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第七章 第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图


第 一 节

高考成功方案第一步

第 七 章 立 体 几 何

空间 几何 体的 结构 特征 及三 视图 和直 观图

高考成功方案第二步

高考成功方案第三步

高考成功方案第四步

考纲点击 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的

结构特征,并能

运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等 的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体 模型,会用斜二测法画出它们的直观图.

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3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形

的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征 的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).

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1.下列说法正确的是

(

)

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫 棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何

体叫棱柱
C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何 体叫棱锥 D.棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面 与底面之间的部分

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解析:A,B中不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”,

所以不是棱柱;C中,不满足各个三角形有唯一的公共顶点.
答案:D

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2.下列命题中的假命题是

(

)

A.用平行于底面的平面去截圆锥,截面与底面之间 的部分叫圆台

B.以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转
形成的曲面所围成的几何体叫圆柱 C. 以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余 两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥 D.以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,

其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥

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解析:以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴,其余两边 旋转形成的曲面围成的几何体不是圆锥.

答案:C

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3.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是 ( A.直角三角形的直观图仍是直角三角形 B.梯形的直观图是平行四边形

)

C.正方形的直观图是菱形
D.平行四边形的直观图仍是平行四边形 解析:由斜二测画法规则可知,平行于y轴的线段

长度减半,直角坐标系变成了斜坐标系,而平行
性没有改变,因此,只有D正确. 答案:D

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4.一个几何体的主视图为一个三角形,则这个几何体可 能是下列几何体中的________.(填入所有可能的几何 体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥

⑥圆柱

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解析:只要判断主视图是不是三角形就行了,画出图形容 易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以,对于三棱柱,只

需要放倒就可以了,所以①②③⑤均符合题目要求.
答案:①②③⑤

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5.如图所示的三个直角三角形是一个几何体的三 视图,则图中的h=_____,俯视图的面积S=______.

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解析:由三视图的画法规则可知,该几何体为三棱锥, 且该三棱锥的高h=4,底面是两直角边长分别为5,6的直 1 角三角形,故俯视图的面积S= ×5×6=15. 2

答案:4

15

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1.空间几何体的结构特征

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(2)

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2.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称

空间几何体的三视图是用平行投影得到的,在这
种投影之下,与投影面平行的平面图形留下的影 子,与平面图形的形状和大小是完全相同的,三 视图包括 正视图 、 侧视图 、俯视图 .

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(2)三视图的画法 ①在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要 画成 虚线 . ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何 体的 正前方 、 正左方 、 正上方 观察几何体画出

的轮廓线.

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3.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用 斜二测画法 来画,基本步 骤是:

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(1)画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点
O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两 轴相交于点O′,且使∠x′O′y′= 45°(或135°) ,

它们确定的平面表示水平面.已知图形中平行于x轴或y 轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线

段.已知图形中平行于x轴的线段在直观图中保持
原 长度不变 ,平行于y轴的线段长度变为 原来的一半 .

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(2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图 中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面,已知图形中平 行于z轴的线段在直观图中仍平行于z′轴且长度 不变 .

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[做一题]

[例1] 给出下列命题:
①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;② 用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱 台;③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也 两两垂直;④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,

则该四棱柱为直四棱柱;

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⑤存在每个面都是直角三角形的四面体;⑥棱台的侧棱 延长后交于一点. 其中正确命题的序号是 A.①②③④ B.②③④⑤ ( )

C.③④⑤⑥

D.①②③④⑤⑥

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[自主解答]

①错误,因为棱柱的底面不一定是正多边

形;②错误,必须用平行于底面的 平面去截棱锥,才能得到棱台;③

正确,根据面面垂直的定义句判断;
④正确,因为两个过相对侧棱的截面 的交线平行于侧棱,又垂直于底面;⑤正确,如图所示, 正方体AC1中的四棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角 形;⑥正确,由棱台的概念可知.因此,正确命题的序

号是③④⑤⑥.
[答案] C

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[悟一法] 解决此类问题应注意以下两点:

(1)要熟悉各类空间几何体的结构特征,依据条件构建几
何模型,在条件不变的情况下,可变换模型中线面的 位置关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意 判定. (2)三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥

是常见的空间几何体,也是重要的几何模型,有些问
题可用上述几何体举特例解决.

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[通一类] 1.给出下列命题:

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点
的连线是圆柱的母线;②圆锥的顶点与底面圆周上任 意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台的上、下底面 的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其

中正确命题的序号是
A.①② C.①③ B.②③ D.②④

(

)

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解析:根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质可知,只
有②④两个命题是正确的,所以选D. 答案:D

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[做一题]
[例2] (1)(2011· 江西高考)将长方体截去一 个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该 几何体的左视图为 ( )

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(2)(2011· 北京高考)某四面体的三视图如图所示,该四面
体四个面的面积中最大的是 ( )

A.8 C.10

B.6 2 D.8 2

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[自主解答]

(1)被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为

长方体的面对角线,它们在右侧面上的投影与右侧面(长方

形)的两条边重合,另一条为体对角线,它在右侧面上的投
影与右侧面的对角线重合,对照各图,只有选项D符合.
(2)由三视图可知,该几何体的四个面都是直角三角形, 面积分别为6,6 2,8,10,所以面积最大的是10.

[答案] (1)D

(2)C

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[悟一法]

对三视图一般从两个方面考查:一是由实物图画三
视图,此时需注意“长对正、宽相等、高平齐”的原则, 以及虚、实线的区别;二是由三视图还原为实物图,要 解决好这类题,应仔细分析和认真观察三视图,进行充 分的空间想象,综合三视图的形状,从不同角度去还原,

看图和想图是两个重要的步骤.

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[通一类] 2.(2012· 东城区模拟)沿一个正方体三个
面的对角线截得的几何体如图所示, 则该几何体的侧视图为 ( )

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解析:正方体左侧面的对角线在右侧面上的投影为
右侧面的对角线,且与原对角线互相平行. 答案:B

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[通一类] 3. 如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边

长均为2,且侧棱AA1⊥底面A1B1C1,正视图是边
长为2的正方形,则该三棱柱的左视图的面积为 ________.

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解析:由题意知该三棱柱的侧视图为矩形,该矩形的长 为2,宽为底面正三角形的高,其值为 图的面积是2 3.
答案:2 3

3 ,所以其侧视

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[热点分析] 三视图是高考命题的热点,多以选择题或填空题

的形式出现,主要考查识图、作图能力及计算能力.尤
其是通过简单几何体(组合体)的三视图,识别其所代表 的立体模型,然后画出(或想象出)其直观图.并解决相 应的问题已成为近几年高考命题的一个主要动向.

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[考题印证] (2011· 新课标全国卷)在一个几何体的三视图 中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧 视图可以为 ( )

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[一题多解]———————(条条大道通罗马) [法一] 由几何体的正视图和俯视图可知,

该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与
半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的 三棱锥的组合体,如图所示: 可知侧视图为等腰三角形,且轮廓线为实线.

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[法二]

由几何体的主视图可知,该几何体为一个锥体,

故A、B均不正确;结合俯视图可知,该几何体的底面 为半圆和等腰三角形,其侧视图可以是一个由等腰三角 形及底边上的高构成的平面图形,且其轮廓线应均为实 线,故排除C,所以选项D正确. [答案] D

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1.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图 可以是 ( )

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解析:A中几何体的主视图为:



C中几何体的俯视图为:



D中几何体的左视图为 显然选B. 答案:B

.

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2.如图,△ABC为正三角形,AA′∥BB′∥ 3 CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=2BB′ =CC′=AB,则多面体ABC-A′B′C′ 的正视图是 ( )

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解析:由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC;知 3 BB′⊥平面ABC, 又CC′=2BB′,且△ABC为正三角 形,故正视图应为D中的图形.

答案:D

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3.下图是一个正方体的展开图,将其折叠起来,变成正 方体后的图形是 ( )

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解析:∵在这个正方体的展开图中与有圆的面相邻的

三个面中都有一条直线,当变成正方体后,这三条直
线应该互相平行.

答案:B

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4.如图是正四棱锥P-ABCD的三视图,其中正视
图是边长为1的正三角形,则这个四棱锥的侧棱 长为________.

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3 解析:如图,由条件知,正四棱锥的底边AB=1,高PO= 2 .

则在正方形ABCD内, 2 2 OB= 2 AB= 2 , 故侧棱长PB= PO2+OB2= 3 2 5 +4= 2 . 4

5 答案: 2

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5.如图,点O为正方体ABCD-

A′B′C′D′的中心,点E为面
B′BCC′的中心,点F为B′C′的中 点,则空间四边形D′OEF在该正方体 的各个面上的投影 可能是________(填 出所有可能的序号).

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解析:空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′上的投影 是①;在面ADD′A′上的投影是②;在面ABCD上的投影 是③,故填①②③. 答案:①②③

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