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2015年浙江高考数学参考卷(理科)含答案

时间:2015-01-20


数学(理科)参考试卷
一、选择题 1.已知 a,b 是实数,则“| a+b |=| a |+| b |”是“ab>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若函数 f (x) (x∈R)是奇函数,则 A.函数 f (x2)是奇函数 B.函数 [f (x) ]2 是奇函数 2 C.函数 f (x) ? x 是奇函数 D

.函数 f (x)+x2 是奇函数 3.若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示, 2 4 2 则此几何体的体积是 A. 35π cm3 3

4 4.如图,在四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AD⊥DC. ??? ? ???? ???? ??? ? 2 若| AB |=a,| AD |=b,则 AC ? BD = 2 2 2 2 A.b -a B.a -b 俯视图 C.a2+b2 D.ab (第 3 题图) D 5.现有 90 kg 货物需要装成 5 箱,要求每一箱所装货物的 重量不超过其它任一箱所装货物重量的 2 倍.若某箱所 装货物的重量为 x kg,则 x 的取值范围是 A.10≤x≤18 B.10≤x≤30 A C.18≤x≤30 D.15≤x≤30

106 π cm3 3 C. 70π cm3 212 π cm3 D. 3
B.

4 正视图 2 侧视图

C B

? x ? y ? 0, ? 6.若整数 x,y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 10 ? 0, 则 2x+y 的最大值是 ? ? 3x ? y ? 5 3 ? 0, y A.11 B.23 C.26 D.30 B 2 2 A x y 7.如图,F1,F2 是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b F1 O 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别 交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=2 : 3 : 4, 则双曲线的离心率为 (第 7 题图) A.4 B. 15 C.2 D. 3 y 8.如图,函数 y=f (x)的图象为折线 ABC,设 f 1 (x)=f (x), 1 B f n+1 (x)=f [f n(x)],n∈N*,则函数 y=f 4 (x)的图象为
y y -1

(第 4 题图)

F2

x

1 x C

A.
-1

1 1 O -1 x

B.
-1

1 1 O -1 x A

O -1 (第 8 题图)

C.
-1

y 1 1 O -1 x

D.
-1

y 1 1 O -1 x

二、填空题 9.设全集 U ? ? x ? N x ? 2? ,集合 A ? ? x ? N x ? 10? , B ? x ? N x 2 ? 5 ,则

?

?

U

A=

,A∩B= .

,A∪B=

. , 数列 {an }

10. 设等差数列 {an } 的公差为 6, 且 a4 为 a2 和 a3 的等比中项. 则 a1 = 的前 n 项和 Sn =

? x2 ? x, x<0, ? 11 .设函数 f ? x ? ? ? 2 则 f(f (1) ) = x≥0. ? ?? x , 是 . 12.如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,AD ? AC, 2 2 ,AB= sin∠BAC= 3 2 ,AD=3,则 BD 的长 3 为 ,△ABC 的面积为 .

;方程 f(f (x) ) = 1 的解
A

B

D
(第 12 题图)

C

13.设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R.若 e1,e2 的夹角为 的最大值等于 .

x π ,则 6 b

14.设直线 x-3y+m=0 (m≠0)与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两条渐近线分别交 a 2 b2 于点 A,B.若点 P(m,0)满足 PA = PB ,则该双曲线的离心率是 .

15.如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进 行射击训练.已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿 墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需 计算由点 A 观察点 P 的仰角θ 的大小.若 AB=15m, AC=25m,∠BCM=30°,则 tanθ 的最大值是 . (仰角θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)
(第 15 题图)

三、解答题 16.已知函数 f (x)=3 sin2 ax+ 3 sin ax cos ax+2 cos2 ax 的周期为 π,其中 a>0. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求 f (x)的值域.

17.如图,平面 ABCD⊥平面 ADEF,其中 ABCD 为矩形, ADEF 为梯形, AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2,DE =1. (Ⅰ) 求异面直线 EF 与 BC 所成角的大小; (Ⅱ) 若二面角 A-BF-D 的平面角的余弦值为 , 求 CF 的长.

B

C

1 3

A F (第 17 题图)

D E

18.如图,F1,F2 是椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点, 2 A,B 是椭圆 C 上的两个动点,且线段 AB 的中点 M 1 在直线 l :x=- 上. 2 (Ⅰ) 若 B 点坐标为(0,1),求点 M 的坐标; ???? ? ???? ? (Ⅱ) 求 F2 A ? F2 B 的取值范围.

y B A F1 M O F2 x

x=- 1 2 (第 18 题图)

19.设数列 a1,a2,?,a2015 满足性质 P: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 ? 0 , a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 ? 1. (Ⅰ) (ⅰ) 若 a1,a2,?,a2015 是等差数列,求 an; (ⅱ) 是否存在具有性质 P 的等比数列 a1,a2,?,a2015? 1 1 1 1007 (Ⅱ) 求证: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? . a2015 ? 2 3 2015 2015

20. 已知二次函数 f (x) = ax2+bx+c (a>0), 方程 f(x)-x=0 的两个根 x1, x2 满足 0<x1<x2< (Ⅰ)当 x ? (0, x1)时,证明 x < f (x) < x1; (Ⅱ)设函数 f (x) 的图象关于直线 x = x0 对称,证明 x0<

1 . a

x1 . 2

数学参考试卷(理科)答案
一、选择题 1.B 二、填空题 9. x ? N x ? 10 , ?3, 4,5,6,7,8,9? , x ? N x ? 2 10.-14,3n2-17n
5 ?1 2

2.C

3.D

4.A

5.B

6.B

7.A

8.D

?

?

?

?

11.0,

12. 3 , 6 2

13.2 三、解答题 16.(Ⅰ) 由题意得 f (x)=

14.

5 2

15.

5 3 9

3 3 (1-cos 2ax)+ sin 2ax+(1+cos 2ax) 2 2 3 1 5 = sin 2ax- cos 2ax+ 2 2 2 5 π =sin (2ax- )+ . 2 6
a=1.

因为 f (x)的周期为 π,a>0,所以 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 f (x)=sin (2x- 所以 f (x)的值域为[

5 π )+ , 2 6

3 7 , ]. 2 2
B C

17.(Ⅰ) 延长 AD,FE 交于 Q. 因为 ABCD 是矩形,所以 BC∥AD, 所以∠AQF 是异面直线 EF 与 BC 所成的角. 在梯形 ADEF 中,因为 DE∥AF,AF⊥FE,AF =2,DE=1 得 ∠AQF=30° . (Ⅱ) 方法一: 设 AB=x.取 AF 的中点 G.由题意得 DG⊥AF. 因为平面 ABCD⊥平面 ADEF,AB⊥AD,所以 AB⊥平面 ADEF, 所以 AB⊥DG. 所以 DG⊥平面 ABF.

A

H G

D E F (第 17 题图)

Q

过 G 作 GH⊥BF,垂足为 H,连结 DH,则 DH⊥BF, 所以∠DHG 为二面角 A-BF-D 的平面角. 在直角△AGD 中,AD=2,AG=1,得 DG= 3 . 在直角△BAF 中,由

AB GH =sin∠AFB= ,得 BF FG 1 GH = , 2 x x ?4
GH=

所以

x x ?4 x
2

. ,得

在直角△DGH 中,DG= 3 ,GH= DH= 2 因为 cos∠DHG= 所以 AB=

x2 ? 4

x2 ? 3 . x2 ? 4

2 GH 1 = ,x= 15 , 5 DH 3 2 15 . 5

又在梯形 AFED 中可得 DF=2, 所以 CF= 方法二:设 CD=x. 以 F 为原点,AF,FQ 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系 Fxyz.则 F(0,0,0),A(-2,0,0),E( 3 ,0,0),D(-1, 3 ,0),B(-2,0,x), 所以

4 10 . 5

???? ??? ? DF =(1,- 3 ,0), BF =(2,0,-x). ?? ? 因为 EF⊥平面 ABF,所以平面 ABF 的法向量可取 n1 =(0,1,0). ?? ? 设 n2 =(x1,y1,z1)为平面 BFD 的法向量,则

? ? 2 x1 ? z1 x ? 0, ? ? ? x1 ? 3 y1 ? 0,
所以,可取 n2 =( 3 ,1,

B

z

C

?? ?

2 3 ). x
A

D E F x (第 17 题图)

y

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 1 ? ?? ? = ,得 因为 cos< n1 , n2 >= ?? | n1 | ? | n2 | 3
x= 即 CD=

2 15 , 5 2 15 . 5

4 10 . 5 18.(Ⅰ) 因为点 M 是 AB 的中点,所以可设点 A (?1, m) .
又在梯形 AFED 中可得 DF=2,所以 CF= 代入椭圆方程

2 2 x2 ? y 2 ? 1 ,得 m ? ? 或m ? , 2 2 2
A F1 M

y B

2 2 则 A 点坐标为 (?1, ? ) 或 ( ?1, ) ,所以 M 点坐标为 2 2
1 2? 2 1 2? 2 (? , ) 或 (? , ). 2 4 2 4
(Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=-

O

F2

x

1 ,此时 2

x=- 1 2 (第 18 题图)

???? ? ???? ? 11 F2 A ? F2 B = . 8
当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,M(- B(x2,y2).

1 ,m) (m≠0),A(x1,y1), 2

? x12 ? y12 ? 1, ? ?2 由 ? 2 得 ? x2 ? y 2 ? 1, 2 ? ? 2
(x1+x2)+2(y1+y2) ? 则 -1+4mk=0, 故 k=

y1 ? y2 =0, x1 ? x2

1 . 4m

此时,直线 AB 的方程为 y-m= 即 y=

1 1 (x+ ), 4m 2

8m 2 ? 1 1 x+ . 8m 4m

? x2 ? y 2 ? 1, ? ?2 联立 ? 消去 y,整理得 2 1 8 m ? 1 ?y ? x? , ? 4m 8m ?
x2+x+

(8m2 ? 1)2 ? 64m2 =0, 4(1 ? 8m2 )

故 Δ=1-

(8m 2 ? 1) 2 ? 64m 2 >0,即 1 ? 8m 2
0<m2<

7 , 8
(8m2 ? 1)2 ? 64m2 . 4(1 ? 8m2 )

所以 x1+x2=-1, 于是 x1x2=

???? ? ???? ? F2 A ? F2 B =(x1-1)(x2-1)+y1y2
=x1x2+y1y2-(x1+x2)+1 =x1x2+y1y2+2 =x1x2+( =

8m 2 ? 1 1 8m 2 ? 1 1 x1+ )( x2+ )+2 8m 8m 4m 4m

3(8m 2 ? 1) 2 ? 8 . 8(1 ? 8m 2 )

令 t=1+8m2,则 1<t<8,于是

???? ? ???? ? 3t 2 ? 8 F2 A ? F2 B = 8t 1 8 = (3t+ ). 8 t ???? ? ???? ? 6 25 所以, F2 A ? F2 B 的取值范围为[ , ) . 2 8

19.(Ⅰ) (ⅰ)设等差数列 a1,a2,?,a2015 的公差为 d,则

a1 ? a2 ? ? ? a2015 ? 2015a1 ?
由题意得

2015 ? 2014d . 2

2015a1 ?
所以 a1 ? 1007d ? 0 ,即 a1008 ? 0 .

2015 ? 2014d ?0 , 2

当 d = 0 时,a1=a2=?=a2015=0,所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 ? 0 与性质 P 矛盾; 当 d > 0 时, 由 a1 ? a2 ? ? ? a2015 ? ? 所以

1 1 ,a1008 ? 0 , 得d ? 1 0 0 7 1 0 ? 0 8 2

,a1 ? ?

1 . 1008

an ? ?

1 n ?1 n ? 1008 ? ? (n ? 1,2,?,2015) . 1008 1007 ?1008 1007 ?1008

当 d ? 0 时,由 a1 ? a2 ? ? ? a1007 ? 所以

1 1 1 , a1008 ? 0 ,得 d ? ? , a1 ? . 1007 ? 1008 1008 2

an ?

1 ?n ? 1 1008 ? n ? ? (n ? 1, 2,?, 2015) . 1008 1007 ?1008 1007 ?1008
1007 ?1008

综上所述, an ? n ? 1008 或 an ? 1008 ? n (n ? 1, 2,?, 2015) .
1007 ?1008

(ⅱ)设 a1,a2,?,a2015 是公比为 q 的等比数列,则 当 q ? 1 时, a1 ? a2 ? ? ? a2015 ,则
a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 ? 0 ,

与性质 P 矛盾. 当 q ? 1时

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 ?
与性质 P 矛盾.

a1 ?1 ? q1005 ? 1? q

? 0.

因此不存在满足性质 P 的等比数列 a1,a2,?,a2015. (Ⅱ) 由条件知,必有 ai > 0,也必有 aj < 0 (i,j∈{1,2,?,2015},且 i≠j ) .

设 ai , ai ,?, ai 为所有 ai 中大于 0 的数, a j , a j ,?, a j 为所有 ai 中小于 0 的数.
1 2 l 1 2 m

1 1 由条件得 ai1+ai2+?+ail= ,aj1+aj2+?+ajm= - .所以 2 2
a a a a a a 1 1 a1 ? a2 ? ? ? an ? ( i ? i ? ? ? i ) ? ( j ? j ? ? ? j ) i1 i2 il j1 j2 jm 2 n
1 2 l 1 2 m

? (ai1 ? ai2 ? ? ? ail ) ? ? 1 1 ? 2 3010

1 (a j ? a j2 ? ? ? a jm ) 2015 1

?

1007 . 2015

20. (Ⅰ)因为x1,x2是方程f (x)??x =0的根,所以 f (x)??x=a(x?x1)(x?x2) . 当x∈(0,x1)时,由于x1< x2,a ??0,所以 a(x?x1)(x?x2)?0,故 x < f (x) . 因为x1? f (x)= x1?? a(x?x1)(x?x2) ?x=(x1?x)[ 1+a(x? x2)], 又 x1?x > 0,1+a(x? x2) = 1+ax?a x2 > 1?a x2> 0.于是 x1? f (x) > 0. 从而 f (x)< x1. 综上,x<f (x)< x1. b (Ⅱ)由题意知 x0 ? ? . 2a 因为x1, x2是方程f (x)??x = 0的根,即x1, x2是方程ax2+(b?1)x+c = 0的根, 所以 b ?1 , x1 ? x2 ? ? a
x0 ? ? b a( x1 ? x2 ) ? 1 ax1 ? ax2 ? 1 . ? ? 2a 2a 2a x0 ? ax1 x1 ? . 2a 2

因为a x2<1,所以


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