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高中数学必修5第三章不等式 一元二次不等式及其解法课件 新课标人教A版


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新课引入
问题 某同学要把自己的计算机接入因特网。现有两家 ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元(不足1小时按1 小时计算);公司B的

收费原则是在用户上网的第1小时 内(含恰好1小时)收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以 后每小时减少0.1元.(设用户上网时间总小于17小时).那么, 一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A的上网费用 小于或等于选择公司B所需费用? 假设一次上网 x小时,则公司A收取的费用为1.5 x 元 x(35 ? x) 公司B收取的费用为 元 20 如果能保证选择公司A比选择公司B所需费用少或相等, 则 x (35 ? x )

20
整理得

? 1.5 x

x 2 ? 5x ? 0

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互动探究:

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怎样求不等式 x

2

? 5x ? 0 的解集呢?
? x2 ? 5x 以及一元二次方程 x2 ? 5x ? 0
的两个根

考察它与二次函数 y 的联系

方程 x2 ? 5x ? 0
二次函数

y ? x2 ? 5x 的两个零点

x1 ? 0

, x2

? 5是

当 x ? 0 ,或 x ? 5 时,函数图象位于 2 轴上方,此时 y ? 0 ,即 x ? 5x ? 0 当 0? x?5 时,函数图象位于 轴上 方,此时 y ? 0 ,即 x2 ? 5x ? 0 所以,一元二次不等式

x

y
O 5

x

x

x 2 ? 5x ? 0 ? x 0 ? x ? 5?

的解集是

所以,当一次上网时间在5小时以内(含恰好5小时)时, 选择公司A的费用小于或等于选择B的费用;超过5小时, 选择公司B的费用少

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上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式的解集
首先,我们可以把任何一个一元二次不等式转化为下列四种形式 中的一种:

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(1)ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) (2)ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

(3)ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) (4)ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
以上四个不等式中我们规定了a ? 0,如果题目中给出的不等式中 二次项系数小于0,哪怎么办呢?

对了,我们只要在不等式两边同乘-1,然后把不等式的方向改变一 下,就可化为以上四种形式中的一种。
下面我们就利用二次函数的图象来解以上4个不等式。

金太阳教育网 www.jtyjy.com f(x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,且设方程 设函数 时的两个根分别是 x1 , x2 ,且 x1 ? x2
2

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ax ? bx ? c ? 0 在 ? ? 0
△<0

△=b2-4ac y=f(x)的图象

△>0

△=0

y
O
x1 x2

y x
O

y x x1 ? x2
O
没有实根

x

f(x)=0的根 f(x)>0的解集 f(x)<0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集

?x x ? x 或x ? x ?
2 1

x ? x1 或 x ? x2

x ? x1 ? x2
? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

?x x

1

? x ? x2 ?
2 1

R ? R ?

? R
? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

?x x ? x 或x ? x ?

?x x

1

? x ? x2 ?

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填写上表的依据是二次函数的图象,这实际上是一种数形结 合的思想。 由此我们可以得出解一元二次不等式的一般步骤:

(1)把所给不等式化为四种标准形式之一。

(2)判断所对应二次方程的根的情况;若
有根,则求出其根。 (3)画出所对应的二次函数的图象。 (4)根据图象写出不等式的解集。

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开始

将不等式转化成一般形式

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
? ? b 2 ? 4ac

??0 ?
是 求方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根 x1 , x2
2

否 方程 ax ? bx ? c ? 0 没有实数根
2

是 原不等式的解集为
b x ? ? 2a



x1 ? x2 ?

原不等式的解集为R

?x ???????????? ? x ???????????? x ? x1或x ? x2 ( x1 ? x2 )
结束

原不等式的解集为

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例1

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求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集。
2

y
O
1 x? 2

解:注意到 4 x

? 4x ? 1 ? (2 x ?1)2 ? 0

1? ? 所以原不等式的解集为 ? x x ? ? 2? ?

x

求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集。 引申变式:

?
练习

1

? x2 ? 4x ? 4 ? 0

2

x2 ? x ?

? x x ? 2?

1 ?0 4 ? ?x x ? ?

1? ? 2?

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例2

求不等式

? x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集
2

x2 ? 2 x ? 3 ? 0 2 x ? 2x ? 3 ? 0 ? ? ? 8 ? 0 因为 ,方程
解:不等式可化为
2

y
O

无实 数根, 而 y ? x ? 2x ? 3 的图象开口向上,
所以原不等式的解集为

?
2

x

求不等式 ? x 引申变式:

? 2x ? 3 ? 0

的解集。

R

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变式训练 2 1 不等式 3x ? 7 x ? 2 ? 0
A
? 1 ? ? x ? x ? 2? ? 3 ?

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的解集是( A )
? 1 ? x x ? 或 x ? 2 ? ? 3 ? ?

B D

2 不等式?6 x ? x ? 2 ? 0 的解集是( B )
2

? 1? C ? x ?2 ? x ? ? ? 3? ?

? x x ? 2?
? ? ? ?x ? 2 3 2? x?? ? 3? 1? 2?

A ?x ? ? x ? ?
C
? ? 1? ?x x ? ? 2? ?

?

2 3

1? 2?

B ? x x ? ? 或x ? ? D

2 y ? x ? x ? 12 的定义域是( B ) 3 函数

A ? x x ? ?4或x ? 3?

C

? x ?4 ? x ? 3?

B ? x x ? ?4或x ? 3? D ? x ?4 ? x ? 3?

例3 求下列不等式的解集: 2 2 ( 2 ) 4 x ? 4x ?15 ? 0 (1) ? 6x ? 5x ? 1 ? 0 2 2 (4)9x ? ?6x ?1 (3)5x ? 2x ? 3

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(5)3x ? 5 ? 4x
2
2 2 2 ( 2 x ? 56 )( 2 x ? 3) ? 0 5 x ? 2 3 2x 解:( 解:( 2 3 )将原不等式变形为 )将原不等式变形为 9 ? x ? 1 ? 0 1 4 )将原不等式变形为: 6 ? 5 x ? 1 ? 0 解:(5)将原不等式变形为 3x ? 4 x ? 5 ? 0 2

? 5 3? x ? ?⊿ x ?=-56 ? <0 ∵ ∴ 方程 原不等式的解集为 所对应的 5 xx ? x? (6 ?2 1)( x3 ?? 1)0 ? 0 ? ∵ 即 所对应的二次方程的 ⊿ =0 , < 2 =-442 ? ? 0,

?? ?? 11 ? x ? ∴ 原不等式的解集为 R。 ?x xR ?1 或 x? ? ? ?? ∴ ∴ 原不等式的解集为 原不等式的解集为 ?x 36 ?? ??

?

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1) 2x2 -3x -2>0
2) -3x2 +6x >2 3) 4x2 -4x + 1>0 4) -x2 +2x -3>0

1 ? x x ? ? 2 , 或 x ? 2?

? 3 3? ? ? ? x ? 1? ?x 1? ? 3 3 ? ? ? ?

{x x ? 1 2}

?

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小结:
根据数形结合的思想,利用一元二 次函数的图象解一元二次不等式。

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再 见


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