nbhkdz.com冰点文库

几何证明选讲教案


几何证明选讲教学设计
考试要求
1、了解平行线等分线段定理和平行截割定理;掌握相似三角形的判定定理及性质定理;理 解直角三角形射影定理; 2、理解圆周角定理及其推论;掌握圆的切线的判定定理及性质定理;理解弦切角定理及其 推论; 3、掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理;理解圆内接四边形的性质定理与判定定理. 教材分析 这是新课程选修课程的一个新的内容, 本专题

的内容包括相似三角形的进一步认识、 圆的进 一步认识.平行线等分线段定理是在“一组平行线”只取三条这种最简单的情况下证明的, 证明的方法是借助梯形常用的辅助线把梯形分成平行四边形和三角形, 用平行四边形和三角 形的知识进行证明. 平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形, 是研究相似形最重要 和最基本的理论, 其证明体现了化归的思想, 把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要 推论,这个推论是判定三角形相似的理论基础.圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理 论证和计算中应用比较广泛,将圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时,就得到弦切角,圆 周角定理和弦切角定理的证明都体现了分类讨论的思想,体现了从特殊到一般的思维过 程.相交弦定理、割线定理、切割线定理合称“圆幂定理”,在有关的计算和证明中起着重 要的作用. 本讲的内容在初中已经通过观察、 实验和操作的方法初步了解, 这里不仅是对初中知识的深 化,更侧重于逻辑推理与抽象思维.在几何证明的过程中,不仅包含了逻辑演绎的程序,还 包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程,因此本章是考查推理能力和逻辑思维能力的 好资料,在平时的训练中要熟悉基本图形和基本结论,善于归纳总结,提高运用几何方法解 决问题的能力.

第一讲 平行线等分线段定理和平行截割定理
教学目标 知识与技能:复习相似三角形的定义与性质,了解平行截割定理. 过程与方法:以“平行线分线段成比例定理”为起点,给出相似三角形定义后,逐步讨论相 似三角形的判定定理、性质定理等等。 情感态度价值观:基本数学思想是比例及其性质的应用,通过观察、探索、发现的创造性过 程,培养创新意识。 教学重点 平行线分线段成比例定理. 教学难点 相似三角形的判定定理、性质定理等等。 课 时 3 课时

1

一.基础知识回顾
1、如图 15-1,l1∥l2∥l3,AM=3,BM=5,CM=4.5,EF=16,则 DM= EK= ,FK= . 答案:DM=7.5,EK=6,FK=10; 2、如图,ΔABC 中,点 D 为 BC 中点,点 E 在 CA 上,且 CE= 则 AF:FD= 答案:AF:FD=4:1; 3、一个等腰梯形的周长是 80cm,如果它的中位线长与腰长相等,它的高是 12cm,则这个 梯形的面积为 答案:240; 4、如图 15-3,AB 是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚 B 距墙 80cm,梯上点 D 距墙 70cm,BD 长 55cm,则梯子的长为 A C M K D F 答案:440. B 图 15-1 E cm. A l1 l2 F l3 B D 图 15-2 E C ┐ ┐ A cm2. . ,

1 EA,AD,BE 交于点 F, 2

D B

图 15-3

二.典型例题讲解
例 1.如图 15-4,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,E 是 AB 边的中点,连结 ED、 EC,求证:ED=EC. 分析:要证明 ED=EC,只要设法证明 E 在线段 CD 的垂直平分线上. A 证明:过 E 点作 EF∥ 交 DC 于 F 点. BC D ∵ 在梯形 ABCD 中,AD∥ BC, ∴ AD∥ EF∥ BC. E F ∵ 是 AB 的中点, E ∴ 是 DC 的中点. F ∵ ADC=90° ∠ ∠ ,∴ DFE=90° . B C 图 15-4 ∴ EF⊥ DC, ∴EF 是 DC 的垂直平分线. ∴ED=EC. 评析:根据平行线等分线段定理可以得到,在梯形中,若已知一腰的中点,那么过这 点作底边的平行线即可得到另一腰的中点, 本题正是利用这一结论再结合线段垂直平分线的 性质得证的.平行截割定理的应用很广泛,它体现了从简单到复杂、从特殊到一般的数学思 想,是研究相似形最重要、最基本的理论. 例 2.如图 15-5,在 ΔABC 中,作直线 DN 平行于中线 AM,设这条直线交边 AB 与点 D, 交边 CA 的延长线于点 E,交边 BC 于点 N. E 求证:AD∶AB=AE∶AC. A 分析:要证明 AD∶AB=AE∶AC,必须找到与 D
2

B

N

M

C

AD∶AB 和 AE∶AC 都相等的第三个量.

证明:∵AM∥EN,
∴AD∶AB=NM∶MB,NM∶MC=AE∶AC. ∵MB=MC, ∴AD∶AB=AE∶AC. 评析:本题的理论依据是平行于三角形一边的 直线截其他两边,截得的三角形与原三角形的对应边成比例.由于直接证明相对较困难,所 以利用了中间比进行等量代换,这种方法在有关比例式的证明中经常使用. 例 3.在梯形 ABCD 中,点 E、F 分别在腰 AB、CD 上,EF∥AD,AE∶EB=m∶n. 求证:(m+n)EF=mBC+nAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗?

分析:要证明(m+n)EF=mBC+nAD,只要证明 EF=

m n BC ? AD , m?n m?n

又 EF 与 AD、BC 都平行,因此比较容易联想到平行截割定理. 证明:【方法一】如图(1),连结 AC,交 EF 于点 G. ∵AD∥EF∥BC,

DF AE m ? ? . FC EB n AE m CF n ? ? ∴ , . AB m ? n CD m ? n
∴ ∵EG∥BC,FG∥AD,

B

C

E A

G (1)

F D

EG AE m GF CF n ? ? ? ? ∴ , . BC AB m ? n AD CD m ? n m n BC ,GF= AD , ∴EG= m?n m?n m n BC + AD , ∴EF=EG+GF= m?n m?n
∴(m+n)EF=mBC+nAD. 当 EF 为中位线时,AE∶EB=1∶1,即 m=n=1, 得 2EF=BC+AD,即 EF=

B

C

E A

H G (2)

F D

1 (BC+AD). 2

【方法二】如图(2),过点 B 作 BG∥CD,交 EF 于点 H,交 AD 于 G. ∵AD∥EF∥BC,BG∥CD, ∴BC=HF=GD.

BE n ? , AE m EH BE n n ? ? AG . ∴ ,EH= AG AB m ? n m?n n AG +HF. ∴EF=EH+HF= m?n
∵EH∥AG, ∴(m+n)EF=nAG+(m+n)HF=nAG+mBC+nGD=mBC+nAD. 评析:这个结果称为线性插值公式.当点 E、F 在 AB、DC 的延长线上(或 BA、CD 延长线上)时,由于 AE 与 EB 的方向相反,可以把 m∶n 理解为负值,在此理解下,此公 式仍然成立.证明可仿上面的证明给出. C
3

┐ A

O

└B

三.精选试题演练
1、如图 15-6,已知:AC⊥AB,BD⊥AB,AO=78cm, BO=42cm,CD=159cm,则 CO= DO= cm. 答案:103.35,55.65; 2、已知,如图 15-7,AA′∥EE′,AB=BC=CD=DE, A′B′=B′C′=C′D′=D′E′,若 AA′=28mm,EE′=36mm, 则 BB′= ,CC′= ,DD′= . E cm, A B C D A′ B ′′ C ′′ D ′′ ′ ′ E

图 15-7 ′ 答案:30mm,32mm,34mm; 3、如图 15-8,BC∥B′C′,AC∥A′C′.求证:AB∥A′B′.如果 BC=2B′C′,那么 AB 是 A′B′ 的多少倍? A

OB OC BC ? ? ?2. ∵ OB? OC? B?C? OA OC ? AC∥A′C′,∴ . OA ? OC ? OA OB ? ? 2 ,∴AB∥A′B′,AB=2 A′B′. ∴ O A ? OB ?
提示: ∵BC∥B′C′, ∴

C′ B B′ A′ 图 15-8 C

O

4、如图 15-9,EF∥BC,FD∥AB,AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm.求 BD. 答案:2.1cm. 提示:∵EF∥BC,∴ A

AF AE 3 ? ? .∵DF∥AB,∴ CF BE 2
E F

BD AF 3 ? ? , DC CF 2 3 即 BD= DC =2.1cm. 2

B

D 图 15-9

C

5、如图 15-10,过梯形 ABCD 的对角线交点 O 作直线 EF 平行于底,分别交两腰 AD、BC 于点 E、F,求证:

1 1 2 ? ? . AB CD EF
E

D

C F

EO DE OF CF ? ? 提示: ∵EF∥BC∥AD, ∴ , , AB DA AB CB EO AE OF BF ? ? , CD AD CD BC A EF EF ? ?2 , 则 将 四 个 等 式 相 加 得 到 AB CD 1 1 2 ? ? . AB CD EF

O

B 图 15-10

6、如图 15-11,直线 l 分别交 ΔABC 的边 BC,CA,AB 所在直线于点 D,E,F,
4

且 AF=

1 5 EC AB,BD= BC,求 . 3 2 AE
F

A E

提示:作 CN∥AB 交 DF 于点 N,由平行割线定理得

BF DB CN EC ? ? , , 两 式 相 乘 得 CN DC AF AE EC BF DC 1 BF ? ? ? 2 ,由 .又由 AF= AB 得 AE AF DB 3 AF 5 DC 3 EC 3 6 ? ,则 BD= BC 得 =2× = . 2 DB 5 AE 5 5

B

C 图 15-11

D

7、已知:M,N 分别为平行四边形 ABCD 的边 AB,CD 的中点,CM,AN 分别交 BD 于点 E,F,求证:E,F 三等分 BD. 提示:∵∥AB∥CD 且 AB=CD,M,N 分别为 AB,CD 的中点,∴AM∥CN,AM=CN, ∴四边形 ABCD 是平行四边形.∴AN∥CM.∵DN=NC,由平行截割定理知 DF=FE,同理 FE=EB.则 E,F 三等分 BD. 8、如图 15-12,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,E,F 分别是 AB,CD 的中点. 求证:GH=

1 (BC-AD). 2
E

A

D

提示:由条件得 EF 是梯形 ABCD 的中位线,则有 EF∥ AD∥BC,由平行线等分线段定理得 AH=HC,BG=GD, ∴FH=

G

H

F

1 1 1 AD, FG= BC, ∴GH=FG-FH= (BC-AD) . B 2 2 2

图 15-12

C

9、如图 15-13,BD=CE,求证:AC· EF=AB· DF. 提 示 : 过 点 D 作 DG ∥ AC , 交 BC 于 点 G , 得

A

AC DG DG DF ? ? ? . AB BD EC EF
或过点 E 作 EM∥AB,可得

AC EC DB DF ? ? ? . AB EM EM EF

D

E

B

C 图 15-13

F

四.教学反思
本讲的知识重点是平行线等分线段定理、 平行截割定理及其推论, 是研究相似形最重要 和最基本的理论,它一方面可以直接判断线段成比例,另一方面,当不能直接证明要证的比 例成立时, 常用定理把两条线段的比 “转移” 成另两条线段的比。 在使用定理和推论的时候, 应特别注意对应的问题。 这一部分常见的题型为利用比例计算线段的长度和利用平行关系证明比例式(或等积

5

式),突破难点的关键在于抓住平行找比例,没有平行作平行,多个比例巧过渡,需要注意 的是,在图形中添加平行线一般要遵循的以下原则:一是不能破坏给定的条件;二是作出的 辅助线要能“一线两用”.

6

第二讲 相似三角形的判定与性质
教学目标 知识与技能:复习相似三角形的定义与性质,证明直角三角形射影定理。 过程与方法:以“平行线分线段成比例定理”为起点,给出相似三角形定义后,逐步讨论相 似三角形的判定定理、性质定理等等。 情感态度价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点 相似三角形的判定定理、性质定理等等。 教学难点 相似三角形的判定定理、性质定理等等。 课 时 3 课时

一.基础知识回顾
1、 如图 15-14, ΔABC 中, ∠1=∠B, Δ 则 则 AC= . 答案: ACD,ABC, 15 ; 2、两个三角形相似,它们的周长分别是 12 和 18,周长较小的三角形的最短边长为 3,则另 一个三角形的最短边长为 . 答案: ∽Δ . 此时若 AD=3, BD=2,

9 . 2

3、如图 15-15,CD 是 RtΔABC 的斜边上的高. (1)若 AD=9,CD=6,则 BD= ; (2)若 AB=25,BC=15,则 BD= . 答案:4;9. 4、如图 15-16,已知∠1=∠2,请补充条件: (写一个即可), 使得 ΔABC∽ΔADE. C E A C 1 ╮ 1 ╭ B 图 15-14 C A ┐ D 图 15-15 B A ╮ 2 D B

D

图 15-16

答案:∠B=∠D(或∠C=∠E,或

AE AD ? ). AC AB

二.典型例题讲解
例 1.如图 15-17,A、B、C、D 在一条直线上,EA⊥AD,垂足为 A,AB=BC=CD=AE. 求证:Δ BCE∽Δ BED. 分析:ΔBCE 与 ΔBED 有一个公共角,因此只要再找一对角对应相等或证明夹这个公 共角的两边成比例. E
7

┐ A

B C 图 15-17

D

证明:设 AB=a,在 RtΔABE 中,AB=AE=a,
∴ BE= AB2 ? AE2 = 2 a. 在 ΔBCE 和 ΔBED 中,

BD 2a BE 2a ? ? 2, ? ? 2, BE BC a 2a BE BD ? ∴ . BC BE
∵ 又∵∠CBE=∠EBD, ∴ΔBCE∽ΔBED. 评析: 三角形相似的证明方法很多, 解题时应根据条件, 结合图形选择恰当的方法. 一 般的思考程序是:先找两对内角对应相等;若只有一个角对应相等,再判定夹这个角的两边 是否对应成比例;若无角对应相等,就证明三边对应成比例.

例 2.如图 15-18,E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点,且 求证:∠AEF=∠FBD.

EB AF 1 ? ? . AB AD 3

分析:∠AEF 是 RtΔAEF 的一个锐角,因此要证明∠AEF=∠FBD,可以通过证明
三角形相似得到.

证明:过点 F 作 FM⊥BD 于点 M.
设正方形的边长为 a,则 BD= 2 a.

A

F

D M

EB AF 1 ? ? , AB AD 3 1 2 ∴EB=AF= a,AE=DF= a. 3 3
∵ 在 RtΔDMF 中,EM=DM= ∴BM= 2 a-

E B 图 15-18 C

2 2 DF= a, 2 3

2 2 2 a= a. 3 3

在 RtΔAEF 和 RtΔMBF 中,

2 1 a a 1 AF 3 1 FM ? 3 ? , ∵ ? ? , AE 2 2 BM 2 2a 2 a 3 3
∠A=∠BMF=90°, ∴ΔAEF∽ΔMBF. ∴∠ AEF=∠ FBD.

评析: 本题的难点是构造含∠ AEF 和∠ FBD 的相似三角形. 在含正方形的有关证明中,
常借助正方形的性质采用计算法证明. 例 3.如图 15-19,AD、BE 是 ΔABC 的两条高,DF⊥AB,垂足为 F,直线 FD 交 BE 于点 A G,交 AC 的延长线于 H.求证:DF2=GF·HF.

分析:由于 DF,GF,HF 三条线段在同一条直线上,因此想直
8

F G ┐ D

E

B

C

接得到关系式比较困难,考虑用第三个量作代换.

证明:在 ΔAFH 与 ΔGFB 中,
∵∠H+∠BAC=90° ,∠GBF+∠BAC=90° , ∴∠H=∠GBF. ∵∠AFH=∠GFD=90° , ∴ΔAFH∽ΔGFB. ∴

HF AF ? ,∴AF· BF=GF· HF. BF GF

∵在 RtΔABD 中,FD⊥AB, ∴DF2=AF· BF. ∴DF2=GF· HF.

评析:本题涉及两个基本图形:含斜边上高的直角三角形,含两条高的锐角三角
形.含两条高的锐角三角形是相似形中的基本图形,图中有多对相似三角形,在解题时要充 分利用图形提供的有效信息, 选择有用的条件和结论. 另外直角三角形的射影定理是相似三 角形的性质在直角三角形中的应用,在解题中使用十分频繁.

三.精选试题演练
1、已知,如图 15-20,在平行四边形 ABCD 中,DB 是对角线,E 是 AB 上一点,连结 CE 且延长和 DA 的延长线交于 F,则图中相似三角形的对数是( ). A.2 B.3 C.4 D.大于 4 答案: D. 2、如图 15-21,已知 ΔABC 中,BC=30,高 AD=18,EFGH 是 ΔABC 的内接矩形,EF=12, 则 GF=( ). A.7.2 B.10.8 C.12 D.9 答案:B. 3、如图 15-22,ED∥FG∥BC,且 DE,FG 把 ΔABC 的面积分为相等的三部分,若 BC=15, 则 FG 的长为( ). A.5 6 B.10 C.4 3 D.7.5 A D G A E F 图 15-20 B B C H A G F C B 图 15-22 D E G C

┐ D F E 图 15-21

答案:A. 4、如图 15-23,已知矩形 ABCD 中,∠AEF=90°,则下列结论一定正确的是( A.ΔABF∽ΔAEF B.ΔABF∽ΔCEF C.ΔCEF∽ΔDAE D.ΔADE∽ΔAEF D E C
9

).

A

E ┐ C D 图 15-24 B

F A 图 15-23 B

答案:C. 5、如图 15-24,在 RtΔABC 中,∠C=90°,D 是 BC 中点,DE⊥AB,垂足为 E,∠B=30, AE=7.求 DE 的长. 答案:

7 3. 5

6、如图 15-25,四边形 ACBD 中,E 是 CD 上一点,且∠DAB=∠EAC,.∠DBA=∠ECA. 求证:ΔADE∽ΔABC.

提示:先证明 ΔABD∽ΔACE,可得

AB AD ? ,再证明∠DAE=∠BAC; AC AE
A D

E B 图 15-25 7、如图 15-26,在 ΔABC 中,∠ACB=90° ,M 是 BC 的中点,CD⊥AM,垂足为 D. 求证:ΔAMB∽ΔBMD. 提示:由直角三角形射影定理得 CM2=DM· AM, 从而有 BM2= DM· AM, 即 是公共角,可得结论; C

C

D

M

BM AM ? , 又∠AMB DM BM

A

图 15-26

B

8、如图 15-27,已知 RtΔABC 中,∠C=90° ,AC=3cm,BC=4cm,在该直角三角形中作内 接正方形,使其顶点均在 ΔABC 的边上,求正方形的边长. A 提示:要分两种情况,(1)正方形的一个顶点在斜边上,一 个顶点与 C 点重合,正方形的边长为 一条边在斜边上,正方形的边长为

12 cm;(2)正方形的 7
C ┐ 图 15-27 B

60 cm; 37

9、如图 15-28,已知直角梯形 ABCD 中,∠A=∠B=90° ,设 AB=a,AD=b,BC=2b,作 DE⊥DC,交 AB 于点 E,连结 EC. (1)对于①ΔDCE 与 ΔADE;②ΔADE 与 ΔBCE,试判断各组的三角形是否一定相似; (2)如果两个三角形一定相似,请加以证明;

10

(3)如果不一定相似,请指出它们相似时,a,b 应满足什么关系. A 答案:(1)ΔDCE 与 ΔADE 一定相似,ΔADE 与 ΔBCE 不一定 相似; (2)提示:作 DF⊥BC,垂足为 F,利用 RtΔADE∽RtΔFDC E D

AE CF ? , AD DF b 2 b2 a ? b 2 ,从而 则 AE= ,用勾股定理可以计算得 ED= a a AD DC a ? ? , 可以得到 AE DE b
得到 可以证得 RtΔDCE 与 RtΔADE;

B

图 15-28

C

(3)提示:利用相似三角形的对应边成比例可以计算得,当 ΔADE∽ΔBCE 时,a= 3b .

四.教学反思
相似三角形的定义、 判定和性质是初中已学的内容, 但在初中平面几何中没有给出定理 的证明,通过本讲知识的学习可以体会逻辑推理、几何证明的重要性,在解题过程中应注意 观察基本图形与定理间的关系, 通过寻找基本图形把已知和未知联系起来, 先明确需要证明 哪两个三角形相似,再寻找三角形相似的条件,从而发现证题思路.

11

第三讲
教学目标

直线和圆

知识与技能:证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。 过程与方法:以“圆周角定理”和“圆的切线概念”为起点,采用从特殊到一般的思想方法, 得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明,圆的切线的性质和判定的有关定理; 情感态度价值观:从特殊到一般的思想方法,通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创 新意识。. 教学重点 圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 教学难点 圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 课 时 3 课时

一.基础知识回顾
1、下列命题中错误的是( ). A.过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行 B.直线 AB 与⊙O 相切于点 A,过 O 作 AB 的垂线,垂足必是 A C.若同一个圆的两条切线互相平行,则连结切点所得的线段是该圆的直径 D.圆的切线垂直于半径 答案:D. 2、如图 15-29,PA、PB、CD 都是⊙O 的切线,A、B、E 为切点?若 AP⊥PB,垂足为 P, Δ PDC 的周长为 C,⊙O 的周长为 C1,则 C1 与 3C 的大小关系是( ) A.C1?3C B.C1?3C C.C1=3C D.与半径有关 答案:A. 3、如图 15-30,点 P 是⊙O 的直径 BA 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点 C,CD⊥AB, 垂足为 D,连结 AC、BC、OC,那么下列结论中正确结论的个数有( ). 2 2 ①PC =PA· PB;②PC· OC=OP· CD;③OA =OD· OP;④OA(CP-CD)=AP· CD. A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D. C m B A C E O ┐ · E · P O B A O D P D D B 图 15-29 图 15-30 A 图 15-31 C

4、如图 15-31,已知 AB 是⊙O 的弦,AC 切⊙O 于点 A,∠BAC=60°,则∠ADB 的度数

12

为 答案:120°.



二.典型例题讲解
例 1.已知:Δ ABC 内接于⊙O,BT 为⊙O 的切线,P 为直线 AB 上一点,过点 P 作 BC 的 平行线交直线 BT 于点 E,交直线 AC 于点 F? (1)如图 15-32(1),求证:当点 P 在线段 AB 上时,PA·PB=PE·PF; (2)如图 15-32(2),当点 P 在线段 AB 的延长线上时,上述结论是否还成立? 如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由? A P F · O T B E 15-32(1) M C A · O E T C F

B

15-32(2) P 分析:第(1)问中,要证明 PA·PB=PE·PF,就是证明四条线段所在的两个三角 形相似.

解:(1)证明:∵BT 切⊙O 于点 B ,
∵EF∥BC , ∴?EBA=?AFP. ∵?BPE=?FPA, ∴

∴?EBA=?C.

∴?AFP=?C. ∴Δ PBE∽Δ PFA. ∴PA·PB=PE·PF.

PB PE ? . PF PA

(2)当 P 为 AB 延长线上一点时,(1)中的结论仍成立? ∵BT 切⊙O 于点 B , ∴?ABM=?ACB. ∵?ABM=?PBE , ∴?PBE=?ACB. ∵EF∥BC, ∴?F=?ACB. ∴?PBE=?F. ∵?P 是公共角 , ∴Δ PBE∽Δ PFA. ∴

PB PE ? . PF PA

∴PA·PB=PE·PF.

评析:本题第(1)小题是在圆中求证等积式的问题.根据弦切角定理及已知条件 PB PE ? PE∥BC,证得Δ PBE∽Δ PFA,得到 ,从而有 PA·PB=PE·PF.第(2) PF PA
题中当点 P 为 AB 延长线上一点时,由于相切及 PE∥BC 的条件没变,因此相关的角 的相等关系不变,仍可证得Δ PBE∽Δ PFA,得出相同的结论. 例 2.如图 15-33,已知⊙A、⊙B 都经过点 C,BC 是⊙A 的切线,⊙B 交 AB 于点 D,连结 CD 并延长交⊙A 于点 E,连结 AE? (1)求证:AE⊥AB; (2)求证:DE·DC=2AD·DB; (3)如果 DE·DC=8,AE=3,求 BC 的长?
13

分析: 要证明 AE⊥ AB, 只要证明∠EAD=90° 也就是证明Δ ADE 的另外两个角互余, ,
结合圆的基本性质和切线的性质可得证.

解:(1)证明:∵AC 与⊙B 相切 ,

C ∴AC⊥BC, ∴?ACD+?BCD=90?. A F B D ∵AC=AE,BC=BD, ∴?ACD=?E,?BCD=?BDC. E ∵?ADE=?BDC, 图 15-33 ∴?E+?ADE=90?. ∴?EAD=90? . ∴AE⊥AB. (2)证明:延长 DB 交⊙B 于点 E,连结 FC,则 DF=2DB,?DCF=90?. ∵AC 与⊙B 相切, ∴?ACD=?F .∴?E=?F. ∴RtΔ ADE∽RtΔ CDF. ∴

AD DE ? . ∴DE·DC=AD·DF . CD DF

∵DF=2DB, ∴DE·DC=2AD·DB. (3)∵DE·DC=2AD·DB,DE·DC=8, ∴AD·DB=4. 2 2 2 ∵AC=AE=3,BD=BC,AB =AC +BC ∴(AD+DB)2=AE2+BC2 . ∴AD2+2AD·DB+DB2=9+BC2. ∴AD2+8=9 . ∴AD=1. ∴BD= 4. 即 BC= 4. 评析:第(2)题的突破口在 2AD·DB 的转化,除了延长半径成直径这一方法外, 还可以延长 DA 到 G,使 AG=DA 等其它方法.事实上,在证明一些带有倍数的乘积式(或 比例式)时,常常需要将它转化为标准的比例式,即用具体的线段代换“倍线段”,以便进 一步探寻.本题的第(3)问还可以通过切割线定理来解决,同样需要运用整体思维方法和 方程的思想? 例 3.已知⊙O1 与⊙O2 的直径分别为 4 和 2,如果它们有两条公切线互相垂直,试画出所有 可能的图形,并求出圆心距的长? 分析:条件中没有明确说明公切线的类型,因此应分为三类:两条都是外公切线;两 条都是内公切线;一条外公切线、一条内公切线. 解析:共有三种可能的图形,如下所示: A E · O1 B

A

D

O1 ·A C A · O2 · O2 O1 E A O2 D A E B D A C A C A A A B 图1 图3 图2 A A A 图 1:连结 O1A、O2B,则 O1A⊥AB,O2B⊥AB.作 O2E⊥O1A,垂足为 E. A A A 根据条件可得在 RtΔ O1O2E 中,O1A 1A-O2B=2-1=1,?O1O2A= 45?, E=O A ∴圆心距 OA 2= 2 . O 1 A A A A A A A 14 A A A A

图 2:连结 O1O2,则 O1O2 经过两条公切线的交点 E?连结 O1A、O2B, 则 O1A⊥AB,O2B⊥AB. 在 RtΔ O1AE 中,O1A=2,?O1EA=45? ,∴O1E=2 2 . 在 RtΔ O1BE 中,O2B=1,?O2EB= 45? ,∴O2E= 2 . ∴圆心距 O1O2=3 2 . 图 3:连结 O1A、O2B、O1C、O2D, 则 O1A⊥AB、O2B⊥AB、O1C⊥CD,O2D⊥CD. 连结 O1O2,作 O2E⊥O1A,垂足为 E,此时 O2、D、E 三点共线. 在 RtΔ O1O2E 中,O1E=O1A-O2B=2-1=1,O2E=AB=O1C+O2D=2+1=3,
2 2 ∴圆心距 O1O2= O1 E ? O2 E ?

3 2 ? 12 ? 10 .

评析:因为两个圆的半径分别为 2 和 1,因此若两个圆外切,不可能出现两条外公切
线互相垂直或一条外公切线与一条内公切线互相垂直的情况. 由此可以断定两圆的位置关系 为相交或外离.当两圆外离时,又会有两条内公切线互相垂直(如图 2)和一条外公切线与 一条内公切线互相垂直(如图 3)这两种可能. 在解题过程中,应用了这样一些性质:如果两圆有两条外(或内)公切线,并且它们 相交,那么交点一定在两圆的连心线上,并且连心线平分两条外(或内)公切线的夹角.图 3 是容易被遗漏的一种情况,在图 3 中,两条互相垂直的公切线和两圆的半径构成两个正方 形.

三.精选试题演练
1、如图 15-34,AB=BC=CD,∠E=40°,则∠ACD= B A E D 图 15-34 C B O 图 15-35 C . A P B 图 15-36 D C

D A

答案: 15°. 2、如图 15-35,已知⊙O 的切线 PC 与直径 BA 的延长线相交于点 P,C 是切点,过 A 的切 线交 PC 于 D,如果 CD∶PD=1∶2,DA=2,那么⊙O 的半径 OC= . 答案:2 3 ; 3、如图 15-36,ΔABC 内接于⊙O,AD 切⊙O 于 A,∠BAD=72°,则∠ACB= . 答案:108°. 4、如图 15-37,已知 AD、AE 分别和圆相切于点 D、E,直线 BC 和圆相切于点 F,和 AD、 AE 分别相交于 B、C 两点?AB=8,BC=7,AC=9,?DAE=50?,则 AD=——————,BF=————— —,?OAD=——————,?DOE=——————,?DFE=——————?? 答案:12,4,25?,130?,115?. 5、如图 15-38,ABCD 是⊙O 的内接四边形,AC 平分∠BAD 并与 BD 交于 E 点,CF 切 ⊙O 于 C 交 AD 延长线于 F,图中四个三角形:①ΔACF;②ΔABC;③ΔABD;④ΔBEC, 其中与 ΔCDF 一定相似的是( ). A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 答案:D;
15

1

D m O F C A B B O ·

A

D

F C 图 15-38

图 15-37 6、如图 15-39,已知⊙O1 与⊙O2 外切于点 A,⊙O1 的弦 BC 的延长线切⊙2 于点 D,BA 交 ⊙O2 于点 E.求证:?CAD=?DAE. 提示:过 A 作两圆的公切线 AF 交 BD 于 F,∵AF、BD 都是⊙O 的切线, ∴∠FAC=∠B,∠FDA=∠FAD.∵∠DAE=∠FDA+∠B, ∠CAD=∠FAC+∠FAD, E A ∴?CAD=?DAE. · O · 1 O2 D C 图 15-39 7、如图 15-40,CA、CD 分别切⊙O 于 A、D,AB 是⊙O 的直径,DE⊥AB,垂足为 E, DE 交 BC 于点 G,求证:EG=DG. A C 提示:过 B 作⊙O 的切线交直线 CD 于 F, 由 B

EG BE DF BF DG DG ? ? ? ? ? , AC AB CF CF CD CA
· O D G E

可得 EG=DG.

B 图 15-40 8、如图 15-41,AB 是⊙O 的直径,AB=2R,直线 l 和⊙O 相切于点 B,D 是圆上的一个动 点(不与 A、B 重合),过点 D 的⊙O 的切线交 l 于点 C,连结 AD、OC,则不论点 D 在 圆上如何移动,总有 AD∥OC,且 AD·OC=2R2,你能说出理由吗? 提示:连结 BD?∵CD、CB 是圆的切线,∴CD=CB,CO 平分 ?BCD.∴CO⊥BD. ∵AB 是⊙O 的直径,∴?ADB=90?.∴AD⊥BD,∴AD∥OC. ∵CB 与⊙O 切于 B, ∴CB⊥OB. ∵AD∥OC, ∴?DAB=?COB. ∴RtΔ ADB∽RtΔ OBC. ∴ C D

AD AB ? . ∴AD· OC=AB· OB=2R2. A OB OC

O

B l

图 15-41

16

9、已知:如图 15-42,D 为Δ ABC 外接圆的 BC 的中点,点 I 在 DA 上,且 DI=DB,AD 与 BC 相交于 E?求证:(1)ID 是 AD 和 DE 的比例中项;(2)I 为Δ ABC 的内心?

提示:(1)∵D 是 BC 的中点, ∴BD=DC.∴?DBE=?DAB. ∵?D 是Δ DBE 和Δ DAB 的公共角,∴Δ DBE∽Δ DAB. ∴DB?DA=DE?DB. ∴DB2=AD·DE. ∵DI=DB, ∴DI2=AD·DE. 即:I D 是 AD 和 DE 的比例中项. (2)连结 BI. ∵DI=DB, ∴?DBI=?DIB. ∵Δ DBE∽Δ DAB, ∴?DBE=?DAB. ∵?DBI=?DBE+?IBE,?DIB=?DAB+?IBA, ∴?IBE=?IBA. ∵D 是 BC 的中点, ∴?BAD=?CAD. 即 IA 平分?BAC.∴I 为Δ ABC 的内心.

A

· ·I B E D 图 15-42 C

10、如图 15-43,已知 BC 为⊙O 的一条弦,它所对的劣弧 CB 的度数为 124°,CB 的延长 线上有一个动点 P,PA 切⊙O 于 A,∠APB 的平分线交 AB 于 E,交 AC 于 D. 求证:(1)∠ADP 的大小为定值;(2)PA2∶PB2=DC∶EB. A 提示:(1)证∠ADE=∠AED 可得∠ADP=59°; (2)证 ΔPAD∽ΔPBE,ΔPCD∽ΔPAE.

D O· C EB 图 15-43 P

四.教学反思
1、证明直线与圆相切的问题,其条件常常可归结 为下面两种图形结构,如图所示为:

O · · A

O ·

A B B C 图2 图1 两个图形的区别在于图一中标注出了公共点 C(已知直线过圆上某一点),因此在解决图一 所代表的一类问题中,添加辅助线的方法是:连结 OC? 通过证明 OC ? AB.得到直线 AB 是 圆的切线,即证明位置关系,其理论依据是直线与圆相切的判定定理?图二所代表的一类问 题不给出公共点的字母(直线与圆的公共点没有确定),因此添加辅助线的方法是:过点 O 作 OC?AB,垂足为 C? 通过证明 OC 等于⊙O 的半径得到直线 AB 是圆的切线,即证明数 量关系,其理论依据是直线与圆相切的定义:如果⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离 为 d,那么直线 l 与圆相切?d = r ?
17

因此要解决直线与圆相切的问题,只要仔细分析题目的条件及图形特征符合上面的哪 种情况,选择相对应的解决方法?

O ·

O ·

A

C

B

A

C

B

2、如图,直线 PA 与⊙O 相切,A 为切点,则有:(1)OA⊥PA;(2)?PAB=?C. 已知直线与圆相切时,常常连结圆心和切点,得到半径,则半径与切线 C 垂直,简述为“遇到切点连半径”?弦切角是除圆心角、圆周角、圆内 B O 接四边形的内角、外角之外和圆相关的又一类特殊的角,它在解决与圆 有关的证明、计算的问题中起着重要作用? P A

18

第四讲 与圆有关的比例线段
教学目标 知识与技能:证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 过程与方法:先猜后证,猜想的获得应用了“从特殊到一般”的思想方法。 情感态度价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点 相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 教学难点 相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 课 时 3 课时

一.基础知识回顾
1、如图 15-44,点 P 为弦 AB 上一点,连结 OP,过点 P 作 PC⊥OP,PC 交⊙O 于 C,若 AP = 4,PB = 2,则 PC 的长是( ). A. 2 B.2 C.2 2 D.3 答案:C? 2、 如图 15-45, 是⊙O 的直径, 是 AB 延长线上一点, 切⊙O 于点 C, AB P PC PC=3, PB=1, 则⊙O 的半径为( ). A.

5 2

B.3 B P · O A 图 15-44 C

C.4

D.

9 2
C A

A

· O 图 15-45

B

P

C 图 15-46

B

P B

答案:C. 3、 如图 15-46, 与圆切于点 A, PA 割线 PBC 交圆于点 B、 若 PA=6, C, PB=4,AB 的度数为 60?,则 BC= ,?PCA= ?, ?PAB= ?. 答案:5,30,30. 4、如图 15-47,两个同心圆间的圆环的面积为 16 ? ,过小圆上任一点 P 作大圆的弦 AB,则 PA·PB= . 答案:16.

P A 图 15-47

二.典型例题讲解
例 1.如图 15-48,已知⊙O 的半径为 9cm,OP=7cm,弦 AB 过 P 点,且 PA=2PB,求 AB. 分析:这个图形比较容易联想到相交弦定理的基本图形,因此可以将 C 线段 OP 向两边延长.
19

A

P · O D 图 15-48

B

解:作过 P 点的直径 CD,则 PC=9-7=2cm,PD=9+7=16cm.
根据相交弦定理得:PA·PB=PC·PD. ∵PA=2PB, ∴2PB2=2×16. 解得:PB= 4cm. ∴AB=PA+PB=8+4=12cm. 评析:若设本题中⊙O 的半径为 R,则 PC=R-OP,PD=R+OP, 那么 PA·PB=PC·PD=(R-OP)(R+OP),即 PA·PB=R2-OP2? 事实上,若⊙O 的半径为 R,如图所示,定点 P 到圆心的距离为 d,过点 P 的直线与 ⊙相交于 A、B 两点,则 PA·PB 是一个定值,这个定值为?R2?d2?? A B A O B P

P O

例 2.如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF·EC? (1) 求证:?P=?EDF; A (2) 求证:CE·EB=EF·EP; (3) 若 CE ? BE=3 ? 2,DE=6,EF= 4,求 PA 的长? P 分析:由 CD∥AP 得?C=? P,因此要证明?P=?EDF,只 O · B 要证明?EDF=?C,问题进一步可以转化为证明Δ DEF∽Δ F E CED.

证明:(1)∵DE2=EF·EC,
∴DE ? CE=EF? ED. ∵?DEF 是公共角, ∴Δ DEF∽Δ CED. ∴?EDF=?C. ∵CD∥AP, ∴?C=? P. ∴?P=?EDF. (2)∵?P=?EDF, ?DEF=?PEA, ∴Δ DEF∽Δ PEA. ∴DE ? PE=EF ? EA. 即 EF·EP=DE·EA. ∵弦 AD、BC 相交于点 E,∴DE·EA=CE·EB. ∴CE·EB=EF·EP. (3)解:∵DE2=EF·EC,DE=6,EF= 4, ∴EC=9. ∵CE ? BE=3 ? 2, ∴BE=6. ∵CE·EB=EF·EP,∴9×6=4×EP.解得:EP= ∴PB=PE-BE=

C D 图 15-49

27 . 2

15 45 , PC=PE+EC= . 2 2
∴PA2=

由切割线定理得:PA2=PB·PC, ∴PA=

15 45 × . 2 2

15 3. 2

评析:本题中 DE2=EF·EC 这一条件是解决问题的突破口?当要证明成比例的线段在同一直
线上时,往往寻找过渡乘积式来解决问题?
20

应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的解决方法较多,常见的有:(1)找 过渡乘积式证明等积式成立;(2)为三角形相似提供对应边成比例的条件;(3)利 用等积式来证明有关线段相等? 例 3.已知:⊙O1 与⊙O2 相交于点 A、B,AC 切⊙O2 于点 A,交⊙O1 于点 C?直线 EF 过点 B,交⊙O1 于点 E,交⊙O2 于点 F. (1)设直线 EF 交线段 AC 于点 D(如图 15-50(1)). ①若 ED=12,BD=25,BF=11,求 DA 和 DC 的长; ②求证:AD·DE=CD·DF. (2)当直线 EF 绕点 B 旋转交线段 AC 的延长线于点 D 时(如图 15-50(2)),试问 AD·DE=CD·DF 是否仍然成立?证明你的结论. 分析:根据条件 DA 与⊙O2 相切,因此可以先通过切割线定理求出线段 DA 的长,再根据 相交弦定理求出线段 DC 的长. A E C · O1 D B 图 15-50(1) F D · O2 C E O1 · B 图 15-50(2) A · O2

F

解:(1)①在⊙O2 中,DA 切⊙O2 于 A,DBF 交⊙O2 于 B、F.
∴DA2=DB·DF=25×(25+11), ∴AD=30. 在⊙O1 中,弦 AC、BD 交于 D , ∴DE·DB=AD·CD. ∴12×25=30×CD. 解得 CD=10. (2)证明:方法一:连结 AB、AF、EC. ∵DA 和⊙O2 切于点 A, ∴?DAB=?F. ∵?E=?DAB, ∴?E=?F. ∴EC∥AF. ∴DE∶DF=DC∶DA. ∴AD·DE=DF·DC. 方法二:根据圆的切割线定理和相交弦定理得:AD2=DB·DF,AD·DC=DB·DE. ∴AD∶DB=DF∶AD,AD∶DB=DE∶DC. ∴DF∶AD=DE∶DC. ∴AD·DE=DF·DC. (2)仍然成立? 证明:方法一:连结 AB、AF、EC. ∵ACEB 是⊙O1 的内接四边形, ∴?DEC=?CAB. ∵DA 是⊙O2 的切线, ∴?CAB=?F. ∴CE∥AF, ∴DC∶DA=DE∶DF. 即: AD·DE=DF·DC. 方法二:根据圆的切割线定理及其推论得:DA2=DB·DF,DC·DA=DE·DB, ∴AD∶DB=DF∶AD,AD∶DB=DE∶DC. ∴DF∶AD=DE∶DC. ∴AD·DE=DF·DC. 评析:这是一道关于相交两圆的问题,既可以通过连结两圆的公共弦,得到角的等量关系, 利用平行线的性质解题,也可以将圆的相交弦定理和切割线定理有机的结合在一起, 通过等比代换证明?第(2)题的图形位置虽然发生了变化,但是使原结论成立的条件 没有变化,因此结论仍然成立.

21

三.精选试题演练
1、⊙O 中,弦 AB 平分弦 CD 于点 E,若 CD=16,AE∶BE=3∶1,则 AB= 答案: .

32 3 ;. 3

2、AB 是⊙O 的直径,OA=2.5,C 是圆上一点,CD⊥AB,垂足为 D,且 CD=2, 则 AC= . P T B A A B E A · O · P O O D C 图 15-51 答案: 5 或 2 5 . C 图 15-52 B 图 15-53

3、如图 15-51,PAB 是⊙O 的割线,AB=4,AP=5,⊙O 的半径为 6,则 PO= . 答案: 9. 4、如图 15-52,AEB、ADC 是⊙O 的割线,AT 切⊙OY 于 T,若 AD=4,DE=2,AE=3, AT=6,则 DC= ,BC= . 答案: 5,6. 5、半径为 5 的⊙O 内有一点 A,OA=2,过点 A 的弦 CD 被 A 分成两 M 部分,则 AC· CD= . P 答案: 21. A 6、如图 15-53,PC 切⊙O 于 C,割线 PAB 过圆心 O,∠ACP=30°, O ⊙O 的半径为 4,则∠P= °,PC= . 答案: 30,4 3 . 7、 如图 15-54, 过⊙O 的直径 BA 延长线上一点 P 作 PM 切⊙O 于 M, PM=OM,则 PA∶PB= . 图 15-54 B

答案:( 2 ? 1 )∶( 2 ? 1 ). 8、如图 15-55,⊙O 的弦 CD 与直径 AB 垂直,垂足为 P,过 B 点的直线交⊙O 于 M,交 CD 的延长线于 F,AM 交 PD 于 E,且 PC=6,PE=4,求 EF. 提示:证 ΔEFM∽ΔEAP,可得 EF· EP=EM· EA,利用 EM· EA=EC· 得 EF=5;B ED

O· C P E M D F A 图 15-55 9、如图 15-56,已知 PC 切⊙O 于 C,M 为 PC 中点,割线 PAB 交⊙O 于 A、B 两点,连结 BM 交⊙O 于 D,求证:∠MPD=∠PBM. C 提示:证 ΔMPD∽ΔMBP; M O·
22

D P A

B 图 15-56

10、如图 15-57,PC 是 ΔABC 外接圆的切线,C 是切点,PBD 是割线,PE∥AB,与 AC、 BC 分别交于 E、F,求证:PE· PF=PB· PD. C 提示:证 ΔPCF∽ΔPEC; E A D 图 15-57 11、如图 15-58,已知 PA 是⊙O 的切线,A 为切点,PBC 是过 O 的割线,PA=10,PB=5, ∠BAC 的平分线 BC 和⊙O 分别交于点 D、E,求(1)⊙O 的半径;(2)sin∠BAP 的值; (3)AD· 的值. AE 答案:(1)7.5;(2) F P B

5 ;(3)连结 CE,证 ΔADB∽ΔACE,AD· AE=90; 5
A

C

· O D

B

P

E 图 15-58 12、已知,如图 15-59,⊙O1 和⊙O2 内切于点 T,⊙O2 的弦 CD 切⊙O1 于点 E,连结 TC、 TD 分别交⊙O1 于点 A、B,TE 的延长线交⊙O2 与 F,连结 AB、FD. 求证:(1)AB∥CD; C (2)?CTF=?DTF; A (3)DF2-EF2 = CE·DE. 提示:(1)过 T 作两圆的公切线 MN? O1 O2 E · · ∵MN 是两圆的公切线,∴?MTC=?ABT,?MTC=?CDT. T F ∴?ABT=?CDT,∴AB∥CD (2)连结 BE.∵CD 切⊙O1 于 E, ∴?DEB=?DTE. B ∵AB∥CD, ∴?DEB=?ABE. D ∵?ABE=?ATE, 图 15-59 ∴?ATE=?DTE. 即:?CTF=?DTF. (3)∵TF、CD 是⊙O2 的两条相交弦, ∴CE·DE=EF·TE=EF·(TF-EF)=EF·TF-EF2.
23

∵?FDE=?CTF=?DTF,?F 是公共角, ∴Δ FDE∽Δ FTD. ∴EF∶DF=DF∶TF. ∴DF2=EF·TF. ∴CE·DE=DF2-EF2. 即 DF2-EF2= CE·DE. 13、已知:如图 15-60,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,O1 在⊙O2 上,⊙O2 的弦 BC 切⊙O1 于 B,延长 BO1、CA 交于点 P,PB 与⊙O1 交于点 D. (1)求证:AC 是⊙O1 的切线; (2)连结 AD、O1C?求证:AD∥O1C; P (3)如果 PD=1,⊙O1 的半径为 2,求 BC 的长. A D 提示:(1)连结 O1A,证∠O1AC=90° ; (2)连结 AB,利用弦切角证明∠PDA=∠ABD=∠ACO1; (3)利用切割线定理和切线长定理及 AD 与 O1C 的平行关 O1 · O2 系可求得 BC=2 5 . B 图 15-60

C

四.教学反思
1、和圆有关的比例线段指的是相交弦定理及推论、切割线定理及推论?它们的基本图形、条 件及结论如下: A C D · O C P A B D 条件:CD 是弦,AB 是直径,CD⊥AB 于 P 结论:PC2 = PA·PB A B · O T B P C · O D P · O P B

条件:弦 AB 和 CD 交于⊙O 内一点 P 结论:PA·PB = PC·PD A

条件:PT 切⊙O 于 T,PA 是割线, 条件:PA、PC 是⊙O 的两条割线,分别交 交⊙O 于 A、B ⊙O 于 B、D 2 结论:PT = PA·PB 结论:PA·PB = PC·PD 2、相交弦定理、切割线定理及它们的推论和前面的切线长定理一样,揭示了和圆有关的一 些线段间的数量关系, 这些定理的证明及应用又常常和相似三角形联系在一起, 因此在解题 中要善于观察图形,对复杂的图形进行分解,找出基本图形和结论,从而准确地解决问题? 另外在和圆有关的比例线段的计算问题中,要注意方程的思想的运用? 3、若⊙O 的半径为 R,如图所示,定点 P 到圆心的距离为 d,过点 P 的直线与⊙相交于 A、 B 两点,则 PA·PB 是一个定值,这个定值为?R2?d2??

A

P O

B

A O
24

B

P

4、在与圆和圆的位置关系相关的一些问题中,常常需要探求线段相等或倍分或成比例、角 相等或倍分,其实质与探求一个圆中的对应问题基本类似,只不过在两个圆中,需要仔细观 察图形, 注意某些线段或角是两个圆的公共元素, 解决问题时又常常通过这些公共元素将其 他元素联系在一起?另外要注意分类讨论这一思想方法的应用?

25

第五讲 圆内接四边形
教学目标 知识与技能:圆内接四边形的性质定理与判定定理. 过程与方法:用运动变化的思想,从圆内接四边形运动到极端情形(有两个顶点重合),由 “圆内接四边形的外角等于它的内对角”猜想“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”;获 得猜想后,应用分类思想,把弦切角分为三类(以弦过圆心为分界点),先证明弦过圆心时 命题成立,再把其他两种情形化归为弦过圆心时的情形。可以看到,在弦切角定理的内容展 开过程中,渗透和明确了运动变化思想、特殊化思想、分类讨论思想、化归思想。 情感态度价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点 圆内接四边形的性质定理与判定定理 教学难点 圆内接四边形的性质定理与判定定理 课 时 3 课时

一.基础知识回顾
1、如图 15-61,A、B、C 三点都在⊙O 上,点 D 是 AB 延长线上一点,?AOC=140?,?CBD 的度数为( ). A.40? B.50? C.70? D.110? 答案:C. 2、如图 15-62,BC 是⊙O 的直径,则∠BAE+∠CBD= °. 答案:90. 3、如图 15-63,?BAC=50?,则∠D+∠E= °. 答案:230. 4、在圆内接四边形 ABCD 中,∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶4,则∠D= °; 若∠A∶∠C=7∶2,∠B 比∠D 大 30°,则∠A= °,∠D= °. A E O C C O · A B 图 15-61 答案:140,140,75. A D D 图 15-62 B E B 图 15-63 C D · O

二.典型例题讲解
例 1.如图 15-64,⊙1 和⊙O2 都经过 A、B 两点,经过点 A 的直线 CD 与⊙O1 交于点 C, 与⊙O2 交于点 D?经过点 B 的直线 EF 与⊙O1 交于点 E,与⊙O2 交于点 F. 求证:CE∥DF. 分析:要证明 CE∥DF,只要证明?E+?F=180?或?C+?D=180?. D 证明:连结 AB. A
26

C E

· O1 B

· O2 F

∵ABEC 是⊙O1 的内接四边形, ∴?BAD=?E. ∵ADFB 是⊙O2 的内接四边形, ∴?BAD+?F=180?. ∴?E+?F=180?. ∴CE∥DF. 评析:本题通过连结两圆的公共弦 AB,在两圆中同时出现了圆内接四边形,利用圆内接 四边形的性质使问题得以解决? 本题还可以再通过延长 EF(或 FD)来证明 CE∥DF. 如图,若该题再作如下两种图形上的变化,结论 CE∥DF 依然成立. D E · 1 O C B F B F D A ·O2 E · O1 A C O · 2

例2.如图 15-66,设Δ ABC 为锐角三角形,高 BE 与以 AC 为直径的圆交于点 P,Q,高 CF 与以 AB 为直径的圆交于点 M,N,求证:P,M,Q,N 四点共圆. 分析:要证明 P,M,Q,N 四点共圆,就是要证明四边形 PMQN 的对角互补或两个顶点 对一条线段的张角相等. 证明:连结 PN,PM,MQ. 设 ΔABC 的高交于点 H,则 BC 边上的高 AD 过点 H. ∵∠ADC=90° ,∠AFC=90° , ∴D,F 都在以 AC 为直径的圆上. ∵AD 与 PQ 相交于点 H, N ∴HP· HQ=HA· HD. 同理可得:HM· HN= HA· HD. ∴HP· HQ= HM· HN. ∴

A

F P B

H
M

Q E

C ∵∠PHN=∠MHQ, 图 15-65 ∴ΔPHN∽ΔMHQ. ∴∠HNP=∠HQM. 即∠MNP=∠PQM. ∴P,M,Q,N 四点共圆. 评析:事实上,本题的证明中得到 HP· HQ= HM· 后就可以得到 P,M,Q,N 四点共圆. HN D 这是圆幂定理的逆定理.这个逆定理也可以用来判定四点共圆. 例 3.如图 15-65,已知 AD 是Δ ABC 的外角?EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交Δ ABC 的外接圆于点 F,连结 FB、FC. (1)求证:FB=FC; (2)求证:FB2=FA·FD;
27

HP HN ? . HM HQ

(3)若 AB 是Δ ABC 外接圆的直径,?EAC=120?,BC=6cm,求 AD 的长. 分析:要证明 FB=FC,就是证明 ΔABC 是等腰三角形,即证明?FBC=?FCB. 解:(1)∵AD 平分?EAC, ∴?EAD=?DAC. ∴四边形 AFBC 内接于圆, ∴?DAC=?FBC. ∵?EAD=?FAB=?FCB, ∴?FBC=?FCB. ∴FB=FC. (2)∵?FAB=?FCB=?FBC ,?AFB=?BFD, ∴Δ FBA∽Δ FDB. F A E

B

C 图 15-66

D

FB FA ? ∴ . ∴FB2=FA·FD. FD FB
(3)∵AB 是圆的直径, ∴?ACB=90?.

1 ?EAC=60?,?BAC=60?.∴?D=30?. 2 ∵BC= 6, ∴AC= 2 3 . ∴AD=2AC= 4 3 cm.
∵?EAC=120?, ∴?DAC= 评析:图中 FB 与 FC 在同一个三角形中,因此可以通过圆内接四边形的性质和同弧所对的 圆周角证明角相等?将第(2)题中的乘积式转化为比例式不难发现只需证明Δ FBA∽ Δ FDB 即得.第(3)问实际上是解一个直角三角形.

三.精选试题演练
1 、 四 边 形 ABCD 内 接 于 ⊙ O , 若 ∠ A ∶ B ∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶4∶m, m= 则 ; 这个四 A 边形的最大内角是 °,最小内角是 °. P 答案:3,120,60. C D 2.如图 15-67 已知 P 是圆外一点,直线 PB、PD 分别与 图 15-67 圆交于点 A、B 和 C、D,若 AC=3,BD=5,PD=10, 则 PA= . 答案:6. 3、如图 15-68,四边形 ABCD 内接于⊙O,CE∥BD,与 AB 的延长线交于点 E. 求证:

DA DC ? . BC BE

提示:连结 AC,证 ΔADC∽ΔCBE;

D · O A 图 15-68 B C E

4、如图 15-69,AD 是 ΔABC 外角∠EAC 的平分线,AD 与三角形的外接圆交于点 D. 求证:DB=DC. E D A 提示:证∠DBC=∠DCB;

28

B 图 15-69

C

5、如图 15-70,ΔABC 内接于⊙O,AB>AC,∠BAC 外角的平分线交⊙O 于 E,EF⊥AB, 垂足为 F,求证:AB-AC=2AF. 提示:在 BA 上截取 BG=CA,连结 EB、EC、EG,证 ΔEBG≌ΔECA,可得 EG=EA,从而 有 AG=2AF,即 AB-AC=2AF; E

O · F B C

A

图 15-70 6、如图 15-71,已知 ΔABC 内接于⊙O,弦 AB 的垂直平分线与 AC、AB 分别交于点 D、E, 与⊙O 交于 F、G,与 BC 的延长线交于点 H. 求证:(1)CG 平分∠ACH;(2)OD· DH=AD· DC. 提示:连结 OA、AG、GB,(1)∵∠ACG=∠ABG=∠BAG=∠GCH,∴CG 平分∠ACH; (2)证 ΔAOD∽ΔHCD; A

F

E

· O

G D C

H

B 图 15-71

7、如图 15-72,已知⊙O 是等边 ΔABC 的外接圆,P 是 BC 上的点,CP、AB 的延长线交于 C 点 D,求证:(1)∠D=∠CBP;(2)AC2=CP· CD. 提示:连结 AP,(1)证∠D=∠CAP=∠CBP; (2)证 ΔCAP∽ΔCDA; A 图 15-72 P · O B D

29

8、如图 15-73,(1)ABCD 为圆内接四边形,延长两组对边分别交于点 E,F,∠AED, ∠AFB 的角平分线交于 M,求证:EM⊥FM; (2) 在四边形 ABCD 中, AB, 的延长线交于点 E, DC AD, 的延长线交于点 F, BC ∠AED, ∠AFB 的角平分线交于 M,且 EM⊥FM,求证:四边形 ABCD 内接于圆. A 提示:(1)设 ED 与 HF 交于点 K,证明 EH=EK; (2)证∠A+∠BCD=180°; H G O · D M B C F

E

图 15-73

9、如图 15-74,设 AB,CD 是⊙O 的两条弦,且 AB 过 CD 的中点 M,CP,DP 均为⊙O 的 切线,求证:PO 平分∠APB. 提示: 连结 OA、 OB. 过 CD 的中点, C, P 四点共圆, PO O, D, ∴OM· MP=MC· MD=MA· MB, ∴O,P,A,B 四点共圆,∴ OAB=∠ ∠ OPB,∠ OBA=∠ OPA.∴ OA=OB,∴ OAB=∠ ∠ OBA,, ∴ APO=∠ ∠ BPO,即 PO 平分∠ APB. C A

P B

M

· O

D

四.教学反思

图 15-74

1、在解决与圆内接四边形有关的问题时,要注意观察图形,分清四边形的外角和内对角的 位置,正确应用性质. 2、当两圆相交时,常常通过连结两圆的公共弦,构建出圆内接四边形,进一步解决问题.

30


几何证明选讲教案(整理)

2013-2014 学年下期 授课教师: 几何证明选讲教学设计考试要求 1、了解平行线等分线段定理和平行截割定理;掌握相似三角形的判定定理及性质定理;理解直角三角 形射影...

选修4-1 几何证明选讲 复习教案

选修4-1 几何证明选讲 复习教案_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习,选修4-1 几何证明选讲 复习教案 第一节 相似三角形的判定及有关性质 考纲下载 1.了解...

几何证明选讲学案

几何证明选讲学案_数学_高中教育_教育专区。《几何证明选讲》学案第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在...

几何证明选讲 教案

几何证明选讲 教案_数学_高中教育_教育专区。个性化教案 几何证明选讲适用学科 适用区域 知识点数学 新课标 适用年级 课时时长(分钟) 高二 60 相似三角形的判定...

选修4-1几何证明选讲选修4-1几何证明选讲 几何证明选讲 配套资料教师用书+教案

选修4-1几何证明选讲选修4-1几何证明选讲 几何证明选讲 配套资料教师用书+教案_数学_高中教育_教育专区。选修 4-1 几何证明选讲选修 4-1 几何证明选讲 第一...

几何证明选讲教案

几何证明选讲教案_数学_高中教育_教育专区。几何证明选讲教学设计考试要求 1、了解平行线等分线段定理和平行截割定理;掌握相似三角形的判定定理及性质定理;理 解直角...

几何证明选讲复习教案

几何证明选讲复习教案_数学_高中教育_教育专区。几何证明选讲复习教案授课人:蓝才球 时间:2015 年 3 月 31 日 地点:高三 396 班 教学目的:针对本班进入高三...

几何证明选讲教学正教案

几何证明选讲教学正教案_数学_高中教育_教育专区。很好很全的资料,精心编辑几何证明选讲第一节 三角形 一.考纲要求 了解平行线等分线段定理和平行截割定理;掌握相...

初三数学几何证明选讲教案

初三数学几何证明选讲教案_初三数学_数学_初中教育_教育专区。几何 相似 圆 习题 几何证明选讲课时) (共计 10 课时) 授课类型: 授课类型:新授课 一 【教学...

高二数学几何证明选讲教案

【小结】 几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力, 几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力,在几何证明的过程中, 在几何证明的过程中,不仅是逻辑演绎的程序...