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山东文科历年导数部分


(2010 年山东文)21.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x

(I)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处 的切线方程;

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2 2 解: (Ⅰ) 当 a ? ?1 时, f (

x) ? ln x ? x ? ? 1(a ? R) x
(II)当 a ? 所以

x2 ? x ? 2 , x ? ( 0?? , ) f ' ( x) ? x2

? 1, 因此, f(2)
即 又 曲线 y ? f ( x)在点( 2,f (2))处的切线斜率为 1 , .

f (2) ? ln 2 ? 2,

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处 的切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2 即 x ? y ? ln 2 ? 0 (Ⅱ)因为

f ( x) ? ln x ? ax ?
f ' ( x) ?

1? a ? 1, x

所以

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ?? x x x2

x ? (0,??) ,



g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

(1)当 a ? 0 时, g ( x) ? ? x ? 1 , x ? (0, ??) , 所以 当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减;

当 x ? (0,1)时, g ( x) ? 0,此时f '( x) ? 0, 函数 f ( x)单调递减 (2)当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 , 即 ax ? x ? 1 ? a ? 0,
2

解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ?1 2

① 当a ?

1 时,x1 ? x2 , g ( x) ? 0 恒成立, 此时 f '( x) ? 0 , 函数 f ( x ) f 在 (0, ??) 2

上单调递减; ② 当0 ? a ?

1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0, 2 a

x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减

1 x ? (1, ? 1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增 a 1 x ? ( ? 1, ??) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减 a
③ 当 a<0 时,由于 1/a-1<0, , x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f (x)<0 函数 f(x)单调递减; , x∈(1 ,∞)时,g(x)<0 此时函数 f (x)<0 单调递增。 综上所述:

当 a≤ 0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在 (1, +∞) 上单调递增 当 a=1/2 时,函数 f(x)在(0, + ∞)上单调递减 当 0<a<1/2 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在(1,1/a -1)上单调递增; 函数 f(x)在(1/a,+ ∞)上单调递减。 (2011 年山东文) 21.某企业拟建造如图所示的容器 (不计厚度, 长度单位: 米) , 其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 80? 立方米,且 l≥2 r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部 3 分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3) .设该容 器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r . 80? 【解析】 (Ⅰ) 因为容器的体积为 立方米, 3
80 4r 4? r 3 80? ? ? r 2l ? 所以 , 解得 l ? 2 ? , 所 3r 3 3 3

以圆柱的侧面积为 2? rl = 2? r ( 和为 4? r 2 ,所以 y ?

80 4r 160? 8? r 2 ? ) ? ? ,两端两个半球的表面积之 3r 2 3 3r 3

l 160? ? 8? r 2 + 4? cr 2 ,定义域为(0, ). 2 r

( Ⅱ ) 因 为 y' ? ?

160? 8? [(c ? 2)r 3 ? 20] 8 ? cr ? 16 ? r + = , 所 以 令 y' ? 0 r2 r2

得: r ?

3

20 20 20 ; 令 y' ? 0 得: 0 ? r ? 3 , 所以 r ? 3 米时, 该容器的建造 c?2 c?2 c?2

费用最小.

(2012 年山东文)22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?
ln x ? k (k 为常数, e=2.71828 …是自然对数的底数 ) ,曲线 ex

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .
1 ? ln x ? k 解:(I) f ?( x) ? x , ex

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 . e

1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x . ex

设 k ( x) ?

1 1 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, x x x

由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x ) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x ) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . (III)由(II)可知, 当 x ? 1 时,g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e?2 , 故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在 0 ? x ? 1 时成立. 当 0 ? x ? 1 时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?

1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex

设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) , 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 .

(2013 山东文)21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax2+bx-ln x(a,b∈R). (1)设 a≥0,求 f(x)的单调区间; (2)设 a>0,且对任意 x>0,f(x)≥f(1).试比较 ln a 与-2b 的大小.
解:(1)由 f(x)=ax2+bx-ln x,x∈(0,+∞),

2ax 2 ? bx ? 1 . x bx ? 1 ①当 a=0 时,f′(x)= . x
得 f′(x)= 若 b≤0,当 x>0 时,f′(x)<0 恒成立, 所以函数 f(x)的单调递减区间是(0,+∞). 若 b>0,当 0<x< 当 x>

1 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. b

1 时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. b ? 1? ?1 ? 所以函数 f(x)的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? , ?? ? . ? b? ?b ?
②当 a>0 时,令 f′(x)=0, 得 2ax2+bx-1=0. 由 Δ=b2+8a>0 得 x1=

?b ? b 2 ? 8a ?b ? b2 ? 8a ,x2= . 4a 4a

显然,x1<0,x2>0. 当 0<x<x2 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x>x2 时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 所 以 函 数 f(x) 的 单 调 递 减 区 间 是 ? 0,

? ? ?

?b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递增区间是 ? 4a ?

2 ? ?b ? b ?8 a ? , ?? ? . ? ? ? 4 a ? ?

综上所述, 当 a=0,b≤0 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,+∞);

? 1? ?1 ? ? b? ?b ? ? ?b ? b 2 ? 8a ? 当 a > 0 时 , 函 数 f(x) 的 单 调 递 减 区 间 是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ? 4a ? ? ? ?b ? b 2 ? 8a ? , ?? ? . ? ? ? 4a ? ?
当 a=0,b>0 时,函数 f(x)的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? , ?? ? ; (2)由题意,函数 f(x)在 x=1 处取得最小值,

?b ? b2 ? 8a 是 f(x)的唯一极小值点, 4a ?b ? b2 ? 8a 故 =1,整理得 4a
由(1)知

2a+b=1,即 b=1-2a. 令 g(x)=2-4x+ln x, 则 g′(x)=

1? 4x , x
1 . 4

令 g′(x)=0,得 x= 当 0<x< 当 x>

1 时,g′(x)>0,g(x)单调递增; 4

1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减. 4 1 ?1? 因此 g(x)≤ g ? ? =1+ ln =1-ln 4<0, 4 ?4?
故 g(a)<0,即 2-4a+ln a=2b+ln a<0, 即 ln a<-2b.


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