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高考数学一轮复习(七) 不等式(定稿)


高考数学一轮复习(七) 不等式
一.不等式的性质:
c? b? d (若 a ? b, c ? d , 1. 同向不等式可以相加; 异向不等式可以相减: 若a ? 则a? bc , d? , 则a?c ? b?d ) ,但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; 2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能 a b 相乘

:若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ? bd (若 a ? b ? 0,0 ? c ? d ,则 ? ) ; c d 3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若 a ? b ? 0 ,则 a n ? b n 或 n a ? n b ; 1 1 1 1 4.若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? ;若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? 。 a b a b 例: (1)对于实数 a, b, c 中,给出下列命题:

① 若a ? b, 则ac2 ? bc2 ; ③ 若a ? b ? 0, 则a 2 ? ab ? b 2 ; ⑤ 若a ? b ? 0, 则

② 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ; 1 1 ④ 若a ? b ? 0, 则 ? ; a b

b a ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ; a b a b 1 1 ? ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ; ⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。 c?a c?b a b (答:②③⑥⑦⑧) 其中正确的命题是______

(2)已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______ (3)已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则
c 的取值范围是______ a

(答:1 ? 3x ? y ? 7 ) ;
1? ? (答: ? ?2, ? ? ) 2? ?

二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式) ; 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如 1 t ?1 (1)设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 ,比较 log a t和 log a 的大小 2 2 1 t ?1 1 t ?1 (答: 当 a ? 1 时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ; 当 0 ? a ? 1 时, log a t ? log a (t ?1 2 2 2 2 时取等号) ) ; 2 1 (2)设 a ? 2 , p ? a ? , q ? 2 ?a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小 a?2 (答: p ? q ) ; (3)比较 1+ logx 3 与 2 logx 2( x ? 0且x ? 1) 的大小 4 4 4 (答: 当 0 ? x ? 1 或 x ? 时, 1+ logx 3 > 2log x 2 ; 当 1 ? x ? 时, 1+ logx 3 < 2log x 2 ; 当x? 3 3 3 时,1+ logx 3 = 2log x 2 )
1

三.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到: “一正二定三相等,和定积最大,积定和最 小”这 17 字方针。如 (1)下列命题中正确的是 1 A、 y ? x ? 的最小值是 2 x 2 x ?3 B、 y ? 的最小值是 2 x2 ? 2 4 C、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D、 y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 (答:C) ; x (2)若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 4 y 的最小值是______(答: 2 2 ) ; 1 1 (3)正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 ? 的最小值为______(答: 3 ? 2 2 ) ; x y
2 2 4. 常用不等式 有: ( 1 ) a ? b ? a ? b ? ab ? 2 (根据目标不等式左右的运算结构选 2 2 1?1 a b 2 2 2 用) ; ( 2 ) a 、 b 、 c ? R , a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号) ; ( 3 )若 b b?m (糖水的浓度问题) 。如 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? a a?m 如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________(答: ?9, ?? ? )

五.证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通 过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小,然后作出结论。). 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2? ? ? 常用的放缩技巧有: ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n 1 1 1 k ?1 ? k ? ? ? ? k ? k ?1 k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k 如(1)已知 a ? b ? c ,求证: a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc2 ? ca 2 ; 1 1 1 (2)求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 。 2 3 n 六.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并使 每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右 上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现 f ( x) 的符号变化规 律,写出不等式的解集。如 (1)解不等式 ( x ?1)( x ? 2)2 ? 0 。 (答: {x | x ? 1 或 x ? ?2} ) ; (2)不等式 ( x ? 2) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是____(答: {x | x ? 3 或 x ? ?1} ) ; (3)设函数 f ( x) 、 g ( x) 的定义域都是 R,且 f ( x) ? 0 的解集为 {x |1 ? x ? 2} , g ( x) ? 0 的解 集为 ? ,则不等式 f ( x)?g ( x) ? 0 的解集为______(答: (??,1) ? [2, ??) ) ; 七.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母 分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时, 一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 5? x ? ?1 (答: (?1,1) ? (2,3) ) (1)解不等式 2 ; x ? 2x ? 3 ax ? b ? 0 的解集为 ( 2 ) 关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1,??) ,则关于 x 的不等式 x?2 ____________. (答: (??,?1) ? (2,??) )
2

八.绝对值不等式的解法: (1) 分段讨论法 (最后结果应取各段的并集) : 如解不等式 | 2 ? (2)利用绝对值的定义; (3)数形结合;如解不等式 | x | ? | x ?1|? 3 (4)两边平方:如
3 1 x |? 2? | x ? |(答:x ? R ) ; 4 2

(答: (??, ?1) ? (2, ??) )

4 若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。 (答: { } ) 3 九.含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键. ” 注意解完之后要写上: “综上,原不等式的解集是?” 。注意:按参数讨论,最后应按参数取值分 别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集. 如 2 2 (1)若 log a ? 1 ,则 a 的取值范围是__________(答: a ? 1 或 0 ? a ? ) ; 3 3 ax 2 ? x(a ? R) (2)解不等式 ax ? 1 1 1 (答: a ? 0 时, { x | x ? 0} ; a ? 0 时, {x | x ? 或 x ? 0} ; a ? 0 时, {x | ? x ? 0} 或 x ? 0} ) a a 提醒: (1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示; (2)不等式解集的端 点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的 x?2 ? 0 的解集为__________(答: 解集为 (??,1) ,则不等式 (-1,2) ) ax ? b 十一.含绝对值不等式的性质: a、 b 同号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; a、 b 异号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | . 十二.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用 函数方程思想和“分离参数法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用 数形结合法) 1).恒成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A

若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B

如: (1)不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围_____ (答: a ? 1 ) ; (5)若不等式 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围. 1 (答: m ? ? ) 2 2). 能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ; 已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围____ (答: a ? 1 ) 3). 恰成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? A 的解集为 D ; 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? B 的解集为 D .

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B .如

3

练习题
一、选择题 1.如果 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的是 A. ab>ac B. c(b-a)>0 C. ( )

cb2 ? ab2

D. ac(a-c)<0

2.在 R 上定义运算: x ? y ? x(1 ? y ) ,若不等式 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 1 对一切实数 x 恒成立,则实数 y 的取 值范围是 A. ? ( B. ? ) C. ?1 ? y ? 1 D. 0 ? y ? 2 ( )

1 3 ? y? 2 2

3 1 ? y? 2 2

3.已知关于 x 的不等式

x ?1 ? 2 的解集为 P ,若 1 ? P ,则实数 a 的取值范围为 x?a
B. [?1 , 0] C. (?? , ?1) ? (0 , ??) D. (?1 , 0]

A. (?? , ?1] ? [0 , ??) 4.若不等式

x ? m ?1 1 1 ? 0 成立的一个充分非必要条件是 ? x ? ,则实数 m 的取值范围是 ( x ? 2m 3 2



A. ? ??, ? ? ? , ?? ? ; 4 3

? ?

1? ?

?4 ?

? ?

B. ? , ? ; ?4 3?

?1 4?

C. ? , ? ; ?6 2?

?1 3?

D.以上结论都不对.

5.已知关于 x 的不等式 | x ? 2 | ?3 ? x ? m 的解集为非空集合,则实数 m 的取值范围是 A. m ? 1 B. m ? 1 C. m ? 1 D. m ? 1 )





6.如图为函数 y ? m ? log n x 的图像,其中 m 、 n 为常数,则下列结论正确的是( A. m ? 0 , n ? 1 . C. m ? 0 , 0 ? n ? 1 . B. m ? 0 , n ? 1 . D. m ? 0 , 0 ? n ? 1 . ( ) D. a ? b ? ?2 ab

y

1

2

O

x

7.若 a ? b ? 0 ,则下列结论中不恒成立 的是 .... A. a ? b B.

1 1 ? a b 1 1 ? a b

C. a ? b ? 2ab
2 2

8.若 a ? b ? 0 ,则下列结论中不恒成立 的是( .... A. a ? b 二、填空题 B.
2 2

) D. a ? b ? ?2 ab

C. a ? b ? 2ab

1.已知函数 f ( x) ? x ? x ,若 f log3 ? m ?1? ? f (2) ,则实数 m 的取值范围是
2

?

?



2.设 x , y 是满足 2 x ? y ? 4 的正数,则 lg x ? lg y 的最大值是



2 3.设 a ? 1 ,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x ? ?a,2a? ,都有 y ? a, a 满足方程 loga x ? loga y ? c ,

?

?

这时, a 的取值的集合为



4.已知关于 x 的不等式 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 的解集是 ( ?? , ) ? ( ?1, ?? ) ,则实数 a 的取值范围是_______.

1 a

4

5.已知关于 x 的不等式组 1 ? kx ? 2 x ? k ? 2 有唯一实数解,则实数 k 的取值集合是_________.
2

6.不等式 | 3x ? 2 |? 1 的解是



7.设函数 f ( x) ? x x ? a ,若对于任意 x1 , x 2 ? [3,??), x1 ? x2 ,不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立,则实数 x1 ? x2

a 的取值范围是



8. 已知 x 是 1 、2 、x 、4 、5 这五个数据的中位数, 又知 ?1 、5 、? 最小值为 .

1 、 y 这四个数据的平均数为 3 , 则x? y x

7 2n 2 9 .若关于 x 的不等式(组) 0 ? x ? x ? n ? 对任意 n ? N? 恒成立,则所有这样的解 x 的集合 2 9 (2 ? 1) 9
2


2



10 .若关于 x 的不等式 x ? 是 .

1 1 x ? ( ) n ? 0 对任意 n ? N? 在 x ? (??, ? ] 恒成立,则实常数 ? 的取值范围 2 2
. .

11.无穷等比数列 {an } 各项和 S 的值为 2,公比 q ? 0 ,则首项 a1 的取值范围是 12.关于 x 的方程 k ? 4 ? k ? 2
x x ?1

? 6(k ? 5) ? 0 在区间 [ 0 ,1 ] 上有解,则实数 k 的取值范围是
2

13.研究问题:“已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 (1, 2) ,解关于 x 的不等式

cx 2 ? bx ? a ? 0 ”,有如下解法:
2 解:由 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) ? 0 ,令 y ?
2

1 x

1 x

1 1 ,则 y ? ( , 1) , x 2

2 所以不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集为 ( , 1) .

1 2

参考上述解法,已知关于 x 的不等式

k x?b ? ? 0 的解集为 (?2, ? 1) ? (2, 3) ,则 关于 x 的不等式 x?a x?c

y

kx bx ? 1 ? ? 0 的解集为 ax ? 1 cx ? 1

14 .设函数 f ( x ) 的定义域为 [?4, 4] ,其图像如下图,那么不等式 ____________. 三、解答题 1.解不等式: log 1 (3 x ? 2 x ? 5) ? log 1 (4 x ? x ? 5) .
2 2 2 2

f ( x) ? 0 的解集为 sin x

-4

-2

O

1

4

x

5

2.已知关于 x 的不等式 (kx ? k 2 ? 4)( x ? 4) ? 0 ,其中 k ? R . (1)当 k 变化时,试求不等式的解集 A ; (2)对于不等式的解集 A ,若满足 A ? Z ? B (其中 Z 为整数集) . 试探究集合 B 能否为有限集?若能, 求出使得集合 B 中元素个数最少的 k 的所有取值,并用列举法表示集合 B ;若不能,请说明理由.

3.某商品每件成本价 80 元,售价 100 元,每天售出 100 件.若售价降低 x 成(1 成=10%) ,售出商品数量就 增加

8 x 成,要求售价不能低于成本价. 5

(1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y ? f ( x) ,并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少 10260 元,求 x 的取值范围.

4.已知函数 f ? x ? ? 2 ?
x

1 . x 2

(1)设集合 A ? ? x f ? x ? ?

? ?

15 ? 2 ? , B ? x x ? 6 x ? p ? 0 ,若 A ? B ? ? ,求实数 p 的取值范围; 4?

?

?

(2)若 2 f ? 2t ? ? mf ?t ? ? 0 对于 t ??1, 2? 恒成立,求实数 m 的取值范围.
t

5.某医药研究所开发一种新药,据监测:服药后每毫升血液中的含药量 f ( x ) 与时间 x 之间满足如图所示曲

1 ( x ? 4) 2 ? 4 ,当 x ? (4 ,19] 时, 4 所示的曲线是函数 y ? log 1 ( x ? 3) ? 4 的图像的一部分.据测定:每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗
线. 当 x ? [0, 4] 时, 所示的曲线是二次函数图像的一部分, 满足 f ( x) ? ?
2

疾病有效.请你算一下,服用这种药一次大概能维持多长的有效时间?(精确到 0.1 小时)

y (微克) 4

x
6

O

4

19 (小时)


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