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第七讲 摩擦角及其它


四川省武胜中学高中物理竞赛培训教材

第七讲 摩擦角及其它

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1、 “千斤顶”中的学问 【例 1】在固定的斜面上放一物体,并对它施加一竖直向下的压力,物体与斜面间的摩擦 因数为 μ 。求斜面倾角 θ 的最大值,使得当 θ ≤θ m 时,无论竖直向下的压力有

多大,物体也
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不会滑下。

θ

分析:如图,物体受四个力,重力和压力的合力为 G+F,静摩擦力 Fs,斜面支持力 FN。将 G+F 分解为 F1 和 F2,根据平衡条件得 FN = F2=(G+F)cosθ Fs= F1=(G+F)sinθ

物体不会滑下的条件是 Fs 小于最大静摩擦力 Fm,而 Fm=μ FN ,从而有 (G+F)sinθ ≤(G+F)cosθ 化简得 θ ≤arctanμ

所以只要 θ ≤arctanμ ,无论 F 有多大,物体也不会滑下。 说明: “千斤顶”螺旋实际可以看作是 tan? <μ 的弯曲斜面。

2、推力的极大值(自锁) 【例 2】在机械设计中,常用到下面的力学装置,如图只要使连杆 AB 与滑块 m 所在平面法 线的夹角 θ 小于某个值,那么无论连杆 AB 对滑块施加多大的作用力,都不可能使之滑动,且 连杆 AB 对滑块施加的作用力越大,滑块就越稳定,工程力学上称为‘自锁’现象。则自锁时 θ 应满足什么条件?设滑块与所在平面间的动摩擦因数为 μ 。 分析:将连杆 AB 对滑块施加的推力 F 分解,且 F 远远大于 mg,可以忽略。则滑块 m 不产 生滑动的条件为 Fsinθ <μ Fcosθ 化简得自锁的条件为 θ <arctanμ 。

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3、运动员的弯道技术 【例 3】在田径比赛、摩托车赛、自行车赛等运动项目中,当通过弯道时,运动员必须倾 斜与路面保持一定的角度 θ 才能顺利通过弯道, 这就是运动员的弯道 路面的弯道半径越小,运动员的速度越快,运动员的倾斜角就越大。 摩托车比赛中,摩托车与路面间的摩擦因数为 μ ,试求摩托车所能达 最大倾角。 分析:运动员要稳定地平动,路面对摩托车的力必须通过整体的 所以静摩擦力 F1 与支持力 F2 的夹角等于运动员与路面的倾斜角度 ? 。 面对摩托车整体的力 F 是 F1 和 F2 的合力,由图知 F1= F2tanθ =mg tanθ 对摩托车的最大静摩擦力为 则摩托车不倾倒的条件是 化简得 Fm=μ F2=μ mg F1≤Fm θ ≤arctanμ 重心, 而 路 技术。 设 在 到 的

所以摩托车所能达到的最大倾角为 θ m= arctanμ 。

4、拉力的极小值 【例 4】在水平面上放有一质量为 m 的物体,物体与地面的动摩擦因数为 μ ,现用力 F 拉 物体,使其匀速运动,怎样施加 F 才能最小。 分析:设拉力与水平面间的夹角为 θ ,将拉力 F 分解,并列出平衡方程,由动摩擦力公式 得
F?

Fcosθ =μ (mg-Fsinθ ) ,化简为
?mg ?mg ? cos? ? ? sin? ? 2 ? 1 sin( ? ? ) ?
Fmin ?

(其中令 sin? ?
?mg ?2 ?1

1

? ?1
2

, cos? ?

? ? 2 ?1



当 ? ? ? ? 90? 时 F 有最小值:

, 且 θ = arctanμ 。

5、破冰船中的道理 【例 5】1999 年,中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的“雪龙”号科学考察船。 “雪龙”号科学考察船不仅采用特殊的材料,而且船体的结构也满足一定的条件,以对付北极 地区的冰块和冰层。它是靠本身的重力压碎周围的冰块,同时又将碎冰块挤向船底,如果碎冰 块仍挤在冰层与船体之间,船体由于受到巨大的侧压力而可能解体。为此,船体与竖直方向之 间必须有一倾角 α 。 设船体与冰块之间的动摩擦因数为 μ 。 试问使压碎的冰块能被挤压向船底,
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α 角应满足的条件。

分析:冰块受到三个力:冰层对冰块的水平向后的挤压力,船体对冰块的侧压力 F,以及 沿船体方向的摩擦力(冰块的重力和浮力可以忽 将 F 分解,如图 FN = F1=Fcosα Ff =μ FN 件为 略) 。

能使压碎的冰块被挤压向船底必须满足的条 F2>Ff ,有 Fsinα >μ Fcosα 化简得 α >arctanμ

6、压延机原理 【例6】压延机由两轮构成,两轮的直径均为d=50mm,轮间 隙为a=5mm,两轮按反方向转动,如图中箭头所示。已知烧红的 和铸铁轮之间的摩擦因数为μ =0.1,问能压延的铁板厚度b是多 的间 铁板 少?

分析:铁板的 A、B 两点和铸铁轮接触,接触点与转轴连线 角为 α 。 A 点铁板受到 FN1 和 Ff1 两个力, B 点铁板受到 FN2 在 在 两个力,如图所示。要使铁板能压延铁板所受合力必须向右, α <θ =arctanμ 则铁板的最大厚度为 bm= a+2(r-rcos)=7.48mm 所以能压延的铁板厚度 b<7.48mm

的夹 和 Ff2 则

【例 7】物体放在水平面上,用与水平方向成 30°的力拉 时,物体匀速前进。若此力大小不变, 为沿水平方向拉物体,物体仍能匀速前 求物体与水平面之间的动摩擦因素μ 。
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物 体 改 进,

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答案:引进全反力 R ,对物体两个平衡状态进行受力分析,再进行矢量平移,得到图 18 中的左图和中间图(注意:重力 G 是不变的,而全反力 R 的方向不变、F 的大小不变) m 指 ,φ 摩擦角。 再将两图重叠成图的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为 30°的等腰三角形,其顶角的 角平分线必垂直底边??故有:φ 最后,μ = tgφ m=0.268。 【例 8】 (第三届全国预赛)如图 2—1—7 所示用力 F 推一放在水平地面上的木箱, 质量为 M, 木箱与地面间摩擦因数为 问:当力 F 与竖直成夹角?多大时,力 F 再大也无法推动木箱? [思路分析]本题属于物体平衡问题, 一般方法是用平衡条件列方程求极值, 但这里用摩擦 角的概念分析,问题会更加简单. 解:选物体为研究对象,受力如图 2-1-8 所示,其受四个力作用而静止,将弹力 N 和摩擦力 f 合成作出全反力 F . 当物体将要发生滑动时, 静摩擦角?0。 满足 tg?0=?, 由平衡条件知当 0<?<?0 时, 物体出现自琐现象, 也就是说此时无论用多大的力都不会使物体推动, 故?角属于范围(0,?0)。 一个接触面的平衡问题
m

= 15°。

【例 9】一物体质量为 m,置于倾角为 ? 的斜面上,物体与斜面间的动摩擦因数为 ? ,若 要使物体沿斜面匀速向上滑动,求拉力的最小值。 解析:本题有两种解法,一种是根据平衡条件利 建模得到 F ? F (? ) 后再求极值,另一种是引入全反 擦角) 化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快 解。 解法一: (利用平衡条件求解)设拉力与斜 面夹角为θ ,则由平衡条件可得: 用数学 力(摩 速地求

F cos? ? ? (mg cos? ? F sin ? ) ? mgsin ? ? 0
即有

F ? (sin? ? ? cos? )mg /(cos? ? ? sin ? )

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令 ? ? tg? ,则有

F?

(sin? ? ? cos? )mg sin ? ? ? cos? ? mg sin(? ? ? ) 1? ? 2

解法二: (引入摩擦角)如图 1 所示,设 ? ? tg ?1? ,则由平衡条件 和矢量三角形可得:当拉力 F 垂直于全反力方向时此时 F 的拉 力最小,即: F ? mgcos(? ? ? ) ?

? cos? ? sin ?
1? ? 2

mg

【例 10】结构均匀的梯子 AB,靠在光滑竖直墙上,已知梯子长为 L,重为 G,与地面间的 动摩擦因数为μ ,如图所示, (1) (2) 滑动? 分析:本题也有两种解法:解法一是根据物体的平衡条件求解,这 是 常规解 法; 另一 解法是 分析出 它临界 条件θ 0 再引入摩擦角解。 解法一: (1)如图 2 所示,平衡条件可得: 求梯子不滑动,梯子与水平地面夹角θ 的最小值θ 0; 当θ =θ 0 时,一重为 P 的人沿梯子缓慢向上,他上到什么位置,梯子开始

N 1 ? f ? ?N N ?G N 1 ? L sin ? 0 ? G ? L cos? 0 2
1 2?

由上述 3 式可解得: ? 0 ? tg ?1

(2)如图 3 所示,由平衡条件可得:

N 1 ? f ? ?N N ?G?P N 1 ? L sin ? 0 ? G ? L cos? 0 ? P ? x cos? 0 2
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由上述 3 式可解得: x ? L / 2 解法二: (引入摩擦角)如图 4 所示, ? ? tg ?1? ,由平衡 (1) 条件可得: 所以有

G L cos ? 0 ? L ? sin ? 0 ? (Gtg ? ) 2

? 0 ? tg ?1

1 2?

(2)如图 5 所示,将梯子和人的重力用其等效重力代替 G ? , 当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒,当 等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒,所以当 人上到梯子一半即 L/2 时,梯子开始滑动。 一. 两个接触面的平衡问题

【例 11】一架均匀梯子,一端放置在水平地面 上,另一端靠在竖直的墙上,梯子与地面及梯子与 墙的静摩擦系数分别为μ 1、μ 2,求梯子能平衡时 与地面所成的最小夹角。 分析:此题同样有两种解法,为了节省篇幅, 接下来只介绍引入摩擦角的解法。此题是多点摩擦 的问题,而且又是多点同时滑动,所以系统达到临 界平衡状态(极限平衡状态)时,即梯子与水平所 成的夹角最小时,各处摩擦力均达到最大值。现把 两端点的受力用全反力表示,则梯子就只受三个力, 且三个力必共点。 解:如图 6 所示, ?1 ? tg ?1?1 , ? 2 ? tg ?1?2 ,由平衡条件 和几何关系可得:

tg? ?

BC DH ? DE DH DE ? ? ? AC 2 AH 2 AH 2 EB

?

? 1 ? ?1? 2 1 1 1 ctg?1 ? ctg? 2 ? ? 2 ? 2 2 2?1 2 2?1
? ? tg ?1
1 ? ?1 ? 2 2?1

即梯子与地面所成的最小的角为

[想一想]为什么多点摩擦同时滑动的临界条件是多点的摩擦力同时达到最大值?
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[思考题]质量为 m 的均匀梯子,一端在坚直光滑的墙上,另一端置于粗糙的水平地面上, 静摩擦系数为μ ,一个质量为 M 的人沿梯往上爬,为了保证该人的安全,对梯子的放置有什么 要求?(答案: tg? ?

2M ? m ) 2 ? ( M ? m)

【例 12 】一梯子长为 L,斜靠在竖直的墙壁上,梯子的倾角为 ? ,与水平地面间的静摩擦 系数为 ?1 ,与竖直墙面间的静摩擦系数为为 ? 2 ,不 子的重力, 重为 G 的人沿梯子能上升的最大高度。 求: 解:以梯子和人组成的系统为研究对象,如图所 立直角坐标系: 地面对梯子的全反力 F1 的直线方程: y=- 示, 建 计 梯

1 (x-Lcos ? ) t an ? 1

(1)

竖直墙面对梯子的全反力 F2 的直线方程: y=tan ? 2 x +Lsin ? 梯子 AB 的直线方程: y=-tan ? (x-Lcos ? ) (3) (2)

当人达最高时,梯子将要滑动,此时有: tan ? 1 = ?1 tan ? 2 = ? 2 代入上式

由(1)(2)两式可得 F1 与 F2 的交点 P 坐标为: 、 xP =

L(cos? ? ?1 sin ? ) 1 ? ?1 ? 2

代入(3)式得人达到的最大高度为: y=

?1 L tan? (sin? ? ? 2 cos? ) 1 ? ?1 ? 2

=

?1 L sin ? sin ? ? ? 2 cos? ( ) 1 ? ?1 ? 2 cos?

令 h=Lsin ? 则: y=

?1 h (tan? ? ? 2 ) 1 ? ?1 ? 2
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=

tan? ? ? 2 h 1 ? ?2

?1

讨论: (1)当 tan ? ?

1

?1

时,y ? h ,说明人可到达梯子的顶端,即:ymax=L sin ? 。也就是

说,梯子的倾角大于某一临界角 ? 0 时(tan ? 0 =

1

?1

) ,梯子会处于自锁状态。这种情况在实际

中正是人们所希望的,因此人们通常把梯子放得陡一些,使得人无论爬到梯子的任何位置,梯 子都将因自锁而不至滑倒, 而且梯子与水平地面间的静摩擦系数 ?1 越大, 临界角 ? 0 就会越小, 梯子会更容易实现自锁状态。 (2) 、当 tan ? ?

1

?1

时,y<h,说明人不能到达梯子的顶端,即:ymax=

tan? ? ? 2 h 1 ? ?2

?1

如果此题考虑到梯子的重力,则上述结果便是人与梯子系统重心的最大高度,根据系统重 心的计算公式,也可计算出人沿梯子上升的最大高度。 小结:由于摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系,所以在解决此类有关全反 力及摩擦角的问题时,应首选“坐标法” ,这样可避免解繁琐的三角形,使解题的目的性更加明 确,从而达到事半功倍的效果。 【例 12 】 如图 9 所示,每侧梯长为 l 的折梯置于铅垂平面内,已知 A、B 两处动摩擦因数 分别为μ A=0.2、μ B=0.6 ,不计梯重,求人能爬多高而梯不滑到。 解析:这是多点摩擦不同时滑动的平衡问题,比前面的例题要复杂。如果地面与梯的摩擦系数 足够大,则梯子不会滑到,现两边的摩擦系数较小,所以 有可能滑到,所以必须对 A、B 分别分析。
?1 0 ?1 0 ? ? 解: 由题意可得: A ? tg 0.2 ? 30 , B ? tg 0.6 ? 30

梯 子

如果从 A 开始往上爬, 爬到如图所示时梯子将滑到, 此时 受力如图 9 所示,设此时人离 A 端的距离为 S,则由平衡 和 几何关系可得: 条 件

sctg? A ? (l ? s)ctg300

0 所以从 A 端能爬的最大高度为 H ? s ? tg60 ? 0.44l

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如果从 B 端开始往上爬,爬到如图所示时梯子将滑到,此时受力如图 10 所示,这将不可能,因 为 A 梯早就滑动了或 A 梯早就转动了。综上所述,人能爬的最大高度是 0.44 l 。 [想一想]为什么人在梯子上爬时,水平地面对另一边梯子的作用力必须沿梯子方向? 解题经验小结:引入摩擦角的好处:通过全反力的等效替代,可以减少力的个数,化多力平衡 问题为三力平衡问题;可以迅速确定临界平衡状态;把平衡问题的判断转化为寻求角度之间的 关系,这是求解平衡问题的重要思路。

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