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2016-2017学年高中数学第一章三角函数1.9三角函数的简单应用练习北师大版必修4(新)


§9
1.

三角函数的简单应用

如图所示,一个单摆以 OA 为始边,OB 为终边的角 θ (-π <θ <π )与时间 t(s)满足函数关系式 θ =sin,则当 t=0 时,角 θ 的大小及单摆频率分别是( A.1 C.,π 答案:A 2. B.2, D.2,π )

解析:t=0 时,θ =

sin.由函数解析式易知单摆的周期为=π ,故单摆频率为.

右图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置,图中 E,F,G,H 四点经过半个周期后达到最 高点的是( A.E C.G 答案:B 3.商场人流量被定义为每分钟通过门口的人数,元旦某商场的人流量满足函数 f(t)=50+4sin(t≥0), 则下列时间段内人流量是增加的是( A.[0,5] B.[5,10] ) C.[10,15] D.[15,20] ) B.F D.H

解析:绳波上的点上下振动,点 F 经过半个周期恰好达到最高点.

解析:由 2kπ -≤2kπ +(k∈Z),得 4kπ -π ≤t≤4kπ +π (k∈Z),即函数 f(t)的增区间为[4kπ π ,4kπ +π ](k∈Z),当 k=1 时,增区间为[3π ,5π ],而[10,15]∈[3π ,5π ],故选 C. 答案:C 4.

1

(2016 浙江杭州高三质检)如图为一半径为 3 m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮自点 A 开始 1 min 旋转 4 圈,水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系 y=Asin(ω x+φ )+2, 则( ) B.ω =,A=3 D.ω =,A=5 A.ω =,A=3 C.ω =,A=5 答案:A 5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ω x+φ )+b 的模 型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,7 月份价格最低为 5 千元,根据以上条件可确定

f(x)的解析式为(

)

A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+) B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N+) C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12,x∈N+) D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+) 解析:由题意,可得 A==2,b=7,周期 T==2×(7-3)=8,∴ω =.于是 f(x)=2sin+7,再代入点(3,9),结合 φ 的范围可求得 φ =-. 答案:A 6. 导学号 03070069 动点 A(x,y)在圆 x +y =1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周, 已知时间 t=0 时,点 A 的坐标是,则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位:s)的函数的递增 区间是( A.[0,1] C.[7,12] ) B.[1,7] D.[0,1]和[7,12]
2 2

解析:∵T=12,∴ω =,从而可设 y 关于 t 的函数为 y=sin. 又 t=0 时,y=,∴φ =,∴y=sin,

∴当 2kπ -t+≤2kπ +(k∈Z),即 12k-5≤t≤12k+1(k∈Z)时,函数递增. ∵0≤t≤12,∴函数 y 的递增区间为[0,1]和[7,12].
答案:D 7.已知简谐振动 f(x)=2sin 的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相 φ 为 φ =. 答案: 8.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟 面上标 12 的点 B 重合,将 A,B 两点的距离 d(cm)表示成时间 t(s)的函数,则 d= ∈[0,60]. 解析:解析式可写为 d=Asin(ω t+φ )的形式,由题意易知 A=10,当 t=0 时,d=0,得 φ =0;当 t=30 时,d=10,可得 ω =,所以 d=10sin. 答案:10sin 9. ,其中 t

.

解析:其函数图像经过点(0,1),将点(0,1)代入函数表达式可得 2sin φ =1,sin φ =,又|φ |<,所以

2

如图所示,点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为 3 cm,周期为 3 s,且物体向右运动到 A 点(距平衡位置最远处)开始计时. (1)求物体离开平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系式; (2)求该物体在 t=5 s 时的位置. 解:(1)设位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系式为 x=3sin(ω t+φ )(ω >0,0≤φ <2π ), 则由 T==3,得 ω =. 当 t=0 时,有 3sin φ =3,即 sin φ =1. 又 0≤φ <2π ,故可得 φ =. 从而所求的函数关系式是 x=3sin, 即为 x=3cost. (2)令 t=5,得 x=3cos=-1.5, 故该物体在 t=5 s 时的位置是在点 O 左侧,且距点 O 的距离为 1.5 cm. 10. 导学号 03070070 已知电流 I(A)与时间 t(s)的关系为 I=Asin(ω t+φ ).

(1)如图所示的是 I=Asin(ω t+φ )在一个周期内的图像,根据图中数据求 I=Asin(ω t+φ )的解析式; (2)如果 t 在任意一段秒的时间内,电流 I=Asin(ω t+φ )都能取得最大值和最小值,那么 ω 的最小 正整数值是多少? 解:(1)由图知 A=300,设 t1=-,t2=, 则周期 T=2(t2-t1)=2.

∴ω ==150π .∴I=300sin(150π t+φ ).
又当 t=时,I=0, 即 300sin=0, 而|φ |<,∴φ =. 故所求的解析式为 I=300sin. (2)依题意,周期 T≤,即(ω >0),

∴ω ≥300π .
而 300π <942.48,故所求最小正整数 ω =943.

3


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