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山东省聊城市2012-2013学年高一上学期期末检测数学试题


绝密★启用前

山东省聊城市 2012-2013 学年高一上学期“七校联考”期末检测

数学试题
考试时间:100 分钟; 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)

评卷人 学号

>
得分 一、选择题

, , , 1.设集合 S={ A0 A1 A2 A3 },在 S 上定义运算为: Ai ? A j =Ak,其中 k 为 i+j 被 4 除的余数,i、
姓名 装订线
j=0,1,2,3.满足关系式 A.4

? ( x ? x) A2 ? A0 的 x(x∈S)的个数为(
C.2 D.1



B.3

2.函数 y ? x | x |, x ? R ,满足 ( 班级 A.是奇函数又是减函数 C.是奇函数又是增函数

) B.是偶函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数 )

3.在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,下面四条直线中与平面 AB1C 平行的直线是( A. DD1 B. A1D1 C. C1D1
x

D. A1D

4.已知全集 U=R,集合 A ? {x || gx ? 0}, B ? {x | 2 A. (??,1) B. (1, ??) C.

? 1}, 则CU ( A ? B) =(
D.



? ??,1?

?1, ???


5.下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是(

-1-

A.

B.

C.

D.

6.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 ? 和 ? 如下:

那么 d ? (a ? c) ? ( A.a B.b

) C.c D.d )

7.设 A、B、I 均为空集合,且满足 A ? B ? I,则下列各式中错误的是(

A. (CI A) ? B ? I B. (C I A) ? (C I B) ? I C. A ? (CI B) ? ? D. (CI A) ? (C I B) ? CI B

8. (

3 6

a 9 ) 4 (6

3

a 9 ) 4 等于(

)

-2-

A. a

16

B. a

8

C. a 4 (

D. a 2 )

9.下列命题中错误的是:

A.如果 α⊥β,那么 α 内一定存在直线平行于平面 β; B.如果 α⊥β,那么 α 内所有直线都垂直于平面 β; C.如果平面 α 不垂直平面 β,那么 α 内一定不存在直线垂直于平面 β; D.如果 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么 l⊥γ.
10.关于

x 的方程 a2 x ? (1 ? )a x ? 1 ? 0 (a ? 0且a ? 1) 有解,则 m 的取值范围是 (
1 3

1 m



A. [? , 0) C. (??,? ]
1 3

B. [? ,0) ? (0, 1] D. [1,? ?)

1 3

11.以下六个关系式:① 0 ? ?0?,② ?0? ? ? ,③ 0.3 ? Q , ④ 0 ? N , ⑤ ?a, b? ? ?b, a? ,⑥

?x | x

2

? 2 ? 0, x ? Z ? 是空集,其中错误的个数是 (
B.3 C.2 D.1



A.4

12.函数 y ? cos2 x ? sin x 的值域是 ( A、 ?? 1,1? B、 ?1, 5 ?
? 4? ? ?

) C、 ?0,2? D、 ?? 1, 5 ?
? ? 4? ?

第 II 卷(非选择题)

评卷人

得分 二、填空题

13.如图 1,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块,容器内盛 有 a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点 P。如果将容器倒置,水面也恰好过点 P (图 2) 。

-3-

有下列四个命题: A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 P C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点 P D.若往容器内再注入 a 升水,则容器恰好能装满 其中真命题的代号是: (写出所有真命题的代号).

14.已知正四棱柱的对角线的长为 6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为 柱的体积等于________________。

3 ,则该正四棱 3

15.若在区间(-1,1)内任取实数 a,在区间(0,1)内任取实数 b,则直线 ax ? by ? 0 与 圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 相交的概率为
2 2



16.函数 f ? x ? ?

x ?1 的反函数 f ? x ? ? x ?1

评卷人

得分

三、解答题

17.已知命题 P:函数

f ( x) ? (7 ? 3m) x 是增函数
2

命题 q:方程 4 x

? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根。

若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围

18.如图,正三棱锥 O ? ABC 的三条侧棱 OA 、OB 、OC 两两垂直,且长度均为 2. E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点, H 是 EF 的中点,过 EF 作平面与侧棱 OA 、 OB 、 OC 或其延长 线分别相交于 A 、 B1 、 C1 ,已知 OA1 ? 1

3 . 2

-4-

O

C A1 A E B H F C1

B1

(1)求证: B1C1 ⊥ 平面 OAH ; (2)求二面角 O ? A B1 ? C1 的大小. 1

19.已知直线 l:(m+2)x+(2m-3)y+(7-14m)=0 与圆 C: x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 21 ? 0 (1)求证:对于任意实数 m,l 与圆 C 恒有两个交点 A,B (2)当 AB 最小时,求 l 的方程
20.

已知向量 a ? (sin(? x ? ? ), 2) , b ? (1,cos(? x ? ? )) , ? ? 0 , 0 ? ? ?

?

?

?
4



函数 f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) ,若 y ? f ( x) 的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称 轴之间的距离为 1,且过点 M (1, ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)当 ?1 ? x ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间.
21. (1)已知 f ( x ) ?
x

? ?

? ?

7 2

2 ? m 是奇函数,求常数 m 的值; 3 ?1
x

(2)画出函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方程|3X-1|=k 无 解?有一解?有两解? 22.某种空气清洁剂在实验效果时,发现空气含剂量 y(?g / m ) 与时间 x 之间存在函数关系,
3

其变化的图像如下图所示。其中的曲线部分是某函数 y ? log 1 ( x ? b) 的图像(虚线部分为曲
2

线的延展).图中表明,喷洒 1 小时后,空气含剂量最高,达到 3?g / m ,以后逐步减小。
3

-5-

(1)求出空气含剂量 y 关于时间 x 的函数表达式及定义域. (2)实验证明,当空气含剂量不低于 2?g / m 3 时,空气清洁的效果最佳。求一次喷洒的“最 佳效果”持续时间.

参考答案 一、选择题

-6-

1.C

解析:由定义

能满足关系式,同理 x=A3 满足关系式

2.C

3.D

4.B

5.D

6.A

解析:解:由上表可知:

,故

7.B 解析:本题主要考查集合的交、 并、补运算等基本知识. 画出集合 A、B、I 的文氏图 (如右图) ,易知 B 错误.

8.C

9.B

10.A

11.C

12.D

二、填空题 13.B、D 14.2

15.

16.

三、解答题

-7-

17.解:p 为真时: (1)p 假 q 真: ( 2)p 真 q 假: 综上所述:m 的取值范围

q 为真时:



18.(1)证明:依题设, 则 又 因为 所以 因此 ∥平面 是 ⊥ ⊥面 ⊥面 ,所以

是 ∥ ⊥ , ⊥ ,

的中位线,所以 。 ,则 ⊥ 。



,

的中点,所以 , ⊥ ,则 .

(2)作





,连 ⊥

。因为 ,

⊥平面

,

根据三垂线定理知, 就是二面角 作 ⊥ 于 ,则

的平面角。 ∥ ,则 是 的中点,则 。



,由

得,

,解得

,

-8-



中,

,则,



所以 (1)以直线

,故二面角 分别为



。 则

轴,建立空间直角坐标系,

所以

所以 所以 由 ∥ 平面 得 ∥ ,故: 平面 .

(2)由已知



则 由 与 共线得:存在 有 得

-9-

同理:



是平面

的一个法向量,

则 又

令 是平面

得 的一个法量

所以二面角的大小为

(3)由(2)知,

,

,平面

的一个法向量为







则点

到平面

的距离为

19. (1)直线系 L:(m+2)x+(2m-3)y+(7-14m)=0 可以化成(2x-3y+7)+m(x+2y-14)=0 方程组 2x-3y+7=0;a+2y-14=0 有解 x=4;y=5,于是 L 中的每一条都经过点 M(4,5). 圆 C: 因为 = 的圆心是 N(3,4),半径是 R=2.

所以点 M 在圆 C 内.因而过 M 的每一条直线都与圆相交,并且交于不同的两点 A;B. (2)过圆内一点的所有弦中,以直径为最长,以垂直于直径的弦长最小.

此时

=

- 10 -

即 所以|AB|最小时,直线方程是 x+y-9=0.

20.解:(1)

由题意得周期

,故

又图象过点

,所以



,而

,所以



(2)当

时,

∴当

时,即

时,

是减函数



时,即

时,

是增函数

∴函数

的单调减区间是

,单调增区间是

21.解: (1)常数 m=1 (2)当 k<0 时,直线 y=k 与函数 当 k=0 或 k 1 时, 直线 y=k 与函数 当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 的图象无交点,即方程无解; 的图象有唯一的交点,所以方程有一解; 的图象有两个不同交点,所以方程有两解。

- 11 -

22. 当 (1)

时, 图像是一线段, 得解析式为

,将点

坐标代入得

, ∴

对于函数

将点

坐标代入得.



,令



∴函数的解析式为:

(2)当

时,在

中令





时,在

中,令

得:

,从而

,故最佳效果持续时间为

小时.

- 12 -


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