. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ?

D. [ 3, ??)

8.已知 3 sin ? ? cos ? ?

4 ?? 5? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? sin ? ? ? ??( 3 3? 6 ? ? ?
C. ?



A. 0

B.

4 3

4 3

D.

2 3

9.如图,网格纸上正方形的边长为 1 ,下图画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )

A. 27

B. 36

C. 48

D. 54

10.现有 A , B , C , D , E , F 六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比 赛) ,第一周的比赛中, A , B 各踢了 3 场,C , D 各踢了 4 场, E 踢了 2 场,且 A 队与 C 队 未踢过, B 队与 D 队也未踢过,则在第一周的比赛中, F 队踢的比赛的场数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

x2 y 2 11.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0b ? 0) 的左、右顶点分别为 A , B ,点 F 为双曲线 C 的 a b
左焦点,过点 F 作垂直于 x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 C 于 P , Q 两点,连接

PB 交 y 轴于点 E ,连接 AE 交 QF 于点 M ,若 M 是线段 QF 的中点,则双曲线 C 的离心

率为( A. 3

) B. 2 2 C. 6
2

D. 2

12.已知关于 x 的不等式 m cos x ? 2 ? x 在 ? ? ( ) B. (3, ??)

? ? ?? , ? 上恒成立,则实数 m 的取值范围为 ? 2 2?

A. [3, ??)

C. [2, ??) 第Ⅱ卷(共 90 分)

D. (2, ??)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知向量 a , b 满足 a ? (3, ?) , b ? (? ?1, 2) ,若 a / / b ,则 ? ?

?

?

?

?

?

?



? x ? 2 y ? 0, y ?1 ? 14.已知实数 x , y 满足 ? x ? y , 则 的取值范围为 ? x ? 4 ? 3 y, x ? 3 ?



15.如图所示,长方形 ABCD 中, AB ? 8 , AD ? 6 , E , F , G , H 分别是 AB , BC ,

CD ,AD 的中点, 图中 5 个圆分别为 ?AEH ,?BEF ,?DHG ,?FCG 以及四边形 EFGH
的内切圆,若往长方形 ABCD 中投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率为 .

16.已知函数 f ( x) ?

?4 cos(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示,则 x e

? ? ?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

i n A? bs i n B (?c ? b )s i n 17.在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c , 且 as
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? 2sin C , a ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 18.已知数列 ?an ? 满足 an ? 0 , a1 ? 1 , n(an?1 ? 2an ) ? 2an . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

c

.

? an ? ? 3n ? 5? 的前 n 项和 Sn . ?n ?
?

19.已知多面体 ABCDEF 中,四边形 ABFE 为正方形, ?CFE ? ?DEF ? 90 ,

DE ? 2CF ? EF ? 2 , G 为 AB 的中点, GD ? 3 .

(Ⅰ)求证: AE ? 平面 CDEF ; (Ⅱ)求六面体 ABCDEF 的体积. 20. 随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、 共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取 1000 人对共享产品对共享产品是否对 日常生活有益进行了问卷调查,并对参与调查的 1000 人中的性别以及意见进行了分类,得到 的数据如下表所示:

(Ⅰ)根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过 0.1% 的前提下,认为对共享产品的态度与 性别有关系? (Ⅱ) 现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取 6 人, 再从 6 人中随 机抽取 2 人赠送超市购物券作为答谢,求恰有 1 人是女性的概率.

参考公式: K 2 ? 临界值表:

n(ad ? bc)2 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

21.已知椭圆 C :

? 1 14 ? x2 y 2 2 ? , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? , 且离心率为 .过点 ( 2, ? 2) ? 2 ? 2 4 ? a b 2 ? ?

的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 C 的右顶点,探究:kPM ? kPN 是否为定值,若是,求出该定值,若不是, 请说明理由.(其中, kPM , k PN 分别是直线 PM 、 PN 的斜率) 22.已知函数 f ( x) ? 4ln x ? ax ? 1 . (Ⅰ)若 a ? 0 ,讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若函数 f ( x) ? ax( x ? 1) 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

邯郸市 2018 届高三教学质量检测 数学(文科) ·答案 一、选择题 1-5:ABBCD 二、填空题 13. ?2 或 3 三、解答题 17.(Ⅰ)由 a sin A ? b sin B ? (c ? b)sin C ,可得 a ? b ? c ? bc ,
2 2 2

6-10:CACDD

11、12:AC

14. ? , ? 3 7

?1 9 ? ? ?

15.

61? 300

16. 2

?b2 ? c2 ? a 2 ? bc ,? cos A ?
又? A ? (0, ? ) ,? A ?

b2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? , 2bc 2bc 2

?
3

.

(Ⅱ)若 sin B ? 2sin C ,则 b ? 2c ,由题意, A ? 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2 2

?
3

,a ? 3,

? c ? 1 ,? b ? 2 , ? S ?

1 1 ? 3 bc sin A ? ? 2 ?1? sin ? 2 2 3 2

18.(Ⅰ)因为 n(an?1 ? 2an ) ? 2an ,故 an ?1 ? 设 bn ?

a a 2(n ? 1) an ,得 n ?1 ? 2 ? n ; n n ?1 n

an a b ,所以 bn?1 ? 2bn ,? a ? 0 ,? b ? 0 ,? n ?1 ? 2 又因为 b1 ? 1 ? 1 , n 1 bn
n ?1

所以数列 ?bn ? 是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列,故 bn ? 1 ? 2 故 an ? n ? 2
n?1

? 2n ?1 ?

an , n

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
n

an ? 3n ? 5 ? 2n ?1 ? 3n ? 5 , , n
1 n?1

故 Sn ? (2 ? 3?1 ? 5) ? (2 ? 3? 2 ? 5) ???? ? (2

? 3? n ? 5)

? (20 ? 21 ???? ? 2n?1 ) ? 3(1 ? 2 ???? ? n) ? 5n
? 2n ? 3n2 ? 7n ?1 . 2

19.(Ⅰ)取 EF 中点 N ,链接 GN , DN . 根据题意可知,四边形 ABEF 是边长为 2 的正方形,所以 GN ? EF . 易求得 DN ?

DE2 ? EN 2 ? 5 ,所以 GN 2 ? DN 2 ? 22 ? ( 5)2 ? 9 ? GD2 ,于是

GN ? DN ;
而 EF ? DN ? N ,所以 GN ? 平面 CDEF .又因为 GN / / AE ,所以 AE ? 平面 CDEF . (Ⅱ)连接 CE ,则 V六面体ABCDEF =V四棱锥C-ABFE ? V三棱锥A-CDE 由(Ⅰ)可知 AE ? 平面 CDEF , CF ? 平面 ABFE . 所以 V四棱锥 -ABFE ? 所以 V六面体ABCDEF

1 4 1 4 ? S正方形ABFE ? CF ? , V三棱锥A-CDE ? ? S ?CDE ? AE ? , 3 3 3 3 4 4 8 ? ? ? . 3 3 3

20.(Ⅰ)依题意,在本次的实验中, K 的观测值

2

k?

1000 ? (400 ? 200 ? 300 ?100) 2 ? 47.619 ? 10.828 , 700 ? 300 ? 500 ? 500

故可以在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为对共享产品的态度与性别有关系. (Ⅱ)依题意,应该认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取 4 人,记为 A , B , C , D , 从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取 2 人,记为 a , b ,

( A, B) , ( A, C ) , ( A, D) , ( A, a) , ( A, b) , ( B, C ) , 从以上 6 人中随机抽取 2 人, 所有的情况为: ( B, D) , ( B, a) , ( B, b) , (C , D) , (C, a) , (C, b) , ( D, a) , ( D, b) , ( a, b) 共 15 种,其

中满足条件的为 ( A, a) , ( A, b) , ( B, a) , ( B, b) , (C, a) , (C, b) , ( D, a) , ( D, b) 共 8 种 情况. 故所求概率 P ?

8 . 15

14 ? 1 ? 4a 2 ? 16b 2 ? 1 ? ? 21.(Ⅰ)依题意, ? a 2 ? b 2 ? c 2 解得 a ? 2 , b ? 1 , ? ?c ? 2 ? 2 ?a
故椭圆 C的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)依题意, P( 2,0) .易知当直线 MN 的斜率不存在时,不合题意. 当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) , 代入 x 2 ? 2 y 2 ? 2 中,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4 2(k 2 ? k ) x ? 4k 2 ? 8k ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,由 ? ? 32(k ? k ) ? 4(1 ? 2k )(4 k ? 8k ? 2) ? 0 ,得 k ? ?

1 , 4

x1 ? x2 ?

4k 2 ? 8k ? 2 4 2(k 2 ? k ) x x ? , , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

故 kPM ? kPN ?

y1 y2 k ( x1 ? 2) ? 2 k ( x2 ? 2) ? 2 ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

4 2(k 2 ? k ) 2? ?4 2( x1 ? x2 ) ? 4 1 ? 2k 2 ?1 ? 2k ? 2 ? 2k ? 4k ? 8k ? 2 4 2(k 2 ? k ) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2? ?2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
综上所述, kPM ? kPN 为定值 1 . 22.(Ⅰ)依题意 f '( x) ?

4a a (4 ? x) ?a ? , x x

若 a ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递增,在 (4, ??) 上单调递减; 若 a ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减,在 (4, ??) 上单调递增. (Ⅱ)因为 f ( x) ? ax( x ? 1) ,故 4a ln x ? ax ? 2ax ? 1 ? 0 ,①
2

当 a ? 0 时,显然①不成立;

1 ? 4 ln x ? x 2 ? 2 x ;② a 1 2 当 a ? 0 时,①化为: ? 4 ln x ? x ? 2 x ;③ a
当 a ? 0 时,①化为: 令 h( x) ? 4ln x ? x2 ? 2 x( x ? 0) ,则

h '( x) ?

4 2( x ? 1)( x ? 2) 2x2 ? 2 x ? 4 ? 2x ? 2 ? ? ?? , x x x

? 当 x ? (0,1) 时, h '( x) ? 0 时, x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 ,
故 h( x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1, ??) 是减函数,? h( x)max ? h(1) ? ?3 , 因此②不成立,要③成立,只要

1 1 ? ?3 , a ? ? , a 3

1? ? ? 所求 a 的取值范围是 ? ??, ? ? . 3? ?


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